多尺度串聯非線性能量阱的減振效能及阻尼連接方式研究

陳建恩， 張維興， 劉 軍， 葛為民

(1. 天津理工大學 機械工程學院 天津市先進機電系統設計與智能控制重點實驗室，天津 300384；2. 天津理工大學 機電工程國家級實驗教學示范中心，天津 300384)

傳統的被動式線性吸振器只能在特定的頻率附近才能發揮較好的減振效果，難以在復雜的工程環境中有效抑制有害振動[1-3]。非線性能量阱(nonlinear energy sink, NES)利用純非線性彈性元件構造能量轉移路徑，具有振動抑制頻帶寬，附加質量小等優點[4-6]。NES與主結構之間能夠進行靶向能量傳遞[7-8]，使NES可以高效和不可逆的耗散主結構的振動能量[9]。NES在減振領域的諸多優勢，吸引了大量的研究者的關注。Zhang等[10]發現NES可以顯著減小氣動載荷作用下的復合材料層合板的振動。陳勇等[11]利用NES的寬頻吸振的特性對高聳結構進行振動抑制。Yang等[12]使用NES來吸收輸送流體的管道的振動能量。此外，對于梁結構的振動[13-14]，飛行器振動[15]，刀具運動過程中的振動[16]等，NES也能取得較好的減振效果。

最初的NES由單個非線性剛度元件、單個線性阻尼元件和單個質量元件組成。對傳統NES進行合理的改進可以提高其減振效能和魯棒性，串聯NES是其中的一種較易實現的改進方案。Gendelman等[17]研究了主結構連接串聯NES后的系統響應，發現相比單自由度NES，串聯NES具有更強的靶向能量傳遞能力。Grinberg等[18]研究了主結構連接串聯NES后的周期、準周期、混沌響應，并發現串聯NES比單自由度NES的減振效能更強。Tsakirtzis等[19]研究了多自由度主結構連接多自由度NES后的復雜動力學響應?？讘椚实萚20]研究了簡諧激勵下兩自由度NES對主結構的振動抑制效果，發現兩自由度NES可以更高效的降低主結構的響應幅值。Taghipour等[21]分別研究了非線性主結構連接單自由度NES和串聯NES后的系統響應，發現串聯NES具有更強的魯棒性。

現有研究主要針對由相同參數的純立方振子構成的串聯NES而進行，且NES與主結構的連接方式通常為不接地型。串聯NES的構造形式對其吸振效能的影響值得探索。此外，不接地型串聯NES在一定程度上克服了單自由度NES的減振效能在大幅激勵下嚴重降低的問題，但在一些工程環境中，接地型串聯NES更易實現且成本更低，因此，該類型NES是否仍具有較好的減振效能，需要進一步的研究。本文主要研究了由不同尺度純立方振子構成的三自由度阻尼接地型NES和不接地型NES的減振效能的差異以及變化規律，并與兩種單自由度NES的減振效能進行了比較。此外，對兩種不同類型的串聯NES中的各級純立方振子的能量耗散能力進行了分析。

1 系統模型

單自由度線性主結構連接三自由度阻尼接地型NES和不接地型NES的力學模型分別如圖1和圖2所示。兩種耦合系統在外激勵作用下的動力學方程分別如式(1)和式(2)所示。

(1)

(2)

式中：x1，x2，x3，x4分別為主結構和三級純非線性振子的位移；μ為主結構的阻尼系數；λ1，λ2，λ3分別為三級純非線性振子的阻尼系數；K為主結構的線性剛度系數；k1，k2，k3分別為三級純非線性振子的非線性剛度系數。

圖1 主結構連接三自由度阻尼接地型NES的力學模型Fig.1 Mechanical model of the primary structure connected to the three-degree-of-freedom NES with grounded damping

圖2 主結構連接三自由度不接地型NES的力學模型Fig.2 Mechanical model of the primary structure connected to the three-degree-of-freedom NES with ungrounded damping

對式(1)、式(2)引入如下變量

(3)

因此，式(1)、式(2)可以變換為

(4)

(5)

2 沖擊激勵下的系統響應

利用MATLAB軟件中的龍格庫塔法分別對主結構連接三自由度阻尼接地型NES和不接地型NES的動力學方程進行求解。本文選取的系統參數為

ε1=0.04，ε2=ε1/3，ε3=ε2/3,
kn1=0.3，kn2=kn1/10，kn3=kn2/10,

γ0=0.01，γ1=0.005，γ2=γ1/2，γ3=γ2/2

(6)

作用在主結構上的沖擊載荷Γ(τ)為如下半正弦脈沖的形式

(7)

式中，T=0.4/π。

首先求得未連接NES與連接NES后的主結構的能量變化，通過主結構的能量變化來衡量不同的NES的減振效能的差異以及變化規律。此外，為更清晰地理解多尺度串聯NES的減振效能，將其與單自由度阻尼接地型NES和不接地型NES的減振效能進行對比。為保證可比性，令單自由度NES的質量等于串聯NES中的各級振子的質量之和，阻尼等于各級振子的阻尼之和，剛度與第一級NES的剛度保持相同。

主結構所具有的能量記為En，其值可以用以下表達式進行計算

(8)

定義NES對主結構的能量耗散比為

(9)

式中：η為NES對主結構的能量耗散比；E1為未連接NES時主結構所具有的能量；E2為連接NES時主結構所具有的能量。

進行計算時，要求振子的振動能夠在仿真時間內完全衰減，故取仿真時間τ為0～2 000。F取值間隔為0.5，求得不同激勵幅值下NES對主結構的能量耗散比，如圖3所示。從圖3可知，在激勵幅值較低的情況下，如F=1～4時，不接地型NES的能量耗散比要遠高于阻尼接地型NES，兩種接地型NES對主結構幾乎沒有減振效果，而兩種不接地型NES對主結構的能量耗散比可以達到0.33～0.50。此外，在激勵幅值較低時，單自由度不接地型NES對主結構的能量耗散比要高于三自由度不接地型NES。

隨著激振力幅值的進一步增加，四種NES的能量耗散比間的差距逐漸減小，之后在一定的激勵幅值范圍內保持相近。當NES的能量耗散比到達峰值后，再增加激振力的幅值，四種NES的能量耗散比均呈現下降趨勢。值得注意的是，三自由度阻尼接地型NES的能量耗散比的下降速率要遠小于另外三種NES，且其值始終保持在一個較高的數值范圍。單自由度不接地型NES的能量耗散比的下降速率最大，其值會很快低于另外三種NES。此外，盡管單自由度阻尼接地型NES的能量耗散比的下降速率小于三自由度不接地型NES，但在一個相當大的激勵區間內，即F=13.5～34.5，三自由度不接地型NES的能量耗散比都要高于單自由度阻尼接地型NES。

圖3 NES的能量耗散比隨激勵幅值的變化規律Fig.3 Variations of energy dissipation ratios of the NESs with excitation amplitudes

沖擊載荷下未連接NES與連接兩種多尺度串聯NES后主結構的波形圖，如圖4所示。由圖4可知，沖擊激勵幅值F=5，F=15，F=30時，未連接NES時主結構的振動達到較低振幅(即達到初始振幅的5%以下)所需時長分別為τ=595，τ=600，τ=605，連接三自由度阻尼接地型NES時主結構到達同樣的降低率時所需時間分別為τ=478，τ=278，τ=65，而連接三自由度不接地型NES時主結構到達同樣的降低率所需時間分別為τ=300，τ=82，τ=75。

激勵幅值為F=5，F=15時，相比于連接三自由度阻尼接地型NES的主結構，連接三自由度不接地型NES的主結構可以在更短的時間內達到較低振幅，即此時三自由度不接地型NES的減振效果好于三自由阻尼接地型NES。而當激勵幅值為F=30時，三自由度阻尼接地型NES對主結構的減振效果好于三自由度不接地型NES。

圖4 不同沖擊激勵幅值下主結構的響應Fig.4 Responses of the primary structure under different impact amplitudes

為進一步對比分析三自由度阻尼接地型NES與不接地型NES的減振效能，令ηc，η′c分別為兩種NES中各級振子的耗能比，其值可分別用式(10)、式(11)進行計算。

(10)

(11)

式中：ηc1，ηc2，ηc3分別為三自由度阻尼接地型NES中各級振子的耗能比；η′c1，η′c2，η′c3分別為三自由度不接地型NES中各級振子的耗能比。

兩種串聯NES中各級振子在不同激勵幅值下的耗能比，如圖5(a)和圖5(b)所示。激勵幅值較低時，即F=1～4，與圖5(a)中第一級純立方振子的耗能比接近于零不同，圖5(b)中第一級振子的耗能比可以達到0.33～0.37。而隨著激勵幅值的持續增加，在較大的激勵幅值變化范圍，如圖5(a)中F=11～50和圖5(b)中F=8.5～50.0，第一級振子的耗能比都是最低的。

圖5 不同沖擊激勵幅值下三級立方振子的耗能比Fig.5 The energy dissipation ratios of the three cubic oscillators under different impact amplitudes

在激勵幅值較低時，第三級振子的耗能比要小于另外兩級振子，而隨著激勵幅值的增大，第三級振子在對主結構能量耗散中發揮的作用越來越大，當沖擊激勵的幅值大于一定值后第三級振子的耗能比要遠大于另外兩級振子(見圖5(a))。相似地，隨著激勵幅值的增大，第三級振子在對主結構能量耗散中發揮的作用也是從最小逐漸轉換為最大(見圖5(b))。因此，在較大的沖擊載荷下，盡管質量最小，但第三級振子能夠更高效地吸收并耗散主結構的振動能量，這也是多尺度串聯振子的特點與優勢。

3 掃頻激勵下的系統響應

本節對掃頻激勵下不同類型的NES的減振效能進行對比研究。掃頻激勵的幅值F=0.01時，未連接NES和連接幾種不同的NES后的主結構的響應，如圖6所示。圖中Ω為激勵頻率。由圖6中的五幅子圖可知，未連接NES的主結構的響應幅值為0.97，連接單自由度阻尼接地型NES、單自由度不接地型NES、三自由度阻尼接地型NES、三自由度不接地型NES后主結構的響應幅值分別為0.23，0.21，0.23，0.20。掃頻激勵的幅值F=0.05時未連接NES和連接幾種不同的NES的主結構的響應圖像，如圖7所示。其相應的響應幅值分別為4.87，1.83，4.36，0.61，2.90。也可發現，激勵幅值較高時，連接NES的主結構在高頻區間，當Ω=1.1～1.3時，會出現另一個響應波峰，但是其峰值較低(見圖7(b))。

圖6 掃頻激勵幅值F=0.01時未連接NES與連接NES后的主結構響應Fig.6 Responses of the primary structure without NES attached and connected to the NESs when the sweep excitation amplitude F=0.01

圖7 掃頻激勵幅值F=0.05時未連接NES與連接NES后的主結構響應Fig.7 Responses of the primary structure without NES attached and connected to the NESs when the sweep excitation amplitude F=0.05

為進一步對比分析不同激勵幅值下不同類型的NES對主結構響應的影響，定義NES在掃頻激勵下的減振效能的計算公式，如式(12)所示(一個掃頻周期包含一次上掃頻和一次下掃頻)

(12)

式中：ηa為NES的減振效能；A1為無NES時主結構在一個掃頻周期內的響應幅值；A2為連接NES時主結構在一個掃頻周期內的響應幅值。

上述幾種NES的減振效能的變化曲線，如圖8所示。從圖8可知，掃頻激勵幅值較低時，即F=0.001～0.003，阻尼接地型NES的減振效能要低于不接地型NES，而三自由度不接地型NES的減振效能要低于單自由度不接地型NES。隨著掃頻幅值的增大，這四種NES的減振效能間的差距逐漸減小，減振效能逐漸相近。之后隨著掃頻幅值的繼續增加，各NES的減振效能陸續開始降低。值得注意的是，在掃頻幅值較低時減振效能最好的單自由度不接地型NES的減振效能率先開始下降，且會在較小的激勵幅值區間發生急劇降低，即F=0.019～0.025，單自由度不接地型NES的減振效能從0.86下降到了0.16。而在低掃頻激勵幅值時減振效能較差的三自由度阻尼接地型NES的下降趨勢較小，并且可以在激勵幅值較大時仍能保持較好的減振效能。

圖8 各NES的減振效能隨掃頻激勵幅值的變化情況Fig.8 Variations of the vibration reduction efficiency of different NESs with sweep excitation amplitudes

盡管在一些區間三自由度不接地型NES的減振效能要好于單自由度阻尼接地型NES，如F=0.027～0.045，但其減振效能的下降速率總體上要大于單自由度阻尼接地型NES，在一個較大的激勵幅值變化范圍，即F=0.047～0.100，三自由度不接地型NES的減振效能反而要遠低于單自由度阻尼接地型NES(見圖8)。對比圖3和圖8可知，在沖擊和掃頻激勵下，四種NES的減振效能變化規律定性上一致。

令Eci和E′ci分別為三自由度阻尼接地型NES與不接地型NES中各級純立方振子的耗能，其值可分別用式(13)、式(14)進行計算。令E表示NES總的耗能。

(13)

(14)

掃頻激勵下三自由度阻尼接地型NES與不接地型NES中各級振子的耗能，如圖9和圖10所示。對比分析圖9和圖10可得相同的結論，即激勵幅值較低時，從圖9(a)可知，當F=0.001～0.025，三個振子在主結構能量耗散中發揮的作用基本相同；而隨著掃頻激勵幅值的持續增加，在掃頻激勵幅值變化的較大范圍內；當F=0.041～0.100，第三級振子在主結構能量耗散中發揮的作用最大，耗能最高，而第一級振子在對主結構能量耗散中發揮的作用最小，耗能最低。不同的是，隨著激勵幅值的增加。圖10中三個振子間的耗能的差距會基本呈現越來越大的趨勢，而圖9中三個振子間的耗能的差距會逐漸保持相同。

圖9 三自由度阻尼接地型NES的各級純立方振子的耗能Fig.9 Energy consumption of purely cubic oscillators of the three-degree-of-freedom NES with grounded damping

圖10 三自由度不接地型NES的各級純立方振子的耗能Fig.10 Energy consumption of purely cubic oscillators of the three-degree-of-freedom NES with ungrounded damping

上掃頻和下掃頻過程中的上述幾種NES的總耗能變化曲線，如圖11所示。由圖11中的兩幅子圖可知，無論上掃頻還是下掃頻，在激勵幅值較低時，當F=0.001～0.025，這幾種NES的耗能相差較小。隨著激勵幅值的進一步增大；當F=0.025～0.073，單自由度阻尼接地型NES的耗能最大，而單自由度不接地型NES的耗能最?。怀掷m增加激振力的幅值，當F=0.073～0.100，三自由度阻尼接地型NES的耗能最大，而單自由度不接地型NES的耗能依然最小(見圖11(b))。

圖11 不同掃頻激勵幅值下各NES的耗能Fig.11 Energy consumption of the NESs with different sweep excitation amplitudes

4 結 論

對比研究了沖擊和掃頻激勵下不同類型NES的減振效能的差異和隨激勵增大的變化規律，并分析了串聯NES中各級純立方振子的能量耗散能力的不同。主要結論如下：

沖擊和掃頻激勵幅值較低時，不接地型NES的減振效能要高于阻尼接地型NES，單自由度不接地型NES對主結構的減振效能高于三自由度不接地型NES，隨著激振力幅值的進一步增加，四種NES的能量耗散比間的差距逐漸減小，之后在一定的激勵幅值范圍內保持相近。隨著激勵幅值的繼續增加，在較寬的激勵幅值變化范圍內，三自由度阻尼接地型NES能夠在較大激勵幅值范圍內始終能夠保持較好的減振效能。

兩種串聯NES的各級純立方振子在能量耗散中發揮的作用均隨激勵幅值的增加而變化，當激勵幅值較大時，質量最小的第三級振子反而能夠最大程度的消耗能量。此外，在不同的激勵類型下，四種NES的減振效能的變化規律在定性上一致。所不同的是，在掃頻激勵下，兩種不接地型NES的效能會發生跳躍式下降，接地型NES則沒有發生這種現象。