基于切片耦合理論的斜齒輪時變嚙合剛度分析

朱麗莎， 王奇斌， 欒曉剛， 袁 聰， 張義民

(1. 肇慶學院 機械與汽車工程學院，廣東 肇慶 526061； 2. 西安電子科技大學 機電工程學院，西安 710071；3. 金象傳動設備股份有限公司，江蘇 淮安 223001； 4. 東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽 110819)

斜齒輪系統廣泛應用于航空航天、汽車、船舶等領域，其性能很大程度上決定了主機的性能、壽命、安全性、可靠性。時變嚙合剛度是齒輪傳動系統的重要內部激勵，對齒輪系統的振動特性有很大的影響。因此，如何準確地計算齒輪系統時變嚙合剛度特性是齒輪重要研究內容之一。

國內外學者們[1-3]針對齒輪時變嚙合剛度特性做了大量的研究，主要研究方法有解析法、有限元法。有限元法能夠準確地模擬齒輪實際情況且具有較高的計算精度，但通用有限元軟件(ANSYS、ABAQUS等)針對不同的對象需要重復建模而且接觸分析計算效率低等缺點。經多年研究，解析法取得了長足的發展和進步，廣泛應用于齒輪系統時變嚙合剛度特性分析。在解析法中，將齒輪等效為變截面懸臂梁，應用潛在能量法計算其剛度，其剛度包括輪齒彎曲剛度、剪切剛度、徑向壓縮剛度、接觸剛度和齒基剛度[4-9]。另外，考慮摩擦、齒廓修形、裂紋、剝落等因素分析了齒輪系統的時變嚙合剛度特性[10-19]。

以上研究多針對直齒輪系統，針對斜齒輪副通常使用切片理論將斜齒輪沿齒寬方向等效為若干直齒輪薄片，每個薄片直齒輪等效為直齒輪。Wang等[20]考慮斜齒輪齒廓誤差基于切片理論建立了斜齒輪時變嚙合特性模型，分析了斜齒輪時變嚙合剛度、載荷分布、傳遞誤差、應力分布等特性。Wan等[21]基于切片理論使用累積積分方法建立了斜齒輪時變嚙合剛度模型，分析了裂紋、螺旋角、模數對時變嚙合剛度的影響。在上述研究的基礎上，Feng等[22]考慮齒基剛度修正、非線性接觸剛度、齒面摩擦等因素分析了斜齒輪系統時變嚙合剛度特性。但上述文獻沒有考慮軸向力對斜齒輪剛度特性的影響，Wang等[23]提出了考慮軸向變形的斜齒輪時變嚙合剛度模型，分析軸向變形對時變嚙合剛度的影響。但上述文獻均沒有考慮輪齒接觸區域變形與非接觸區域的耦合作用，而事實上輪齒非接觸區域會抵抗接觸區域的變形，增強了斜齒輪嚙合剛度。

因此，本研究考慮切片之間的耦合作用，基于切片理論提出斜齒輪時變嚙合剛度模型。首先將斜齒輪沿齒寬方向等效為若干切片，將切片耦合作用等效為彈簧模型，提出彈簧剛度模型。其次設計了一種數值求解法計算斜齒輪時變嚙合剛度。最后以一對斜齒輪副為例，分別使用有限元法、切片耦合法、切片無耦合法對比分析斜齒輪時變嚙合剛度。

1 時變嚙合剛度模型

斜齒輪可以等效為一系列沿齒寬方向的薄片齒輪，每個薄片齒輪可被視為直齒輪，其中：B為斜齒輪寬度，Δl為切片厚度，bi為切片的軸向位置，如圖1所示。

圖1 斜齒輪切片模型Fig.1 Slice model of a helical gear

直齒輪剛度包括輪齒剛度和齒基剛度兩部分。基于文獻[24]中潛在能量法的研究，輪齒剛度包括彎曲剛度、剪切剛度、徑向壓縮剛度，如圖2所示。這些剛度可以表示為

(1)

(2)

(3)

式中：yφ1為嚙合點和原點之間的水平距離；E，G，v分別為材料的彈性模量、剪切模量和泊松比；y1和y2分別為過渡曲線和漸開線上積分點的水平坐標；Iy1，Ay1，Iy2，Ay2為過渡曲線和漸開線上任意位置處的截面慣性矩和橫截面積，其他參數見圖2。

圖2 輪齒剛度模型Fig.2 Stiffness model of a tooth

輪齒的剛度包括輪齒彎曲剛度、輪齒剪切剛度和徑向壓縮剛度，各切片輪齒的剛度可表示為

(4)

輪齒副在嚙合過程中還會產生接觸變形，基于赫茲接觸理論，赫茲接觸剛度可表示為

(5)

在外力的作用下，不僅產生輪齒變形，而齒基也會發生變形，因此，齒基剛度也是齒輪嚙合剛度的一部分，Sainsot等提出了齒基剛度計算模型，其表達式為

(6)

式中：uf和Sf如圖3所示； 系數L*，M*，P*和Q*可按照式(7)的多項式函數計算得到。

(7)

式中：X*為系數L*，M*，P*和Q*；hf=rf/rint，rf，rint和θf見圖3；Ai，Bi，Ci，Di，Ei和Fi的值如表1所示。

圖3 齒輪齒基變形幾何參數Fig.3 Geometrical parameters for the gear-foundation stiffness

上述齒基剛度計算法適用于單對輪齒嚙合時。當多對輪齒同時處于嚙合狀態時，單純的多對齒基剛度相加使齒輪嚙合剛度計算結果誤差較大，Ma等[25]基于式(6)提出了改進的多齒嚙合齒基剛度計算方法，可表示為

(8)

式中：λ為齒基剛度修正因子，當齒輪處于單齒嚙合時，λ=1，當齒輪處于多齒嚙合時，λ可以通過有限元方法計算得到；kfp和kfg分別為主動齒輪和從動齒輪在單齒嚙合區域的齒基剛度，可由式(6)得出。

表1 多項式系數表Tab.1 Coefficients of the polynomial function

2 切片耦合理論

如圖4所示，圖4中黑色實線為斜齒輪接觸線，斜齒輪嚙合過程是從主動齒輪一個端面的齒根處和從動齒輪的齒頂處開始，之后接觸線由短變長，再由長變短，最后在主動齒輪另一端面的齒頂處和從動齒輪的齒根處全齒分離。從圖4可知，斜齒輪嚙合過程中會出現部分切片輪齒嚙合，部分切片輪齒分離的狀態。處于嚙合的切片輪齒在嚙合力的作用下產生嚙合變形，而處于分離的切片輪齒由于力的傳遞作用也會產生變形，本研究定義該變形的傳遞作用為切片耦合。

圖4 斜齒輪接觸線Fig.4 Contact line of the helical gear pair

考慮切片耦合作用，建立輪齒的嚙合剛度模型如圖5所示。從圖5可知，輪齒可以等效為多個切片，其中每個切片可等效為一個彈簧。基于文獻[26]的研究，切片輪齒的彎曲變形、剪切變形、徑向壓縮變形會傳遞給相鄰的切片輪齒，而接觸變形對相鄰齒的影響可以忽略。所以每個彈簧的剛度為切片輪齒的剛度kt，包括輪齒彎曲剛度、剪切剛度和徑向壓縮剛度。切片輪齒的耦合效應可等效為圖5中的彈簧模型，其剛度可以表示為

(9)

式中：Cc為切片耦合因子，對于斜齒輪該值等于1；m為斜齒輪模數。

圖5 斜齒輪切片耦合模型Fig.5 Coupled slice model of the helical gear

各彈簧在嚙合力Fi的作用下產生嚙合變形δti，其可表示為

(10)

齒輪嚙合的總嚙合力等于各切片嚙合力之和，可表示為

(11)

處于嚙合中的各切片變形為δti，而未處于嚙合的切片輪齒也會產生嚙合變形，其變形等于相鄰切片的變形乘以變形傳遞系數，可表示為

δt(i+1)=Γi(i+1)δti

(12)

式中：δti為相鄰處于嚙合切片的變形； Гi(i+1)為變形傳遞系數，可表示為

Γi(i+1)=

(13)

上述理論適用于單個齒輪在外力作用下的嚙合變形，對于處于嚙合中的一對輪齒，它們的變形如圖6所示。圖6中：kpi，kgi，khi分別為主動輪齒剛度、從動輪齒剛度和接觸剛度；δpi，δgi，δhi分別為其變形量；Fi為嚙合力；δi為嚙合變形。 它們之間的變形及力平衡方程為

δpi+δgi+δhi=δi

(14)

kpiδpi=kgiδgi=khiδhi=Fi

(15)

圖6 主動齒輪、從動齒輪、接觸變形關系Fig.6 The deformation relationship among the driving gear, driven gear and their contact

那么齒輪副嚙合變形δi以式(16)表示，即通過求解主動齒輪的變形即可得到嚙合齒輪副的變形。

(16)

齒輪系統的輪齒剛度可通過式(17)計算

(17)

齒基剛度和輪齒剛度為彈簧的串聯形式，考慮齒基剛度，斜齒輪系統的嚙合剛度為

(18)

3 求解流程

在式(10)中，由于各切片輪齒變形的不同，所以輪齒變形不能直接求得，因此，本文采用數值方法對各彈簧變形進行計算，計算流程如圖7所示。

步驟1輸出齒輪系統基本參數，包括齒輪參數、材料參數和載荷參數；

步驟2確定齒輪初始嚙合位置，將齒輪沿齒寬方向進行切片，根據Wang等的方法確定各切片嚙合狀態，計算各切片輪齒剛度、切片耦合剛度和齒基剛度，并通過有限元模型確定齒基剛度修正因子；

步驟3令輪齒初始嚙合變形為δ，進一步確定嚙合狀態、非嚙合狀態各主動齒輪切片輪齒嚙合變形δpi；

步驟4根據式(10)計算各切片嚙合力Fi、齒輪嚙合力Fm，比較齒輪嚙合力Fm與外載荷F，若|F-Fm|>Fε，設置一個新的嚙合變形δ，重復步驟3；若|F-Fm|≤Fε，即可得到載荷F下齒輪嚙合變形δ；其中Fε為迭代計算的預給精度，本文中取1。

步驟5計算輪齒嚙合剛度ktt，進一步考慮齒基剛度ktf，計算齒輪副嚙合剛度k；

步驟6在下一個嚙合位置重復上述過程直到完成一個嚙合周期的仿真，即可得到斜齒輪系統時變嚙合剛度。

圖7 切片耦合方法計算流程Fig.7 The simulation flow of coupled slice theory

4 結果與討論

本章以表2中的斜齒輪副為例，建立斜齒輪副有限元模型對當前模型進行驗證，并通過分析考慮切片耦合的斜齒輪時變嚙合剛度和不考慮切片耦合的時變嚙合剛度確定當前模型的先進性和有效性。

考慮斜齒輪切片耦合，運用本文方法建立斜齒輪副時變嚙合剛度模型，將齒輪沿齒寬方向等效為直齒輪切片(本文中切片數為50)，計算各切片輪齒剛度、切片耦合剛度和齒基剛度，其中切片耦合因子Cc=1，齒基剛度修正因子λ=1.09，通過一個周期50個點的仿真，得到斜齒輪時變嚙合剛度如圖8中黑色實線所示。在不考慮切片耦合時，令切片耦合因子Cc=0，其他參數均與考慮切片耦合時相同，計算斜齒輪時變嚙合剛度如圖中帶圈實線所示。

表2 斜齒輪參數Tab.2 Parameters of the helical gear pair

圖8 斜齒輪時變嚙合剛度Fig.8 Time-varying mesh stiffness of helical gear pair

基于表2中的斜齒輪參數，采用有限元分析軟件ANSYS建立斜齒輪系統有限元模型，如圖9所示。圖9中齒輪采用Solid185單元，并對齒輪表面做了表面細化，齒輪嚙合采用Conta173和Targe170單元。齒輪軸孔表面通過剛性連接到齒輪中心點，主動齒輪除繞齒輪方向的旋轉自由度外，中心點其他自由度均約束；從動齒輪中心點各自由度均約束，在主動齒輪旋轉方向施加外載荷扭矩，通過有限元接觸分析即可得到該時刻斜齒輪的時變嚙合剛度，將一個嚙合周期分割成20個點進行仿真即可得到斜齒輪時變嚙合剛度(見圖8中虛線)。

圖9 斜齒輪有限元模型Fig.9 Finite element model of helical gear pair

在本研究中，將斜齒輪嚙合區域分為單齒嚙合區和雙齒嚙合區，雙齒嚙合區由過渡區和完全雙齒嚙合區組成。齒輪時變嚙合剛度對比，如表3所示。考慮切片耦合的斜齒輪時變嚙合剛度計算方法與有限元方法在單齒嚙合區、雙齒過渡區和完全雙齒區趨勢完全一致，最大相對誤差分別為0.5%，0.7%，0.6%。切片無耦合方法與有限元法、切片耦合方法相比，在單齒嚙合區和完全雙齒區結果基本一致，相比有限元法，最大相對誤差分別為0.2%，0.5%，但在雙齒過渡區，切片無耦合方法剛度均小于其他兩種方法，最大相對誤差為2.0%，主要因為在雙齒過渡區域，輪齒沿齒寬方向處于局部接觸狀態，切片無耦合方法不能考慮局部非接觸狀態的切片輪齒對局部接觸狀態切片輪齒剛度的增強作用。而切片耦合方法能夠考慮處于不同接觸狀態切片輪齒的耦合作用，更準確地模擬輪齒的變形，所以結果更加精確。綜上所示，切片耦合方法能夠準確地模擬斜齒輪的嚙合特性。

表3 齒輪時變嚙合剛度對比Tab.3 Comparison of time varying meshing stiffness %

同時，本文還對比分析了不同齒數、模數、齒寬的斜齒輪案例，由于版面限制沒有一一列舉，結果表明切片耦合方法同樣有效，且具有普適性。

另外，我們分析了不同切片數下(N=10，N=25，N=50，N=75，N=100)斜齒輪時變嚙合剛度，結果如圖10所示。從圖10可知，當N=10和N=25時，圖中剛度曲線有一些凸起，主要是因為切片數較小時，每個切片的厚度較大，隨著齒輪的旋轉，每個切片進入嚙合和退出嚙合都會使總剛度產生大的變化，進行形成凸起。當N=50，N=75，N=100，剛度曲線已較平滑，為減少計算量，本研究中N=50即可。

圖10 不同切片數斜齒輪時變嚙合剛度Fig.10 Time-varying mesh stiffness of helical gear pair under different number of slice teeth

5 結 論

(1) 針對斜齒輪時變嚙合剛度精確求解問題，本研究提出基于切片思想及切片耦合理論的斜齒輪嚙合剛度計算方法。將齒輪沿齒寬方向等效為若干切片直齒輪，各切片直齒輪的剛度采用潛在能量法計算。將切片耦合作用等效為彈簧模型，提出了其剛度模型，其變形等于相鄰兩個切片的變形差。最后，設計了一種數值求解模型計算斜齒輪時變嚙合剛度。

(2) 建立了斜齒輪有限元模型，對比分析了切片無耦合、切片耦合下斜齒輪時變嚙合剛度特性，結果顯示切片耦合斜齒輪時變嚙合剛度模型能夠在單齒嚙合區、雙齒過渡區、完全雙齒區準確地模擬仿真斜齒輪時變嚙合剛度特性，切片無耦合斜齒輪時變嚙合剛度模型在單齒嚙合區、完全雙齒區能夠準確地計算斜齒輪嚙合剛度，但在過渡區，由于沒有考慮切片輪齒非接觸區域與輪齒接觸區域的耦合作用，所以不能準確地模擬斜齒輪嚙合剛度。