黏性剪切阻尼器性能頻率依存性對斜拉索多模態(tài)阻尼影響研究

孫利民， 孫浚杰， 陳 林

(1. 同濟大學 土木工程學院，上海 200092；2. 同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092)

纜索承重結構具有卓越的跨越能力，在土木建筑結構中受到了廣泛地運用，常見的包括斜拉橋、懸索橋等。對于斜拉橋，拉索作為主要傳力構件，對橋梁的安全至關重要。近幾十年來，隨著橋梁跨徑的逐漸增大，目前斜拉索長度已經接近600 m。然而，作為一種細長構件，由于拉索橫向剛度小、自身阻尼低的特點，在風及風雨耦合作用下常出現明顯振動，甚至是大幅振動。常見的風致振動包括抖振、渦振、馳振和風雨激振等，其中屬風雨激振最為劇烈，具有自激和發(fā)散特性[1-2]。風雨激振最早在日本Meiko-Nishi橋上觀察到，后來在美國休斯頓的Fred Hartman大橋、中國上海的楊浦大橋、丹麥的Faroe大橋上均有發(fā)現[3]。風雨激振發(fā)生時的風速較低，通常在8～15 m/s左右；振動頻率一般小于3 Hz，此頻段內涵蓋了拉索的多個低階模態(tài)；振動幅值約1 m，甚至可引起相鄰拉索的碰撞，嚴重危害索及錨固結構的疲勞壽命和橋梁的適用性。

為了控制拉索的振動，工程中常采用的控制方法有：①對索表面進行氣動措施處置，目的是打破拉索與風雨的耦合機制；②在索端安裝阻尼器，增大對橫向振動的耗能效果[4]；③在索間設置輔助索，提高索的整體剛度和耗能效果[5]。其中，在索端安裝阻尼器的方法能顯著增加索的模態(tài)阻尼，對拉索不同機理和模態(tài)的振動均有抑制效果，是目前拉索振動控制最為有效，研究得最為透徹的方法之一[6]。對于拉索阻尼器系統，早期研究均將索模擬為一根張緊弦，將阻尼器考慮為理想的黏滯阻尼器，關注索的一階阻尼。例如，Yoneda等[7]結合工程經驗，近似得到了阻尼器安裝在拉索錨固的一階模態(tài)阻尼比。隨后，Uno等[8]引入了無量綱參數的分析方法，極大簡化了阻尼器設計計算。Pacheco等[9]運用伽遼金法計算了理想張緊弦-黏滯阻尼器系統的模態(tài)阻尼比，得到了通用的阻尼器設計曲線。他們的結論是，對于參數一定的拉索，最大附加阻尼比僅與阻尼器安裝位置有關；同時，通過自由衰減試驗發(fā)現試驗所得最大模態(tài)阻尼比遠小于理論值，猜測極有可能的影響因素來自于阻尼器的非線性、剛度等特性。

此后，模擬真實拉索阻尼器系統得到了學界更多的關注，對相關特性進行了大量研究。Xu等[10]用混合法研究了實際拉索的垂度的影響，Tabatabai等[11]研究了考慮拉索抗彎剛度的阻尼器減振效果。所得結果表明，抗彎剛度對所獲得的模態(tài)阻尼比有較大影響，但拉索垂度主要對一階模態(tài)阻尼比有影響。進而，Krenk等[12]推導了拉索模態(tài)阻尼比的解析表達式，并給出了前幾階模態(tài)阻尼比的漸近式；采用同樣的方法，Krenk等[13]進而考慮了索垂度對系統動力特性的影響。Main等[14]詳細分析了阻尼器位于索上任意位置時對索頻率和阻尼的改變作用，他們進而考慮了索抗彎剛度的影響[15]。通過實索阻尼器試驗，周海俊等[16-17]發(fā)現阻尼器及其連接支撐性能對其減振效果有顯著影響。周亞剛等[18]進而建立了拉索-三單元Maxwell模型考慮阻尼器內剛度和支架柔度的影響，發(fā)現兩者均會顯著削弱阻尼器的減振效果；周海俊等[19]通過復模態(tài)理論分析，得到了考慮阻尼器的內剛度索模態(tài)阻尼比表達式。同時，Fujino等[20]綜合考慮了索剛度、阻尼器剛度和支撐柔度的影響，Duan等[21]探討了額外阻尼器質量的影響。梁棟等[22]研究發(fā)現主梁振動會削弱安裝在索梁間的阻尼器對拉索的減振效果。Sun等[23]采用分數階模型擴展現有拉索-黏滯阻尼器系統，更好地模擬了索阻尼器力與位移的普遍規(guī)律。同時，阻尼器的非線性對其阻尼效果的影響也受到了研究者的關注[24-26]。

為了提升阻尼器對拉索的阻尼效果以解決超長拉索的振動控制問題，較多研究提出了基于磁流變阻尼器的方案和算法[27-28]，近年來，更多的研究關注被動阻尼器減振效果的提升策略，例如Chen等[29]提出采用負剛度阻尼器實現阻尼效果的提升，李壽英等[30-31]研究了多種黏滯慣性質量阻尼器對拉索的減振效果。

前述所涉及的文獻主要關注阻尼器對索特定模態(tài)的阻尼效果及對應的阻尼器參數。實際工程中的阻尼器設計需要針對索多階振動模態(tài)[32]，比如針對拉索 0～3.0 Hz易出現風雨振的低階振動模態(tài)。假定阻尼器性能參數不受頻率影響，如果阻尼器針對某一特定模態(tài)設計，其在此模態(tài)下達到最佳性能，則在高階模態(tài)下將會過于剛性，而在較低模態(tài)下則會過于柔弱。同時，現有多種阻尼器的理論和試驗研究中，發(fā)現絕大多數阻尼器的性能都表現出頻率依存性的特點。例如在日本和中國廣泛應用的拉索減振阻尼器中的黏性剪切阻尼器(viscous-shear damper，VSD)，在固定位移幅值下，隨著振動頻率的增大其等效阻尼系數變小而剛度系數增大[33-34]。注意到，阻尼系數隨頻率增大而減小是有利于拉索的多階振動控制的，因為高階振動的最優(yōu)阻尼系數小于低階模態(tài)對應的最優(yōu)阻尼系數。但是，剛度系數的增加則會削弱高階振動的阻尼性能。然而，截至目前，對于阻尼器性能的頻率依存性還沒有得到充分的考慮，因此，本文考慮阻尼器性能頻率依存性的減振研究就表現出了明顯的實用性。

針對上述問題，本文通過阻尼器單體試驗、理論分析和實索試驗驗證三個方面，對比研究阻尼器性能頻率依存性對拉索多模態(tài)振效果的影響，并提出了一套實用的考慮阻尼器性能頻率依存性的設計方法。

1 黏性剪切阻尼器單體性能試驗研究

1.1 黏性剪切阻尼器

黏性剪切阻尼器在斜拉索振動控制中應用廣泛，典型的VSD包括兩個主要部分，即裝有黏性介質的箱體和一個浸入黏性介質的可移動剪切板，如圖1所示。當剪切板相對套箱移動時，由于黏性介質的抗剪作用將會產生一個反力。同時假定移動板和套箱邊板之間的黏性介質厚度在運動過程中保持一致，那么反力的大小主要取決于介質的黏性、剪切板之間的黏性介質厚度和總剪切面積。從圖1可知，VSD不同于常見的油阻尼器、液壓阻尼器，其結構簡單，沒有諸如密封圈、閥門、活塞、球鉸等高費用且脆弱的部件，因此具有良好的經濟性、耐久性和易維護性。拉索參數如表1所示。

圖1 黏性剪切阻尼器構造圖Fig.1 A schematic diagram of the viscous-shear damper

表1 拉索參數表Tab.1 Cable parameters

1.2 阻尼器單體測試試驗

針對表1蘇通大橋的一根斜拉索，本研究設計制作了一個VSD，首先在實驗室的液壓伺服機上進行試驗，如圖2所示。利用最大出力10 kN的由計算機控制的作動器對VSD施加正弦強迫位移。考慮到后續(xù)實橋測試中能激起的拉索振幅一般較小，阻尼器的變形幅值較小，因此測試關注阻尼器的變形幅值約為5 mm時的性能。試驗中同步記錄阻尼器的變形和對應的阻尼器出力，采樣頻率為100 Hz。強迫振動的頻率根據對應拉索的振動模態(tài)頻率選取。

圖2 實驗室內測試時的阻尼器Fig.2 The viscous-shear damper in laboratory testing

VSD的試驗結果如圖3所示。圖3(a)為VSD在確定振動幅值下，四種不同頻率的強迫正弦位移加載條件下的出力-位移曲線；圖3(b)為相應的出力-速度曲線。從圖3(a)可知，在最初的幾個周期中有明顯的出力衰減并且在幾個周期后穩(wěn)定。在試驗中，為了使出力曲線穩(wěn)定，每次試驗進行10個周期的加載。

圖3 單體試驗示例Fig.3 Examples of laboratory testing results of the viscous-shear damper

1.3 阻尼器性能的頻率依存性

阻尼器性能試驗得到的出力-位移曲線近似為一傾斜的橢圓，見圖3。表明阻尼器表現出彈簧的力學行為，即阻尼器具有內剛度作用。因此，選取Kelvin-Voigt模型模擬VSD的動力特性，其出力公式為

(1)

對于每個固定頻率和振幅的測試工況，根據最后一個加載周期的出力和位移利用最小方差法擬合其等效剛度系數kd和阻尼系數cd。圖4對比了根據Kelvin-Voigt模型識別出的參數和強迫位移、速度時程得到的出力-位移曲線和出力-速度曲線與圖3中的實測曲線。注意圖4只繪制了實測的最后一個周期的曲線用于對比。從圖4可知，Kelvin-Voigt模型在給定位移和速度下足以精確地推算出VSD阻尼器的出力。

圖4 試驗結果與識別結果對比Fig.4 Comparison of laboratory testing results and the fitted model

固定阻尼器的變形幅值，發(fā)現在不同頻率下，阻尼器的剛度系數、阻尼系數隨著頻率變化而出現顯著變化。分別采用如下近似關系描述VSD剛度和阻尼系數的頻率依存性

(2)

(3)

圖5繪制了擬合函數在頻率0～6 Hz擬合的VSD剛度和阻尼系數，實測的結果在圖中采用星號表示。

圖5 阻尼器性能實測值與擬合對比Fig.5 Comparison of the identified mechanical properties and the fitting result

2 斜拉索-阻尼器系統復模態(tài)分析

采用復模態(tài)分析方法建立斜拉索-阻尼器系統的動力方程，并給出方程的求解方法，為分析阻尼器的實索減振效果奠定基礎。考慮將圖4所示的Kelvin-Voigt阻尼器安裝在一根小垂度拉索近錨固端的位置，系統理論模型如圖6所示。拉索水平放置，l為弦長，m；Le為拉索受力伸長后的長度，m；H為拉索張力，kN;m為單位長度質量,kg/m;g為重力加速度,9.81 m/s2;EA為軸向剛度，其中，E為拉索的彈性模量,GPa；A為拉索的有效截面面積，m2；kd為阻尼器剛度，kN/m;cd為阻尼系數,kN/m/s。本文關注外置阻尼器帶來的附加阻尼，故其抗彎剛度和自身阻尼的影響可以忽略不計。為了描述拉索的靜位移和動位移，采用圖6的坐標系。以拉索弦線為x軸，y(x)和v(x,t)分別表示拉索的靜位移(靜止狀態(tài)形狀)和相對靜位移的動位移。

圖6 拉索-阻尼器系統模型Fig.6 A shallow cable equipped with a damper

此處系統特征方程的推導，在Krenk等[13]研究的基礎上考慮了拉索的垂度效應(見圖6)。有垂度拉索在距離支承點a的位置安裝阻尼器，用一個橫向阻尼力f(t)模擬。假設拉索為小垂度拉索，可采用垂索模型進行模擬。即，其靜位移可以假定為拋物線函數

(4)

式中：d為拉索跨中垂度，m;x為拉索軸向坐標(見圖6)。拉索的動位移用v(x,t)表示(見圖6)，由微分方程確定

(5)

(6)

(7)

在表達式中，帶波浪符的變量為時間變量的幅值。其中x′表示以遠離阻尼器安裝處的拉索錨固端為起點的拉索軸向坐標，阻尼器與該錨固端的距離為a′=l-a。式(6)和式(7)中波數β與拉索圓頻率ω有如下關系

(8)

在頻域中表示拉索彈性延伸方程，將時間函數exp(iωt)在等式兩側消去后得到

(9)

(10)

式中， 垂度系數λ2為

(11)

式中，θ為拉索的傾角，(°)。將式(6)和式(7)代入式(10)得

(12)

(13)

索在阻尼器安裝位置的內力平衡條件在頻域中可以表示為

(14)

(15)

cot(βa)+cot(βa′)+

(16)

(17)

將式(17)代入(16)并簡化，特征方程變?yōu)?/p>

(18)

其中，

(19)

將式(18)中的α用iη代換可以將垂索的特征方程簡化成Krenk等研究中的形式。為了本文研究的整體性簡要討論了公式的推導。式(18)可以簡化為類對稱和類反對稱模態(tài)。對于類對稱模態(tài)，如式(20)所示

(20)

而對于類反對稱模態(tài)可以得到

(21)

以上兩式可以采用Krenk等提出的不動點迭代方法求解。

拉索第n階模態(tài)阻尼比ζn可以通過求解復模態(tài)波數獲得

ζn=I(βnl)/|βnl|

(22)

由于阻尼器靠近拉索錨固端，可以得到

(23)

(24)

3 考慮阻尼器性能頻率依存性的拉索多模態(tài)阻尼效果分析及實索驗證

3.1 理論分析

采用第2章給出的復模態(tài)的分析方法，結合第2章測得的阻尼器參數，分析阻尼器對拉索的多階模態(tài)阻尼效果。首先，根據表1所示的拉索參數得到索無阻尼器安裝時拉索的第1階～第12階、以及第15階和第20階模態(tài)的振動頻率，代入阻尼器力學特性的擬合函數式(3)，得到索各階振動時，阻尼器近似的力學特性，如表2所示。然后，將表中的剛度系數和阻尼系數及對應的模態(tài)階數代入迭代式(20)或式(21)，即可求解得到對應的模態(tài)阻尼比，如表3所示。

3.2 實索試驗驗證

將該阻尼器安裝在目標拉索上進行實索試驗，采用自由衰減實測試驗方法評價阻尼器的實索多模態(tài)阻尼效果。實測試驗工況可分為兩組：①安裝有針對設計的VSD試驗組；②無外置阻尼器的對比組，目的是得到目標拉索的內阻尼。基本流程如下，根據目標模態(tài)對試驗拉索進行激勵，在振動幅度達到特定要求后，使拉索自由衰減，并通過其響應計算得到模態(tài)阻尼比；試驗方案如圖7所示。激振器、加速度計安裝在橋面以上約13 m處；鋼繩用于對低階模態(tài)的人工激勵。傳感器、激振器和VSD的安裝，如圖8所示。

表2 基于試驗結果插值得到阻尼器在不同頻率情況下的剛度和阻尼系數Tab.2 Interpolation results based on the test for the stiffness and damping coefficients of the damper at different frequencies

表3 示例拉索的現場實測結果Tab.3 Field test results of the example cable

圖7 試驗方案示意圖Fig.7 Schematic diagram of field testing

圖8 儀器安裝照片Fig.8 Photos of installed sensors and oscillator in the field testing

現場試驗中首先采用人力或者激振器對索的單階振動進行激勵，然后停止激振得到對應模態(tài)的自由衰減。實測的索單階起振和自由衰減期間的加速度時程，如圖9所示。

圖9 實索試驗加速度時程Fig.9 Acceleration time history of cable testing

然后對自由衰減部分的信號進行濾波和擬合處理，進而得到索該階振動的模態(tài)阻尼比。以圖9(b)中第15階模態(tài)為例，信號處理的完整過程，如圖10所示。

圖10 信號處理過程Fig.10 Signal processing process

首先進行傅里葉頻譜分析，得到拉索的模態(tài)頻率，本例為第15階(見圖10(a))；然后運用巴特沃思帶通濾波器在模態(tài)頻率附近正負0.2 Hz區(qū)間內進行濾波處理，結果見圖10(b)；然后，對濾波后時程的波峰波谷進行絕對化處理，并采用下式擬合阻尼效果：

(25)

同時，實測的模態(tài)阻尼比和根據前述的考慮阻尼器頻率依存性的理論分析得到的索模態(tài)阻尼比，如圖11所示。實測中，由于索激振點只能布置在索靠近梁端的位置，因此未能成功激起索的第1階和第2階振動。對于測試的索第3階～第12階、以及第15階和第20階振動，實測結果和理論預測較為吻合。作為對比，考慮阻尼器的剛度和阻尼系數均為定值的情況(采用單體試驗第一階結果，剛度系數384.763 kN/m，阻尼系數213.619 kN·s/m)，然后分析拉索各階模態(tài)阻尼比，分析結果同樣繪制在圖11中。可見，不考慮阻尼器性能的頻率依存性，理論分析會出現很大誤差。

圖11 考慮阻尼器參數頻率依存性得到的多模態(tài)附加阻尼值與實測對比圖Fig.11 Comparison of the multimode additional damping value obtained by considering the frequency dependence of the damper and the actual measurement

3.3 實用設計流程

為便于對工程減振設計的指導，根據本文研究結果，提出了一套實用的考慮阻尼器性能頻率依存性的設計方法，流程如圖12所示。

圖12 考慮頻率依存性的實用設計流程圖Fig.12 Practical design flow chart considering a damper with frequency-dependent properties

4 結 論

本文以一根長454.1 m的超長斜拉索為研究對象，設計制作了一個工程中常用的VSD。首先開展了阻尼器單體性能試驗，測試了阻尼器在不同頻率的正弦強迫位移作用下的力學特性，結果表明阻尼器的剛度和阻尼均具有明顯的頻率依存性；進而，研究采用指數函數擬合試驗結果得到了阻尼器特性與頻率之間的近似關系。然后，研究建立了小垂度拉索附加有內剛度的阻尼器后系統的頻率方程，推導了數值迭代求解表達式。最后，研究將制作的阻尼器安裝在目標拉索上進行試驗，測試了阻尼器對拉索10多階模態(tài)的阻尼效果，與理論分析進行了對比和總結，可以得到如下結論：

(1) 斜拉索常用的VSD的力學特性具有顯著的頻率依存性，其剛度和阻尼系數與頻率之間的關系可以采用指數函數來近似描述。

(2) 超長拉索振動控制需要考慮多階模態(tài)，此時需要考慮阻尼器的頻率依存性分析阻尼器對索多階模態(tài)阻尼效果，忽略阻尼器的頻率依存性會引起較大估計誤差，會導致對低階模態(tài)阻尼比的高估和對高階模態(tài)阻尼比的低估。

(3) 基于阻尼器多頻率下的單體性能試驗和本文提出的索-阻尼器理論分析模型，提供了一種實用和準確的考慮阻尼器性能頻率依存性的設計方法。