微元胞缺失下三星型微結構面內動態性能分析

趙 穎， 王凱鋒， 施勁余， 桑 葉， 李云伍， 陳 宇， 殷舉傘

(西南大學 工程技術學院，重慶 400715)

多胞微結構材料以其高比吸能、輕質等優異性能受到廣泛關注[1]。通過對多胞微結構材料內部微元胞結構進行設計，可有效提升其宏觀力學性能。其中，負泊松比效應就是由其內部特殊的結構設計所導致的一種力學行為[2]。

相比于傳統多胞材料，負泊松比材料具有更高的沖擊阻抗和吸能特性[3-5]。韓會龍等[6]以負泊松比蜂窩結構為研究對象，對負泊松比蜂窩的微結構效應、平臺應力增強效應和能量吸收特性進行了研究，試驗表明，相較于傳統多胞材料，負泊松比層級蜂窩材料的動態承載能力和能量吸收能力明顯增強。Li等[7]設計了一種新型二維蜂窩結構，并通過仿真和試驗方法得出其泊松比對尺寸比較敏感，最小可達-1.05，其剛度性能優于傳統六邊形蜂窩結構；孫曉旺等[8]將負泊松比蜂窩與同等質量的其他三類蜂窩結構進行對比，分析其在沖擊下的變形模式，得出含有負泊松比蜂窩夾芯的防護組件具有更優的抗爆性能。楊德慶等[9]采用數值方法對宏觀層面呈現負泊松比效應的星型夾芯結構的抗沖擊響應過程及抗水下爆炸過程中的破壞形式進行了研究，研究表明，負泊松比效應蜂窩夾芯防護結構相較常規防護結構具有良好的水下抗爆性能。除此之外，許多學者在負泊松比材料面內沖擊、面外沖擊[10]、非理想性能[11]等方面進行了大量研究，得出結構參數對其沖擊性能產生較大影響。Wan等[12]通過討論微元胞結構參數對內凹蜂窩負泊松比效應的影響，得出內凹程度對負泊松比的影響較為顯著； Choi等[13]指出負泊松比效應泡沫材料的力學性能與微拓撲結構參數有關；通過以上研究可看出相較于傳統材料，負泊松比微結構材料的性能受結構參數的影響，因而對其深入研究是非常有必要的。但由于微結構材料在加工制造及使用過程中難免產生損傷，導致一些缺陷系數的產生，比如胞壁質量分布不均勻、胞壁彎曲、胞壁錯位、胞壁缺失、胞元缺失[14]等，這些缺陷系數的存在會對微結構材料的整體性能產生影響。Silva等[15-16]討論了元胞非周期性及缺陷對Voronoi蜂窩失效性能的影響以及微元胞缺失對六邊形微結構楊氏模量和后屈行為的影響。孫德強等[17]研究胞元缺失的分布位置和大小對六邊形蜂窩結構共面緩沖性能的影響，揭示了胞元缺失尺寸和胞元缺失的分布位置對六邊形蜂窩共面緩沖性能有很大影響。張新春等[18]系統分析了六類幾何缺陷對二維蜂窩微結構面內屈服性能的影響。以上研究成果均在一定程度上揭示了不同類型的缺陷程度對蜂窩結構材料的動態響應特性會產生影響。為分析不同沖擊速度下和不同微元胞缺陷系數對微結構面內動態性能的影響，本文以馬芳武等[19]提出的內凹三角形負泊松比結構為基礎，對其進行拓展研究，該結構是基于傳統雙箭頭結構提出的新型結構，并且相對于其他普通負泊松比結構，其具有平臺應力更高、應力峰值更低和優越的吸能特性。

圖1為其代表性元胞結構。圖1中：h為長胞壁長度；m為短胞壁長度；a和b分別為側胞壁和底胞壁厚度；H為微元胞高度；c為微元胞寬度；α1和α2分別為微元胞側邊內凹角度和底邊內凹角度； ΔρRD為微元胞相對密度。本文所取結構參數，如表1所示。采用MATLAB軟件計算隨機胞元缺失，采用Hyperworks建立有限元計算模型，通過引入微元胞缺陷系數，分析不同沖擊速度下，不同微元胞缺陷系數對該三星型微結構面內動態性能的影響。

圖1 三星型負泊松比代表性微元胞Fig.1 Representative unit cell of tristar cellular structure with negative Poisson’s ratio

表1 三星型微元胞結構參數值Tab.1 Geometrical parameters of tristar unit cell

1 三星型微元胞結構

1.1 有限元計算模型

三星型微結構的沖擊計算模型，如圖2所示。圖2中，L1，L2分別為寬度和高度。本文應用Hyperworks和LS-DYNA 聯合仿真對三星型微結構的沖擊動力學特性進行分析。基體材料采用Q235合金鋼，密度ρ=7.85 g/cm3，彈性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.28，屈服應力σzy=235 MPa。

選用殼單元SectShell進行離散，結合微元胞尺寸參數，經過反復試算，有限元網格的初始尺寸定為0.2 mm，該有限元模型的面外(沿z軸方向)厚度設定為1 mm。為了保證微結構收斂，在厚度方向取三個積分點，計算中采用單面自動接觸算法。剛性墻與負泊松比微結構接觸的動靜摩擦因數都設置為 0.3。剛性墻以沖擊速度v沖擊該樣件，對樣件底端進行六自由度全約束，左右兩側的自由度被釋放。同時，為使該微結構的動態響應為面內響應，樣件所有的節點面外位移均予以限制。此外，考慮模型變形可靠性和有效地捕捉變形特征，并保證計算效率和穩定的動態響應，分別在x，y方向上填充微元胞數目11，如圖3所示。

圖2 沖擊加載示意圖Fig.2 Schematic diagram of impact loading

圖3 11×11三星型微結構示意圖Fig.3 Tristar cellular structure with 11×11 unit cells

1.2 模型可靠性

1.2.1 準靜態壓縮試驗

為驗證有限元模型的可靠性，對該三星型微結構樣件開展準靜態壓縮試驗，該樣件由3D打印制造而成，基體材料采用ABS工程塑料，其應力-應變曲線如圖4所示。

圖4 ABS基體材料應力-應變曲線Fig.4 Stress-strain curve of ABS matrix material

對打印的三星型微結構樣件開展準靜態壓縮試驗，如圖5所示，上壓盤加載速度設置為v=10 mm/min，沿豎直和水平方向的微元胞數目均為11。

建立與準靜態壓縮試驗相同的有限元計算模型，對該三星型微結構的面內動態響應進行分析。若按照與準靜態壓縮試驗相同的速度加載，計算過程很費時間，實際分析過程不劃算，因此可通過提高加載速度的方法來縮短計算時間。提高加載速度后需保證沙漏能與總能量之比在5%以下，這樣就可保證準靜態壓縮過程與試驗過程相對應，圖6為在加載速度v=1 m/min[20]下，該三星型微結構在面內沖擊作用下的能量曲線。從圖6中可知，在整個沖擊過程中，試驗與仿真的應力應變曲線基本吻合，并且沙漏能遠遠小于總能量5%，內能和動能的變化量可以反映出系統的總能量守恒，滿足模型驗證的基本要求，從而進一步驗證了仿真模型的準確性和可靠性。

圖5 準靜態壓縮試驗Fig.5 Quasi-static compression test

圖6 面內沖擊下三星型微結構能量曲線Fig.6 Energy curves of tristar cellular struture under in-plane impact

1.2.2 面內變形模式和應力-應變曲線

圖7為沖擊速度v=10 mm/min下，該三星型微結構在不同壓縮時間下試驗的變形模式與仿真的對比圖。通過對比可知，在基體材料性能、邊界條件和加載條件完全相同的條件下，計算結果與試驗結果的面內變形模式基本類似。同樣地，也可分別得到該三星型微結構準靜態壓縮和有限元仿真分析的應力應變曲線對比圖，如圖8所示。從圖8中可知，兩條曲線趨勢一致，仿真分析結果與試驗結果相近，從而更進一步驗證了有限元仿真模型的準確性和可靠性。

圖7 三星型微結構沿y軸沖擊下的面內變形模式Fig.7 In-plane deformation modes of tristar cellular structure under impact along y-axis

圖8 準靜態壓縮試驗和有限元仿真分析應力-應變曲線Fig.8 Stress-strain curves of quasi-static compression test and simulation analysis

2 有限元模型的沖擊速度和缺陷系數

2.1 臨界速度

陷波波速又稱為第一臨界速度，即

(1)

式中：νcr1為該微結構的初始應變；σ(ε)為微結構線彈性階段的彈性模量； ΔρRD為微結構的相對密度；ρs為基體材料的密度。第二臨界速度可表示為

(2)

式中：σc,ys為其靜態平臺應力值；εd為密實應變。

對該微結構進行準靜態壓縮仿真分析，可得該微結構的準靜態平臺應力σc,ys=8.24×10-6MPa，根據式(1)和式(2)，對于壁厚t=2 mm的三星型微結構，第一臨界速度νcr1≈21.76 m/s，第二臨界速度νcr2≈78.65 m/s。因此，本文選取三個沖擊速度20 m/s，50 m/s和80 m/s。

2.2 MATLAB隨機缺失

由于加工流程多、加工難度大等因素，現有工藝無法避免三星型微結構中缺陷的產生。本文采用MATLAB產生隨機缺失，將左下角的微元胞所在位置記為坐標(1,1)，建立相互垂直的x，y坐標軸以表達各個微元胞所在位置，通過MATLAB產生限制在(1,1)～(11,11)的隨機坐標表示缺失的微元胞，以此達到產生隨機缺失的目的。為便于陳述，本文引入微元胞缺陷系數(lack of cell，LC)這一概念，并討論相同沖擊速度下，不同缺陷系數(0，0.8%，1.6%，2.5%，3.3%，4.1%，5.0%，5.8%)以及相同缺陷系數下，不同沖擊速度(20 m/s，50 m/s，80 m/s)對三星型微結構面內動態響應的影響。

3 三星型微結構動態性能分析

3.1 負泊松比微結構應力-應變曲線

如圖9所示，三星型微結構的應力-應變曲線可分為四個區域：彈性區、平臺應力區、平臺應力增強區和密實區。在彈性區，該微結構的壓縮應力在極短的時間內急劇增大至初始應力峰值，而后逐漸減小并趨于穩定；在平臺應力區，壓縮應力趨于穩定并圍繞某一固定值上下波動，同時產生較大的壓縮應變，該階段為沖擊吸能的主要區域；隨著壓縮應變的持續增大，壓縮應力不再保持穩定，而是隨著壓縮應變以一定斜率逐漸增大，稱為平臺應力增強區；到達密實區后，所有的微元胞胞壁完全貼合在一起，達到壓縮密實，密實化區開始的標志是應力應變曲線斜率突然增大并保持不變。

圖9 典型微結構應力-應變曲線Fig.9 Stress-strain curves of typical cellular structure

3.2 不同缺陷系數對三星型微結構面內動態響應的影響

本節討論在相同沖擊速度下，不同缺失個數(LC=0，LC=0.8%，LC=1.6%，LC=2.5%，LC=3.3%，LC=4.1%，LC=5.0%，LC=5.8%)對該微結構面內動態特性的影響，其中，壓縮應變可由式(3)獲得

ε=ν·t/L2

(3)

式中,L2為有限元計算模型的豎直高度。

當沖擊速度為20 m/s時，三星型微結構在不同缺陷系數下的變形模式圖，如圖10所示。

從圖10可較為明顯看出，當ν=20 m/s時，整體呈現為“><”的內凹變形模式(見圖10(a))，由此變形模式可以看出該三星型微結構具有“壓縮-收縮”的負泊松比特性。隨著缺陷系數LC的增加，該微結構的負泊松比特性明顯減弱。當微元胞內部不完整時，由于微元胞桁架結構的特性，缺陷的存在引起微元胞變形不規律，材料內部開始產生塑性坍塌區。隨著缺陷系數LC的增加，塑性坍塌區域逐漸增大，擴展到整個微結構的時間縮短，從而造成到達密實區的時間縮短，該微結構的內凹變形趨勢減弱。

同理，可得到當沖擊速度為50 m/s時，在不同缺陷系數下，三星型微結構的變形模式圖，如圖11所示。

圖10 當沖擊速度為20 m/s時，三星型微結構在不同缺陷系數下的變形模式Fig.10 Deformation modes of tristar cellular structure under lacking unit cell at 20 m/s

從圖11可看出，當沖擊速度增加至50 m/s時，在沖擊載荷作用下，首先在沖擊端形成局部變形帶，壓縮應變繼續增加時，沖擊端的局部變形帶逐漸向中間傳遞，直到壓縮密實。在此沖擊變形過程中微結構仍然會表現出負泊松比特性，但不如低速沖擊時明顯。

圖11 當沖擊速度為50 m/s時，三星型微結構在不同缺陷系數下的變形過程Fig.11 Deformation processes of tristar cellular structure under different lacking of unit cell at 50 m/s

同理，還可得到當沖擊速度為80 m/s時，在不同缺陷系數下，三星型微結構的變形模式圖，如圖12所示。

從圖12可看出，當速度為 80 m/s 時，位于固定端的微結構屈服時間再次縮短，試件在靠近沖擊端的形成局部變形帶。遠離沖擊端的微元胞還未發生變形，靠近沖擊端的微元胞已相互擠壓失效。隨著應變的增加，試件逐漸在靠近沖擊端的部位形成層層壓潰的局部變形模式，整體呈現“><”的變形模式。在高速沖擊載荷作用下，局部變形帶內的微元胞變形模式基本一致，變形帶外的微元胞變形模式基本一致。

該三星型微結構在相同沖擊速度、不同缺陷系數下的應力-應變曲線，分別如圖13、圖14和圖15所示。

圖13 當沖擊速度為20 m/s時，不同缺陷系數下三星型微結構應力-應變曲線Fig.13 Stress-strain curves of tristar cellular structure under different lacking of unit cell at 20 m/s

圖14 當沖擊速度為50 m/s時，不同缺陷系數下三星型微結構應力-應變曲線Fig.14 Stress-strain curves of tristar cellular structure under different lacking of unit cell at 50 m/s

圖15 當沖擊速度為80 m/s時，不同缺陷系數下三星型微結構應力-應變曲線Fig.15 Stress-strain diagram of tristar cellular structure under different lacking of unit cell at 80 m/s

從圖13可看出，當曲線處于彈性區時，LC越大，該微結構的應力峰值越小。當曲線進入平臺應力區，LC越大，應力-應變曲線與應變水平軸的距離越小，LC=0平臺應力區曲線距離應變水平軸最遠。從圖14可看出，50 m/s時彈性區的應力峰值比20 m/s時有所增大，平臺應力增強區的長度有所增加。同時，進入密實區的壓縮應變相較于20 m/s 時有所增加，當壓縮至密實區時，該微結構的應力增大。從圖15可看出，相較于50 m/s，80 m/s時，彈性區的應力峰值進一步增大，平臺應力區和平臺應力增強區的長度有所增加，并且應力-應變曲線距應變水平軸的距離整體有所增加，進入密實區的時間進一步縮短，壓縮應變進一步增大。當壓縮至密實區時，微結構的應力也進一步增大。

3.3 沖擊速度對三星型微結構面內動態響應的影響

圖16(a)～圖16(h)分別為相同缺陷系數、不同沖擊速度下三星型微結構的應力-應變曲線。

圖16 相同缺陷系數下三星型微結構應力-應變曲線Fig.16 Stress-strain curves of tristar cellular structure under same lacking of unit cell

由圖16可知，當應力-應變曲線處于彈性區時，隨著沖擊速度的增加，彈性區出現的應力峰值也增大。當曲線進入平臺應力增強區后，ν=80 m/s時的應力-應變曲線處于最下方且長度最長，其他兩個速度的應力-應變曲線位于最上方且長度較為接近。而微結構材料的吸能特性主要由平臺區(平臺應力區和增強區)決定，因此，除ν=80 m/s，其他兩種沖擊速度下的微結構吸能特性較為接近。

3.4 三星型微結構平臺應力與吸能特性分析

3.4.1 平臺應力

微結構平臺應力可表示為

(4)

式中：εcr為屈服應變，為名義壓縮應力到達第一個應力峰值時的名義應變；εd為密實應變。

由表2和圖17可同時看出，在特定缺陷系數下，隨著沖擊速度的增加，微結構材料的慣性效應逐漸增強，三星型微結構的平臺應力整體呈增大的趨勢。

表2 不同缺陷系數下的平臺應力值Tab.2 Platform stresses under different lacking of unit cell

圖17 不同工況下的平臺應力Fig.17 Platform stresses under different working conditions

3.4.2 吸能特性

不同工況下，三星型微結構的吸能曲線，如圖18所示。

圖18 不同工況下三星型微結構的吸能曲線Fig.18 Energy absorption curves of tristar cellular structure under various working conditions

從圖18可看出，在相同缺陷系數下，隨著沖擊速度的增加，吸能曲線與水平應變軸之間的距離呈增大趨勢，說明了該三星型微結構在高速沖擊載荷下表現出較好的吸能特性。

由圖19可知，在同一沖擊速度下，微結構的壓縮與應變處于一個特定值時，隨著缺陷系數的增加，吸能曲線距應變水平軸的距離呈略微減小的趨勢。當應變較大時，微元胞逐漸被壓縮緊實，微元胞胞壁之間互相貼合，形成新的支撐，此時微元胞缺失的區域不能形成密實區，并且會產生一定的扭曲變形，使吸能特性發生變化，又由于模型實際工況中微元胞缺失不是均勻分布的，因而，不同模型的結構間會存在差異，使吸能特性變化并不規律。這與實際工況下微元胞隨機缺失特點相符合。從圖19中還可知，在低速沖擊下，LC的增加對三星型微結構的吸能特性在應變較低時有一定影響，但隨應變增大，則影響減小，在高速沖擊下，LC的增加對其吸能特性有較大影響。為更直觀地對比不同沖擊速度和不同LC下，該三星型微結構的單位質量吸能量，獲得壓縮應變為0.8時的單位質量吸能量隨缺陷系數的變化曲線，如圖20所示。

圖19 不同缺陷系數下三星型微結構的吸能曲線Fig.19 Energy absorption curves of tristar cellular structure under different lacking of unit cell

圖20 當ε=0.8時單位質量吸能量隨缺陷系數的變化曲線Fig.20 The curves of unit mass energy absorption with various LC under the condition of ε=0.8

從圖20可看出：當ν=20 m/s時，單位質量吸能的標準差為384.1； 當ν=50 m/s時的單位質量吸能的標準差為736.4； 當ν=80 m/s時的單位質量吸能的標準差為1 016.6。綜合以上表明，沖擊速度越大，標準差越大，進一步說明三星型微結構的吸能特性隨著LC增加的變化越大，LC增加對三星型微結構吸能特性的影響越大。結合圖20還可得出，在低速沖擊下，LC的增加對三星型微結構的吸能特性影響較小，在高速沖擊下，LC的增加對其吸能特性影響較大。

4 結 論

本文針對三星型微結構，研究了不同微元胞缺失條件(缺陷率為0，0.8%，1.6%，2.5%，3.3%，4.1%，5.0%，5.8%和不同沖擊速度20 m/s，50 m/s，80 m/s)下，該微結構的面內動態性能。結論如下：

(1) 得到不同沖擊速度和不同缺陷條件下三星型微結構的應力-應變曲線，可得出在高速沖擊載荷作用下，缺陷的存在會明顯地削弱該微結構的面內動態性能。相比高速，中速下的變形模式由穩定趨向雜亂無章的過程相對緩慢，缺陷對其面內動態性能影響較小。

(2) 通過對平臺應力與吸能特性的對比分析，得出了不同條件下的平臺應力曲線和單位體積吸能曲線。在相同速度下，隨著缺陷系數的增加，平臺應力呈降低趨勢。但在不同速度的沖擊載荷下，平臺應力值和吸能量變化不明顯。

(3) 通過觀察該三星型微結構的變形模式、平臺應力和吸能曲線可知，在實際生產中，微結構材料的使用環境不同，對該材料的加工工藝要求也不同：在相對較低的沖擊載荷作用下，允許微結構中出現一定的缺陷，但在較高沖擊速度下，則應盡量避免缺陷因子的產生。