基于加速度頻響函數小波變換的貝葉斯模型修正

2022-05-30 11:00:28王增輝彭珍瑞張亞峰董康立

振動與沖擊 2022年10期

王增輝，殷紅，彭珍瑞，張亞峰，董康立

(1. 蘭州交通大學機電工程學院，蘭州 730070;2. 浙江大學生物醫學工程與儀器科學學院，杭州 310027)

近年來，模型修正技術在結構動力學領域逐漸成為研究熱點，廣泛應用于結構損傷識別和健康監測等領域[1]。當前絕大多數模型修正方法屬于確定性方法，但由于結構材料、邊界條件以及試驗過程中必然存在不確定性因素，使確定性方法的應用受到限制[2-3]。而不確定性模型修正方法結合概率統計理論中的大數定理，利用結構動力學響應的統計特性對參數的統計特性進行間接估計，可充分考慮以上不確定性因素的影響，有效克服確定性模型修正方法的不足，具有良好的應用前景[4]。

基于貝葉斯統計理論的不確定性模型修正方法綜合考慮歷史數據和專家經驗來預設待修正參數的先驗分布，然后結合實測響應的統計信息不斷修正先驗分布，使之靠近參數的真實后驗概率分布，廣泛應用于不確定性模型修正領域[5]。但是，當傳統貝葉斯方法用于復雜結構的模型修正時，通常存在似然函數和后驗概率難以求解的缺點，因而通過直接積分的方式求取待修正參數的后驗概率分布往往不可行。Beck等[6]引入馬爾科夫鏈蒙特卡羅(Markov chain Monte Carlo, MCMC)算法解決積分運算問題。但傳統MCMC算法樣本的拒絕率高、采樣效率低，極易出現“采樣停滯”現象，即連續多次采樣的解均為同一樣本點，導致樣本集不能充分反映參數空間的分布特征。針對傳統MCMC算法采樣效率低的問題，Ching等[7]提出過渡MCMC(transitional MCMC，TMCMC)算法，從一系列中間目標概率密度函數中采樣，提高了采樣效率。劉綱等[8]融合自適應算法和相關向量機模型，提出了一種快速的不確定性模型修正方法。彭珍瑞等[9]基于最大熵值法，將布谷鳥算法和標準MCMC算法進行融合，提高了樣本的接受率。Cheung等[10]提出混合MCMC(hybrid MCMC, HMCMC)算法，以求解維度較高時不確定參數的模型修正問題。此外，傳統MCMC算法在每次采樣過程中均需要調用有限元模型進行計算，導致計算成本很高。因此，代理模型作為一種替代有限元模型進行快速迭代的方法引起了研究者的關注[11]。代理模型是利用輸入(設計參數)與輸出(感興趣響應)之間的關系直接構造的一種近似模型。其中，Kriging模型是一種基于插值的代理模型，與其他代理模型不同，其利用少量樣本就可以擬合出輸入與輸出之間的關系，并且不僅能給出參數的預估值，還可給出預測的誤差，因此廣泛應用于精密儀器設計和結構優化等領域。王巨濤等[12]將Kriging代理模型引入模型修正中進行迭代求解，驗證了Kriging方法的有效性。秦仙蓉等[13]融合Kriging模型和多目標遺傳算法對岸橋結構有限元模型進行了修正，提高了模型修正的效率。

此外，選擇合適的結構響應也是模型修正問題的關鍵。基于模態參數的模型修正方法需要對結構進行模態分析，極易引入模態識別誤差。基于頻響函數(frequency response function, FRF)的模型修正方法不需要進行模態參數識別，可較好地避免識別誤差，同時，FRF包含大量頻率點信息[14]。但直接將FRF引入貝葉斯方法中，存在似然函數推導復雜且計算量大的問題。徐張明等[15]推導了基于FRF的靈敏度分析方程，利用不完備數據對多個參數進行了修正。曹詩澤[16]將FRF引入貝葉斯模型修正中，推導了FRF的解析概率模型。

在上述理論背景下，本文提出一種基于加速度FRF小波變換的貝葉斯模型修正方法。首先，引入模態參與變異系數準則[17]選取激勵點，模態動能法[18]選取測點。其次，計算加速度FRF并進行小波變換，提取小波總能量作為Kriging模型輸出，待修正參數作為Kriging模型輸入，采用粒子群算法尋得最優相關系數以構造Kriging模型。然后，以延緩拒絕策略為基礎，融合天牛須算法中更新天牛質心位置的方法產生新的候選樣本來估計待修正參數的后驗概率分布，以提高馬爾科夫鏈的收斂性能。最后，通過車輛三自由度系統和空間桁架結構算例驗證了本文方法的有效性。

1 FRF特征量提取

1.1 FRF理論

對于一個n自由度阻尼系統，其基本動力學方程可以表示為

(1)

式中：M，C，K分別為質量、阻尼和剛度矩陣；F為系統激勵；X(t)為位移向量。在簡諧激勵作用下，經傅里葉變換可得到頻域內的穩態響應X(ω)

X(ω)=H(ω)F(ω)

(2)

式中：H(ω)為加速度FRF矩陣；ω為激勵頻率；則加速度FRF矩陣可表示為

(3)

1.2 小波變換

小波變換作為一種信號處理的重要研究方法，具有多分辨率分析的特點，小波總能量是一項重要特征，其對結構的局部輕微變化十分敏感[19]。選定小波基函數，一組時域信號的連續小波變換可表示為

(4)

式中： (Wψf)(a,b)為小波系數；a和b分別為分解尺度和平移參數；ψ*(t)為小波基函數ψ(t)的共軛復數。(Wψf)(a,b)=〈f(t),ψj,k(t)〉，將a和b離散化，令a=2-j，b=2-jk，j,k∈Z，得離散小波變換

(DWψf)(j,k)=〈f(t),ψj,k(t)〉

(5)

對信號進行離散小波變換時，首先進行小波分解得到小波系數，每個分解尺度的小波能量(小波分量能量)為該層所有小波系數能量的總和，將各個尺度下的小波能量相加即為小波總能量。該過程可表示為

(6)

式中：Ej為第j尺度下的小波能量；Cj(k)為第j尺度下的第k個小波系數。本文對加速度FRF進行離散小波變換，提取小波總能量替代加速度FRF進行模型修正。

2 Kriging模型的構造

2.1 Kriging模型理論

Kriging模型是一個基于隨機過程的代理模型，擁有對非線性函數良好的擬合預測能力以及誤差估計功能[20]。Kriging模型將未知函數看作高斯過程的具體實現，該過程包括線性回歸和非參數部分

(7)

式中：f(x)=[f1(x),f2(x), …,fp(x)]T為多項式函數；β=[β1,β2, …,βp]T為回歸模型系數；z(x)為服從正態分布N(0,σ2)的靜態隨機過程。用含兩樣本點空間距離的函數表示響應z(x)之間的相關性，選取貼合工程實際的高斯函數作為相關函數，其形式為

(8)

由最大似然法訓練模型參數，可求得

(9)

(10)

式中：F為樣本點向量組成的矩陣；Y為響應列向量；R為相關矩陣，其中元素Rij=R(xi,xj)(i,j=1,2,…,n)，n為試驗點數；σ2和β均為θk的函數，所以Kriging模型中唯一未知數即為θk。

2.2 粒子群算法優化Kriging模型相關系數

文獻[21]介紹了Kriging模型理論及影響其精度的關鍵因素，Kriging模型的相關系數θk決定著代理模型的精度。在MCMC采樣過程中，構造滿足精度要求的Kriging模型可改善后驗密度與目標密度之間的匹配度，進一步提高模型修正效率，所以相關系數θk的選取對于Kriging模型的預測精度十分重要。

本文將測試集樣本代入已訓練的初始Kriging模型中得到均方誤差(mean square error, MSE)矩陣，然后對MSE矩陣依次按列、行求取均值，將該均值作為優化算法的適應度函數值。選用結構簡單、尋優速度較快的粒子群(particle swarm optimization, PSO)算法[22]進行相關系數尋優。最后結合最優相關系數和訓練集樣本構造Kriging模型，采用均方根誤差(root mean square error, RMSE)檢驗其精度。

3 貝葉斯推理及天牛須搜索理論

3.1 貝葉斯理論

基于貝葉斯的模型修正結合先驗信息(主觀信息)和測試數據(客觀信息)，采用MCMC方法推斷修正參數的后驗概率分布。這一過程可用貝葉斯公式表達為

(11)

式中：D為觀測信息；θ為所有待修正參數構成的向量； π(θ)為待修正參數θ的先驗分布，通常取為廣義無偏見的均勻分布， π(θ)=1；p(D|θ)為在θ給定下的條件分布，通常稱為似然函數；c為常數因子，通常稱為正則化常數。假設進行N次獨立試驗，則貝葉斯公式中似然函數的表達式為

(12)

式中：yi為測試響應；y(θ)i為模型計算響應；covy為測試信息協方差矩陣。將式(12)代入式(11),則參數的后驗概率分布可進一步寫為

(13)

式中，c′為與θ無關的常數，在實際工程問題中，通常響應y(θ)無顯式表達式，積分運算較為困難，故采用MCMC抽樣算法計算參數的后驗概率分布，以解決復雜積分運算問題。

MH(Metropolis-Hastings)抽樣是目前應用最廣的MCMC算法之一，大部分MCMC算法均為標準MH抽樣的擴展，其最突出的特點是通過抽樣獲取后驗樣本，構造合適的馬爾科夫鏈來估計參數的統計特征。MH抽樣的主要步驟為：

步驟1選擇合適的初始樣本θ0，使p(θ0|D)>0，D為響應矩陣；

步驟2選擇合適的建議分布q(θ*,θt)，利用當前樣本值θt，從建議分布中產生一個新的候選樣本θ*；

步驟3由當前樣本θt和候選樣本θ*，計算接受概率

α=min[1,p(θ*|D)/p(θt|D)]

(14)

步驟4從均勻分布U(0,1)中產生隨機數μ，若α>μ，則接受候選樣本θ*，即θt+1=θ*；否則拒絕候選樣本θ*，即θt+1=θt；

步驟5重復步驟2～步驟4，直至達到設定的抽樣次數時終止迭代，產生收斂序列，即馬爾科夫鏈；

步驟6用去掉燃燒期后的馬爾科夫鏈來估計參數的統計特征，從而獲得修正后的參數值。

因高斯分布在工程實際中應用廣泛且計算簡便，故本文選用高斯分布作為建議分布。

3.2 天牛須搜索算法

天牛須搜索算法是一種受天牛覓食行為啟發的智能優化算法，其僅需一個天牛且能避開復雜的梯度計算，在一般的優化問題中，可自適應地實現尋優[23]。算法分為搜索和檢測兩個階段。其中，搜索階段可表示為

(15)

式中：xl和xr分別為天牛左、右須的位置坐標；di為i時刻天牛兩須之間的距離，也稱為感知距離，決定著算法的搜索空間；b為單位化的隨機方向向量。

檢測階段產生下一時刻天牛質心的位置，表示為

xi=xi-1+δi·b·sign[F(xl,X)-F(xr,X)]

(16)

式中：F(·)為目標函數，即食物氣味濃度；X為位置坐標；δi為i時刻的搜索步長。引入指數衰減模型來不斷更新δ和d，衰減模型可表示為

(17)

式中：d0和δ0為感知距離和搜索步長的初始值；ad和aδ為衰減系數；i為搜索次數；Hd和Hδ為衰減常數。

4 基于改進MH抽樣的模型修正

4.1 引入天牛局部隨機搜索的改進MH抽樣

由上文可知，當參數維度增加時，MH抽樣極易出現“停滯”現象。解決該問題較好的方法是采用延緩拒絕(delayed rejection, DR)策略，基本思想是在被拒絕的樣本點基礎上以新的建議分布產生一個新的候選樣本點。但DR策略中每個候選點可能需要計算多個接受率，計算量大[24]。考慮貝葉斯推理本質是基于最大似然估計，即尋找盡可能使似然函數取得最大值的一系列解，由式(12)似然函數p(D|θ)的表達式可知，似然函數最大值對應的解即為指數項[-L(θ)]最大值所對應的解。將似然函數的指數項[-L(θ)]作為天牛須搜索算法的目標函數以引導天牛個體搜索。考慮DR策略計算成本問題，當候選樣本點被拒絕后，利用天牛個體更新質心位置的方法，在該點基礎上進行局部搜索以產生新的候選樣本點，并利用天牛須搜索算法左、右須的比較機制和Metropolis收斂準則來保證采樣質量。值得說明的是，雖然候選樣本點在Metropolis準則下被拒絕，但其已經位于較好的樣本點附近，因此要將天牛須搜索算法中感知距離和搜索步長的初始值設置得較小。具體采樣步驟如下：

步驟1初始化馬爾科夫鏈θ(t)(t=1,2,…,n)，選擇建議分布q(θ*,θt)，其中，t為迭代次數，n為總迭代次數；

步驟2獲取馬爾科夫鏈的初始樣本點θ0，即從先驗分布中抽樣產生θ0；

步驟3在第t時刻，當前樣本為θt，由MH抽樣產生新的候選樣本θ*，計算接受概率α并判斷是否接受候選樣本；

步驟4當α>μ時，接受該樣本θ*，即θt+1=θ*；當α<μ時，進入下一步驟；

步驟5以DR策略為基礎，融入天牛須搜索算法中天牛個體更新質心位置的思想：

(a) 初始化搜索參數，將步驟4的候選樣本θ*作為天牛初始的質心位置，即x0=θ*；

(b) 以式(12)中似然函數表達式的指數項[-L(x)]作為搜索的目標函數，引導天牛個體進行隨機搜索；

(d) 達到設定的搜索次數時終止搜索并根據天牛質心位置(即新的候選樣本)θζ，計算接受率αζ(依據MH算法判斷接受狀態θt+1=θζ，否則θt+1=θt)；

步驟6增加迭代次數t，重復步驟3～步驟5，直至產生一個收斂序列，即馬爾科夫鏈，停止迭代。

4.2 模型修正流程

本文提取小波總能量作為FRF的響應特征量，將FRF間接引入到貝葉斯模型修正中。為考慮馬爾科夫鏈的收斂性能以及計算成本問題，本文從全局抽樣和局部隨機游走兩個角度出發，構建了一種貝葉斯模型修正框架。具體的模型修正流程如圖1所示。

圖1 模型修正流程圖Fig.1 Flow chart of model updating

5 激勵點和測點的選取原則

針對模態試驗中激勵點和測點的選擇問題，本文采用模態參與變異系數準則選取最優激勵點，模態動能法選取最優測點。

5.1 模態參與變異系數準則

模態參與度用來評價結構各個自由度對激發感興趣模態的貢獻，可表示為

(18)

式中：p和q分別為輸出和輸入自由度；N為結構的自由度總數；r為感興趣的模態階數；Apqi為留數。

假設結構為比例阻尼，則式(3)的FRF可表示為

(19)

式中：φpi和φqi分別為模態矩陣的第(i,p)項和第(i,q)項；ωi為第i階模態頻率；ξi為第i階模態阻尼。式(18)中的留數可進一步表示為

Apqi=φpiφqi

(20)

結構的第q自由度對激發所有感興趣模態的貢獻值可表示為

(21)

Wq值越大，說明該自由度對激發感興趣模態的貢獻度越大。由于本文的模態試驗為多輸入多輸出的方式，故選取貢獻度較大的自由度作為激勵點。

5.2 模態動能法

模態動能法是一種量化的測點配置方法。依據模態理論可知，結構的自由振動可表示為各階模態的線性疊加，因此結構的實際振動情況可通過模態振型進行描述。模態振型動能值可以反映某點對模態振型的貢獻度，如果某點的模態動能值最大，則說明該點是振動最敏感的點，即最優測點。模態動能理論可由式(22)表示

MKE=φTMφ

(22)

式中：φ為模態振型矩陣；M為結構質量矩陣；考慮邊界條件，M為正定矩陣，對其進行正交分解得

M=LTL

(23)

則式(22)可進一步寫為

MKE=φTLTLφ=ψTψ=A0

(24)

E=ψ[ψTψ]-1ψT

(25)

按照矩陣E對角元素的大小對測點進行排序，每次迭代中刪除模態動能最小值對應的測點，直至保留到滿足要求的測點數目為止。

6 算例及結果分析

6.1 算例一：車輛三自由度系統模型

如圖2所示：m3為車體質量；m2為轉向架質量；k3和c2為二系懸掛裝置的剛度和阻尼；k2和c1為一系懸掛裝置的剛度和阻尼；k1為減震器端部剛度；c1，m1和k1構成一個減震器模型。

圖2 車輛三自由度系統模型Fig.2 Model of 3DOFs vehicle

采用均勻試驗設計方法在參數范圍內抽取200組數據作為訓練集，40組數據作為測試集。利用1.1節的式(3)計算加速度FRF并進行小波變換，提取小波總能量作為Kriging模型的輸出，構造Kriging模型。

分別采用4.1節方法和標準MH算法進行采樣，經過20 000次迭代后得到參數樣本的馬爾科夫鏈，如圖3所示。由圖3(a)和圖3(b)對比可知，兩種方法得到的馬爾科夫鏈均能收斂到預設的參數均值，但標準MH算法得到的馬爾科夫鏈出現很多平滑段，說明采樣過程中出現“采樣停滯”現象，即連續多次重復同一樣本，雖然樣本協方差小，但樣本不能充分反映參數空間的分布特征；而所提算法得到的馬爾科夫鏈能夠快速收斂且一直保持波動狀態，樣本遍歷性明顯優于前者。同時，由式(14)計算樣本的接受率，相比標準MH算法21%的接受率，本文所提算法的接受率為62%左右，樣本的接受率明顯提高。

圖3 不同算法產生的馬爾科夫鏈Fig.3 Markov chains generated by different algorithms

依據概率統計中關于正態概率檢驗的相關知識對圖3的后驗樣本進行分析：因非平穩期樣本會對統計特征造成干擾，影響參數均值的估計精度，所以先剔除圖3(b)中馬爾科夫鏈前10%樣本，再對剩余樣本進行正態概率檢驗，結果如圖4所示。由圖4可知，去除非平穩的樣本等劣質樣本后，本文方法獲得的3個參數的絕大多數后驗樣本都能落在假設的正態分布線上，所以樣本的質量較高，正態分布假設成立。

依據后驗樣本的統計特征估計修正后的參數均值，結果如表1所示。由表1可知，經所提方法修正后的參數誤差皆可控制在0.3%以內，且修正誤差均優于標準MH算法，所提方法可以獲得較好的修正效果。

圖4 樣本的正態概率檢驗圖Fig.4 Normal probability test diagram of samples

表1 車輛三自由度系統修正前后參數均值Tab.1 Mean values of parameters before and after updating of the vehicle 3DOFs system

6.2 算例二：空間桁架結構模型

空間桁架結構如圖5所示。該結構包括28個節點，66個桿單元，節點鉸接，約束條件為4個支座固定(節點編號1,8,9,16)，每個節點只考慮Y向和Z向的平動自由度，依次對所有節點的Y、Z方向的自由度進行編號，共48個自由度，將參數的初始均值賦予該結構作為模型修正的初始模型。利用第5.1節的模態參與變異系數準則選取激勵點，結構各個自由度的Wq值如圖6所示。

圖5 空間桁架結構模型Fig.5 Structure model of the space truss

圖6 模態參與度值Fig.6 Values of modal participation

結合圖6的模態參與度和實測方便性，選取桁架第3節點Y方向自由度、第6節點Y方向自由度和第11節點Y方向自由度作為激勵點。值得說明的是，由圖6可知，對于激發前4階模態貢獻較大的均為Y方向自由度，這也與桁架的結構特點相符。

利用5.2節的模態動能法選取測點，計算各個自由度的模態動能，選擇結構第18節點Y方向自由度、第24節點Y方向自由度和第26節點Y方向自由度作為測點，激勵點和測點位置見圖5。

將桁架分為上弦桿、中部桿(直腹桿和斜腹桿)和下弦桿三部分。因大多數情況下發生的損傷會導致結構剛度發生顯著變化，主要表現為彈性模量存在不確定性。選取三組桿件的彈性模量作為待修正參數，分別為θ1=E1/E0，θ2=E2/E0，θ3=E3/E0，其中初始彈性模量E0為190 GPa，假設各參數實測均值服從正態分布矩陣[1.5，1.2，0.8]，標準差都為0.1。設置參數均值的取值范圍分別為[0.9，2.1]，[0.6，1.8]和[0.3，1.3]。

利用式(3)計算對應激勵點和測點的加速度FRF并進行小波變換，選取小波基函數為“db1”，分解尺度數為3，提取小波總能量作為模型修正的響應特征量。采用2.2節方法構造滿足精度要求的Kriging模型，選用4階小波總能量的RMSE值來檢驗所構造的Kriging模型的精度，將程序運行10次，統計結果如表2所示。由表2可知，構造的Kriging模型預測精度很高，可替代有限元模型進行迭代計算。分別采用本文4.1節方法和標準MH算法進行采樣，采用4.1節方法所抽取樣本的分布云圖以及相應的置信橢圓如圖7所示，橢圓內的區域表示含95%樣本的區域。由圖7可知，本文方法所抽取的絕大多數樣本點都能位于95%的高概率區域，后驗樣本的質量較高。

表2 Kriging代理模型精度檢驗Tab.2 Accuracy test of Kriging surrogate model

圖7 分布云圖及置信橢圓Fig.7 Distribution cloud maps and confidence ellipse

采用標準MH算法和本文所提方法采樣20 000次獲得的馬爾科夫鏈，如圖8所示。由圖8(a)和圖8(b)對比可知，所提算法得到的馬爾科夫鏈能夠一直保持波動狀態，很少出現標準MH算法的“采樣停滯”現象，樣本的遍歷性明顯優于標準MH算法。由式(14)分別計算兩種方法所抽取樣本的接受率，標準MH算法樣本的接受率約為21%，本文所提方法約為52%，樣本接受率明顯提高。

圖8 不同算法獲得的馬爾科夫鏈Fig.8 Markov chains generated by different algorithms

由馬爾科夫鏈估計參數均值，參數均值的修正結果如表3所示。由表3可知，參數均值的修正誤差皆小于0.8%，且3個參數的修正誤差均優于標準MH算法，表明所提方法進行不確定性模型修正取得了很好的效果。為進一步驗證所提方法的修正效果，使用表3中的參數均值分別計算試驗、修正后以及初始模型的加速度FRF，其對應的FRF曲線，如圖9所示。由圖9可知，修正后均值模型加速度FRF曲線與試驗均值模型加速度FRF曲線充分接近，基本重合。同時，在處理器為AMD R7 4800U的計算機上運行DR算法，DR算法修正時間為48.6 s，改進算法修正時間為42.3 s，本文方法修正時間小于DR算法。

表3 空間桁架結構修正前后參數均值Tab.3 Mean values of parameters before and after updating of the space truss structure

圖9 頻響函數曲線Fig.9 Frequency response function curves

7 模型修正影響因素分析

7.1 考慮噪聲影響的模型修正

由于實際試驗過程中，考慮測得的FRF信號將不可避免地受到噪聲的干擾。因此，為了驗證本文方法的抗噪性，對算例二中的加速度FRF信號施加一定的高斯白噪聲來模擬實測數據的噪聲污染，信噪比分別為30 dB，20 dB，10 dB和5 dB。將程序運行10次取均值，修正后各參數的后驗均值誤差如圖10所示。由圖10可知，隨著噪聲增大，雖然各參數的修正誤差也逐漸增大，但基本都能保持在5%以內，表明所提方法對噪聲具有良好的魯棒性。

圖10 不同噪聲水平下的參數修正誤差Fig.10 Parameter updating errors at different noise levels

7.2 考慮小波基函數種類影響的模型修正

小波基函數的選取對于離散小波變換十分重要，采用不同的小波基函數對同一分析信號進行變換得到的小波系數不同。為驗證本文方法在不同小波基函數下的修正效果，本文以算例二的加速度FRF為分析信號，選取工程中常用的db4小波、haar小波、coif3小波和sym6小波作為小波變換的基函數，按照圖1的流程進行模型修正。修正后得到的馬爾科夫鏈如圖11所示。圖11中的小波基函數1～4分別對應于上述4種小波。將程序運行10次后取均值，修正結果如表4所示。

圖11 不同小波基函數下的馬爾科夫鏈Fig.11 Markov chains of different wavelet basis functions

表4 不同種類小波基函數下的修正誤差Tab.4 Updating errors of different wavelet basis functions %

由圖11和表4可知，在以上4種小波基函數的情況下，本文方法所獲得的馬爾科夫鏈均能較好地收斂到參數的預設均值，且參數的修正誤差基本保持在1.5%以內，說明所提方法對于小波基函數種類的選取具有魯棒性。值得說明的是，參數θ1的馬氏鏈較另外兩個參數的馬氏鏈波動較大，反映出參數θ1的靈敏度略差，但不影響對小波基函數魯棒性的判斷。

7.3 考慮分解尺度數影響的模型修正

為研究小波分解尺度對于修正效果的影響，以算例二的加速度FRF為分析信號，選取‘db1’為小波基函數，分別在不同分解尺度數下按照圖1的流程進行模型修正。限于篇幅，僅給出分解尺度數為2層、3層、4層和5層的情況下所得到的馬爾科夫鏈，如圖12所示。將程序運行10次后取均值，修正誤差如表5所示。

圖12 不同小波分解尺度下的馬爾科夫鏈Fig.12 Markov chains of different wavelet decomposition scales

表5 不同小波分解尺度下的修正誤差Tab.5 Updating errors of different wavelet decomposition scales %

綜合圖12和表5可知，分解尺度數為4和5時的馬氏鏈波動略大，其與不同分解尺度數下構造的Kriging模型的精度不同有關，故在模型修正過程中要盡可能地保證代理模型的精度。但從整體來看，本文方法在不同分解尺度下獲得的馬爾科夫鏈均能收斂到預設的參數均值，且修正精度基本保持在2%以內，小波分解尺度對修正結果基本沒有影響。分析原因是：不同的分解尺度會改變小波系數在特定尺度下的分布情況，但不會改變小波總能量值，所以提出的模型修正方法對于小波分解尺度具有良好的包容性。

8 結論

(1) 修正方法將FRF間接引入到貝葉斯模型修正中，無需進行模態分析與振型匹配，避開了傳統方法中頻率點選擇困難的問題，回避了基于FRF的貝葉斯方法中似然函數和后驗概率分布的復雜推導過程，有效減輕了計算負擔。

(2) 在MCMC框架下，結合全局建議方案的快速搜索特性和局部隨機游走的搜索魯棒性，在DR策略的基礎上，引入更新天牛質心位置的方法來估計參數的后驗概率分布，可以在保證較優修正精度的同時提高馬爾科夫鏈樣本的接受率。

(3) 在噪聲污染、不同小波基函數以及不同小波分解尺度的情況下，基于小波總能量的模型修正方法仍能保持較好的修正效果，對于工程實際具有一定的參考價值。

本文只研究了改進MCMC方法和標準MH算法在三維度情況下的修正效果。為進一步證實該方法的使用效果，應采用其他更加復雜的結構，并在激勵和響應上添加噪聲進行研究。作者已開展了相關初步研究并取得了較好的結果。