磁致負剛度電渦流慣質阻尼器力學性能試驗與仿真

尹光照， 汪志昊， 程志鵬， 鄭夢斐， 劉 洋

(華北水利水電大學 土木與交通學院，鄭州 450045)

隨著現代社會經濟的高速發展，高聳建筑和大跨度橋梁等大型土木工程結構數量逐漸增多，極易在風、地震等外界激勵作用下產生有害振動[1-3]。發展簡單高效的結構振動控制技術逐漸成為土木工程學科的研究熱點，其中結構被動控制技術因具有無需外部能源輸入、成本低等優勢而備受矚目[4]。以傳統黏滯阻尼器(viscous damper,VD)為代表的一元被動減振裝置在工程結構減振領域已得到廣泛應用，但VD的耗能效率及其對大型土木工程結構的減振效果仍亟待提升[5-6]。

受結構主動和半主動控制負剛度特性可實現結構減振增效的啟發，Sarlis等[7]通過合理布置預壓彈簧、間隙彈簧及樞軸板的位置，提出了一種適用于結構減震的負剛度控制裝置；Zhou等[8]在傳統VD的基礎上并聯預壓彈簧，提出了一種適用于斜拉索減振的預壓彈簧式負剛度阻尼器；Shi等[9]基于磁致作用力效應提出了一種磁致負剛度阻尼器。研究表明，相對傳統一元被動減振裝置，負剛度阻尼器作為一種典型的二元被動減振裝置體現出更好的減振效果。然而，現有負剛度阻尼器均呈現典型的位移相關型特征，一方面帶來結構減振設計的不便；另一方面也未能充分發揮負剛度對結構減振的耗能增效作用。

近年來，機械領域的“Inerter”(慣容-兩節點慣質單元)[10]的引入為提升結構被動控制效果提供了新的潛在手段。慣容元件可實現遠大于自身物理質量的表觀質量[11]，其實現形式主要有滾珠絲杠式慣容[12-13]、齒輪齒條式慣容[14]、液壓式慣容[15]等。慣容類阻尼器在結構振動控制領域的研究主要涉及斜拉索減振[16-17]、結構耗能減震[18-19]、結構吸能減振[20]和橋梁風致振動控制[21]等方面。研究表明：慣容類阻尼器呈現出頻率相關型負剛度特征，也有助于實現結構減振(震)增效。陳政清等[22-23]提出并發展的電渦流阻尼三元被動控制理論與技術，其軸向電渦流阻尼器融合了電渦流阻尼無摩擦與工作流體及耐久性好等優點[24-26]，在結構振動控制領域具有廣闊的發展與應用前景。

鑒于三元被動減振裝置在工程結構振動控制領域的顯著優勢，本文融合磁致負剛度單元、旋轉式電渦流阻尼單元與滾珠絲杠兩節點慣質單元(剛度-阻尼-慣質)，研發了一種新型三元被動減振裝置-磁致負剛度電渦流慣質阻尼器(magnetic negative stiffness eddy-current inertia damper，MNSEID)。綜合理論分析、三維電磁場有限元仿真以及樣機力學性能測試，闡述了MNSEID的軸向出力特征及設計方法，可為MNSEID的工程應用提供參考。

1 MNSEID樣機構造與力學模型

1.1 MNSEID樣機構造及工作原理

MNSEID的整體構造如圖1所示，其主要由磁致負剛度單元、旋轉式電渦流阻尼單元與滾珠絲杠兩節點慣質單元并聯而成。磁致負剛度單元由1#永磁體、1#、2#導磁鋼板、滑軸以及套在滑軸上的直線軸承組成，其中上、下導磁鋼板固定于立柱，中間導磁鋼板可隨套筒、滾珠螺母及滑軸做同步直線運動，永磁體按同一磁極方向均勻布置在導磁鋼板表面，在同一塊導磁鋼板上沿阻尼器軸向投影重合的永磁體為一組。旋轉式電渦流阻尼單元包括3#導磁鋼板、2#永磁體和導體銅板，永磁體沿上、下導磁鋼板表面均勻對稱布置，上、下對應相吸的兩塊永磁體為一組，導體銅板可隨傳動軸做同步旋轉運動，而磁致負剛度單元的直線運動通過滾珠絲杠幅轉化為電渦流阻尼單元的旋轉運動。滾珠絲杠兩節點慣質單元包括導體銅板等旋轉構件。

圖1 MNSEID樣機構造示意Fig.1 Configuration sketch of the MNSEID

當大小相等、方向相反的力沿軸向施加于MNSEID上、下兩端連接點時，阻尼器兩端連接點之間就會產生相對軸向運動，首先帶動MNSEID的2#導磁鋼板及布置在其表面的1#永磁體做同步軸向運動，進而通過MNSEID的滾珠絲杠傳動系統轉化為導體銅板等旋轉構件的高速旋轉運動。導磁鋼板及其表面永磁體的軸向運動產生軸向磁致負剛度力，導體銅板等旋轉構件的旋轉運動產生的轉動慣性矩、導體銅板切磁感線產生的電渦流阻尼力矩經滾珠絲杠傳動系統進一步放大分別形成軸向慣性力和電渦流阻尼力。MNSEID總出力為

Fd=Fm+Fe+Fa+f0sign(v)

(1)

式中：Fm,Fe和Fa分別為MNSEID的磁致負剛度力、電渦流阻尼力和慣性力；f0為摩擦力幅值；sign(·)為符號函數；v為滾珠絲杠與滾珠螺母間相對運動速度。

據此研制的MNSEID樣機構造見圖2，其相關設計參數見表1。其中：導磁鋼板材料選用低碳鋼；導體銅板材料選用導電率較高的紫銅；矩形永磁體采用N35型NdFeB，磁致負剛度單元布置1#永磁體4塊×8組，電渦流阻尼單元布置2#永磁體2塊×8組；1#、2#永磁體與滾珠絲杠的中心距分別為58 mm、80 mm；沿阻尼器軸向1#永磁體的初始凈間距S0為12 mm，導體銅板表面與2#永磁體之間的銅磁間隙hg為2.8 mm。

圖2 MNSEID樣機Fig.2 Prototype of the MNSEID

表1 MNSEID樣機參數Tab.1 Parameters of the MNSEID prototype

1.2 MNSEID慣性力

MNSEID慣性力Fa和慣性質量ma的計算式分別為

(2)

(3)

導體銅板等實心旋轉構件轉動慣量為

(4)

聯軸器等空心旋轉構件轉動慣量為

(5)

式中：m為旋轉構件的質量;r為實心旋轉構件的半徑;r1,r2分別為空心旋轉構件的內外半徑。

1.3 MNSEID電渦流阻尼力

將永磁體與銅板之間的瞬時相對旋轉運動可近似處理為二者的相對直線運動，忽略相鄰永磁體之間的耦合效應，可將MNSEID阻尼單元分解為單體(單組永磁體與銅板之間的相對直線運動)后再進行疊加分析，如圖3所示。永磁體中心與導體銅板之間的相對線速度vr為

(6)

圖3 MNSEID阻尼元件單體計算模型示意Fig.3 The damping unit calculation model of the MNSEID

每組永磁體與導體銅板相互作用產生的洛倫茲力F可通過COMSOL Multiphysics軟件三維電磁場有限元仿真分析得到。所有永磁體組形成的電渦流阻尼力矩Te為

(7)

式中,n為永磁體組數。

根據滾珠絲杠系統傳動機理，MNSEID電渦流阻尼力可表示為

(8)

MNSEID電渦流阻尼力與等效阻尼系數的關系式為

(9)

式中,ce為MNSEID的等效電渦流阻尼系數。

1.4 MNSEID磁致負剛度力

三塊形狀與參數均相同的永磁體如圖4所示，當兩組永磁體分別相吸時，中間永磁體離開平衡位置后會產生磁致負剛度力(見圖4(a))；當兩組永磁體分別互斥時，中間永磁體離開平衡位置后會產生磁致正剛度力(見圖4(b))[27]。基于該原理設計的MNSEID磁致負剛度單元構造如圖5所示，MNSEID磁致負剛度力Fm可通過COMSOL Multiphysics軟件仿真分析得到。

圖4 磁致剛度產生原理Fig.4 Principle of the magnetic stiffness

圖5 MNSEID磁致負剛度單元構造Fig.5 Configuration of the magnetic negative stiffness element of the MNSEID

1.5 MNSEID軸向力特性

2 MNSEID力學性能仿真

2.1 MNSEID慣性質量

本節以導體銅板(參數見表1)為例來闡述旋轉構件所產生的等效慣性質量的計算過程。首先計算得到導體銅板的物理質量為0.68 kg(紫銅密度為8.89 g/cm3)；由式(4)計算可得導體銅板的轉動慣量為1.676×10-3kg·m2；將表1中滾珠絲杠的相關參數代入式(3)計算可得導體銅板的等效慣性質量為661.83 kg。

圖6 MNSEID軸向力變化規律Fig.6 Variation of the MNSEID axial force

2.2 MNSEID電渦流阻尼力

本節進一步闡述MNSEID軸向最大速度對應的單組永磁體產生的電渦流阻尼力計算過程(激振頻率1.5 Hz、振幅10 mm)，采用COMSOL Multiphysics軟件準靜態分析模塊AC/DC瞬態分析方法仿真可得到單組永磁體對應的洛倫茲力F為12.183 N(計算模型見圖7)，其中MNSEID軸向速度最大時永磁體中心與導體銅板的相對線速度vr=3.433 m/s；由式(7)進一步計算可得單組永磁體對應的阻尼力矩Te為0.707 N·m；最后通過式(8)計算可得單組永磁體對應的電渦流阻尼力Fe幅值為443.979 N。

圖7 MNSEID洛倫茲力三維有限元計算模型Fig.7 Three-dimensional finite-element calculation model of the MNSEID Lorentz force

2.3 MNSEID磁致負剛度

磁致負剛度單元中間部分在某一位置的負剛度力Fm可以通過COMSOL Multiphysics軟件計算得到。按照±10 mm行程、1 mm步長改變磁致負剛度單元中間部分的位置，采用COMSOL準靜態分析模塊AC/DC穩態分析方法對磁致負剛度力進行三維有限元仿真，獲得磁致負剛度單元中間部分在各個位置的受力情況，進而可采用最小二乘法擬合確定MNSEID磁致負剛度系數。

以布置4組永磁體為例(模型見圖8)，磁致負剛度單元中間部分在各個位置受力的線性擬合結果如圖9所示，其中磁致負剛度系數為-15 560 N/m且R-square值大于0.93，表明當磁致負剛度單元單邊永磁體初始凈間距S0=12 mm、實際振動幅值A=10 mm時，MNSEID具有明顯的“準恒定”磁致負剛度特征。

圖8 MNSEID磁致負剛度力三維有限元計算模型Fig.8 Three-dimensional finite-element calculation model of the MNSEID magnetic negative stiffness force

圖9 MNSEID磁致負剛度擬合結果Fig.9 The linear fitting results of the MNSEID magnetic negative stiffness

3 MNSEID樣機力學性能試驗

3.1 試驗方案

采用如圖10所示的力學性能測試系統對MNSEID樣機進行力學性能測試。試驗采用偏心輪激振機構對MNSEID樣機施加激振頻率為f、激振幅值為A的簡諧位移u(t)=Asin(2πft)激振；通過頻率控制器和偏心輪的偏心距實現激振頻率調節和激振幅值控制，具體工況見表2；采用動態信號采集系統記錄MNSEID的軸向力和位移信號。

圖10 MNSEID樣機力學性能測試系統Fig.10 The test system of the MNSEID prototype mechanical properties

表2 MNSEID樣機力學性能測試工況Tab.2 Mechanical properties test cases of the MNSEID prototype

3.2 試驗結果

圖11對比了MNSEID空載(激振頻率0.15 Hz)時的軸向力時程曲線的實測和理論結果。由圖可知：此時MNSEID軸向力時程曲線近似方波，呈現出明顯的摩擦力特征[28]。這充分表明：激振頻率很低時，MNSEID的慣性力、磁致負剛度力和阻尼力均相對較小，摩擦力占主導地位，且摩擦力幅值f0約為50 N。

圖11 MNSEID軸向力時程曲線(工況1，0.15 Hz)Fig.11 The MNSEID axial force-time history response(case 1, 0.15 Hz)

采用MATLAB分析軟件對各試驗工況下MNSEID軸向力-軸向位移滯回曲線進行數據擬合，其擬合采用數學模型

(10)

式中：Ffitted為MNSEID軸向力擬合值;ce為MNSEID等效阻尼系數；k為MNSEID磁致負剛度單元提供的等效剛度；ka為MNSEID導體銅板等旋轉構件所提供的慣性質量等效剛度，可由式(10)轉化為MNSEID等效慣性質量

(11)

式中,ma與f分別為MNSEID所有旋轉構件的等效慣性質量和試驗激振頻率。

圖12對比了MNSEID典型工況的軸向力時程曲線、軸向力-位移和軸向力-速度關系曲線實測值與理論值，其中理論曲線對應的MNSEID等效負剛度和等效電渦流阻尼系數分別為277 210 N/m和122 665 N·s/m(基于最小二乘法擬合得到)。結果表明二者整體吻合較好，且本文研發的MNSEID樣機性能參數穩定，整體工作性能較好。

圖12 MNSEID軸向力實測值與理論值對比(工況7，3 Hz)Fig.12 Comparisons of the MNSEID axial force between experimental and theoretical values (case 7, 3 Hz)

圖13對比了MNSEID軸向力時程曲線和軸向力-位移關系曲線的實測值與理論值，其中理論曲線對應的MNSEID等效負剛度系數為14 730 N/m(基于最小二乘法擬合得到)。由圖可知：MNSEID磁致負剛度力-位移關系曲線的線性擬合理論值與實測值吻合較好，進一步驗證了MNSEID的“準恒定”磁致負剛度特征，與2.3節三維有限元仿真研究結論完全一致。

圖13 MNSEID軸向力實測值與理論值對比(工況6，2 Hz)Fig.13 Comparisons of the MNSEID axial force between experimental and theoretical values (case 6, 2 Hz)

圖14所示為MNSEID等效電渦流阻尼系數隨永磁體組數及激振頻率的變化規律。由圖可知：MNSEID等效電渦流阻尼系數隨激振頻率的增大呈降低趨勢；永磁體由2組變為4組時MNSEID等效電渦流阻尼系數增幅較大，而永磁體由4組變為6組、6組變為8組時MNSEID等效電渦流阻尼系數的增幅變小。主要原因：隨著激振頻率的增大，MNSEID電渦流趨膚效應和反抗磁場對電渦流阻尼的不利影響呈增大趨勢；隨著永磁體數量的增加，永磁體間耦合效應對電渦流阻尼的不利影響呈增大趨勢。

圖14 等效電渦流阻尼系數隨永磁體組數及激振頻率變化的規律Fig.14 Variations of the equivalent eddy-current damping coefficients of the MNSEID with the excitation frequencies and magnet numbers

圖15所示為MNSEID等效磁致負剛度系數隨激振頻率的變化規律，由圖可知：MNSEID等效磁致負剛度系數隨激振頻率變化基本保持不變，表明MNSEID磁致負剛度與頻率不相關。

圖15 MNSEID磁致負剛度系數隨激振頻率變化規律Fig.15 Variations of the magnetic negative stiffness coefficients of the MNSEID with the excitation frequencies

4 仿真與試驗結果對比分析

表3對比了MNSEID等效慣性質量的仿真與試驗結果，其相對誤差均在10%以內。表4對比了MNSEID等效電渦流阻尼系數的仿真與試驗結果，其相對誤差均在15%以內。表5對比了MNSEID等效磁致負剛度系數的仿真與試驗結果，其相對誤差均在5%以內。綜上所述，MNSEID的力學模型對表征MNSEID樣機的力學特性具有較好的適用性。

表3 MNSEID等效慣性質量的仿真與試驗結果對比(工況2)Tab.3 Comparisons of the simulation and experimental values of the MNSEID equivalent inertial mass (case 2)

表4 MNSEID等效電渦流阻尼系數的仿真與試驗結果對比(工況15)Tab.4 Comparisons of the simulation and experimental values of the MNSEID equivalent equivalent eddy-current damping coefficient (case 15)

表5 MNSEID等效磁致負剛度系數的仿真與試驗結果對比(工況5)Tab.5 Comparisons of the simulation and experimental values of the MNSEID equivalent negative stiffness coefficient (case 5)

5 結 論

(1)MNSEID是一種基于磁致負剛度力、電渦流阻尼力與慣性力設計的新型三元被動減振裝置，其負剛度系數、等效電渦流阻尼系數和等效慣性質量的理論預測值與實測值吻合較好，表明MNSEID各項參數的理論、三維有限元仿真預測方法均可以滿足設計要求，且建立的MNSEID力學模型具有較好的適用性。

(2)綜合理論分析、三維電磁場有限元仿真與樣機力學性能試驗研究表明，MNSEID的磁致負剛度系數隨激振頻率的增大基本保持不變，而等效電渦流阻尼系數隨激振頻率的增大則呈現下降趨勢。

(3)MNSEID表現出典型的“準恒定”磁致負剛度特征，與現有位移相關型負剛度阻尼器相比，MNSEID更易實現剛度參數的精準設計，且有望充分發揮負剛度效應對結構減振的耗能增效作用。