立足學情明辨難點，精心設計突破難點

陳超

［摘? 要］ 教師開展教學設計之前要先對教學內容（或學材）有深刻的理解，比如教學重點是什么，教學難點在哪兒. 如果教學難點辨析不準，就會導致教學用力點發生偏離. 大家常常見到有些教師的新授課把很多教學時間花在習題教學上，這往往會讓難點“輕輕滑過”，使新授課成為習題課. 所以教學難點的過程不能快，一定要“慢下來”.

［關鍵詞］ 教學難點；平方根；突破難點

疫情背景下，很多教研活動線下參與的教師并不多，主辦方安排線上同步直播，這種新型教研展示活動確實給教師帶來了方便. 最近，筆者在線觀看了某地教研活動開設的一節“平方根（第1課時）”新授課教學，該課教學難點（根號的引入）的處理“一帶而過”，沒能通過必要的情境創設引導學生“慢下來”，想清楚“難點何在”［1］. 下面，筆者就從相關教學片段說起，給出筆者的教學設計和相關思考.

從“平方根概念的引入”教學片段說起

說明：教師先創設情境引出新知，利用教材上的方格紙計算出兩條線段的長，引出開方運算，其中一個等式是AB2=32+42=25，學生容易得到AB=5；另一個等式是AB2=42+52=41，學生感覺求出AB的長有困難.

師：已知AB2=41，要求AB的長，也就是要研究當x2=a時，x是什么數. 請同學們舉一些符合題意的a的值來試試，并求出相應的x的值.

生1：當a=4時，x=2或x=-2.

生2：當a=25時，x=5或x=-5.

生3：當a=169時，x=13或x=-13.

師：你們的依據是什么？

生3：根據乘方運算，反過來思考的.

師：很好！可以看出，使x2=a（a>0）成立的數x有幾個？

生（齊）：有2個，它們互為相反數.

接著，教師板書課本上平方根的定義：如果x2=a（a≥0），那么x叫a的平方根，也叫二次方根. 并進一步講授：“像上面出現的AB2=41，當我們無法直接看出AB的值是多少時，我向大家介紹一個符號來表示它，即根號. ”然后板書：正數a的正的平方根記為，正數a的負的平方根記為-，正數a的兩個平方根記作±.

接下來，教師呈現“一組接一組”的例題、練習與變式訓練.

聽課隨感上述教學情境的創設和新知的引出，有一些師生對話. 看似比較順暢地引出新知的對話，本質上卻是“照本宣科”，沒能體現“用教材教”. 特別是這節課的教學難點教師沒能成功突破，只以簡單講授、直接告知、一帶而過的方式進行. 盡管隨后的例題、練習及變式訓練的效果不錯，但是新知生成、認知沖突的過程沒有得到充分的展開，錯失了讓學生感知難點及如何突破的機會，這樣的教學難以培養學生辨析難點與突破難點的能力.

“平方根的概念引入”教學再設計

先創設情境，引出新知.

問題：在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c.

（1）若a=3，b=4，求c；

（2）若a=1，b=1，求c2；

（3）若a=1，c=2，求b2.

設計意圖學生能快速求出上述答案，隨之而來的就是如何求出第（2）問和第（3）問中c，b的值. 這就引發了認知沖突：當c2=2時，c的值是多少；當b2=3時，b的值是多少.

學生在七年級初學有理數時，曾通過“大量的逼近式運算”發現當c2=2（c>0）時c的值并不是一個有理數，其近似值是1.414（精確到千分位），至于如何表示這類無理數，七年級上冊的教材并沒有給出，也沒有繼續給出更多的這類數. 事實上，隨著勾股定理的學習，這樣的“麻煩”會越來越多，教師必須引導學生正視這類認知沖突. 當學生出現以上認知沖突時，教師可以預設下面的引導語及學生可能的回答.

師：在形如x2=a的等式中，當a是一個什么數時，我們能很快地說出x的值？

生：當a是一個完全平方數時，我們能很快地說出x的值，比如a的值為4，16，25，100.

師：很好. a能為0嗎？a能為負數嗎？

生：a可以為0，但是不能為負數，因為一個數的平方不可能為負數！

師：我們定義“如果x2=a（a≥0），那么x叫a的平方根. ”如果a不是一個完全平方數，有必要引出一個符號來表示它. 歷史上不同的數學家曾創造了多種符號來表示平方根（可以使用PPT提供相關閱讀材料或者推薦短視頻來介紹根號的數學歷史），但最后大家都選擇了根號“”這種記號. 我們可以把正數a的兩個平方根記作±，特別是在實際問題中，正的平方根使用頻率較高，也被稱為a的算術平方根.

練習：求一副三角尺三邊長之比.

預設：分別是1 ∶ 1 ∶ ，1 ∶? ∶ 2.

這組練習與前面的“開課問題”形成呼應，能讓學生加深對三角尺的認識.

限于篇幅，本課時后續教學不再詳細給出，下面只給出簡要說明.

給出平方根的概念及表示方法之后，進行相關例題、習題的訓練，歸納平方根的性質，至于教材上提到的“二次根式”的概念，可以在小結階段給出，即這種求平方根的運算是“開平方運算”，然后引導學生類比思考、猜想“開立方運算”，它們的運算結果“立方根”及“立方根”的表示方法. 此外，還可以根據學情適當介紹“二次根式”，包括“根指數”等概念.

對新授課中教學難點的認識與思考

1. 第一，立足學情，辨明教學難點

新授課中會有學生沒有學過的內容，包括初次接觸的數學概念或性質，這些教學內容對教師來說往往顯而易見，非常簡單，所以教師站在“過來人”的立場容易將問題想簡單，誤以為只要“一帶而過”跟學生講一下這些新概念、新性質，學生就能很快地理解或掌握. 事實上，從數學發展歷史來看，很多數學新概念、新性質的出現往往經歷了漫長的過程，這個過程伴隨著數學的發展、數學研究工具的更新等，是眾多數學家智慧的貢獻. 在現在看來很多習以為常的數學符號（如阿拉伯數字、運算符號），它們的出現和傳播都經歷了很曲折的過程. 比如，當學生初次學習平方根時，特別是根號的引入時，教師要放慢節奏，不能“一帶而過”，要讓學生感受到“麻煩”和“認知沖突”，且必須解決或攻克這個麻煩才能繼續向前研究. 此時教師引出或介紹根號“”這一符號，學生才能更好地理解并掌握. 再如，當初中階段首次引出函數概念時，教師也要放緩節奏，要站在學生的立場思考問題，因為學生沒有這種概念，需要從大量熟悉的生活問題中不斷抽象、得出函數概念的一些要素（常量、變量）. 當學生得出一系列等式時，教師可以組織學生觀察、發現兩個變量之間的對應關系，最后引出“函數”的概念，讓學生感受到函數這種新概念在初中階段的本質特征.

2. 第二，創設情境，顯露教學難點

教師在辨析教學難點之后，要善于創設情境為學生展現學習難點或認知沖突［1］. 因為有些教學難點，如果不是通過恰當的情境呈現，學生不容易想到難點或認知沖突在哪兒. 仍以“平方根（第1課時）”的教學為例，學習勾股定理時，由于全章都回避了開方開不盡的運算情形，所以學生不能意識到會遇到無理數這個麻煩. 而學習“平方根（第1課時）”時，通過必要的計算直角三角形的邊的長問題，特別是學生熟悉的一副三角尺中已知兩邊求第三邊的問題，就會碰到這類開方開不盡的運算. 為了解決這一認識沖突，教師有必要帶領學生研究開方運算，以及平方根的表示方法，并將數的范圍從有理數擴充到實數. 再如，運用方程解決實際問題時，有時只有一個未知數時不易表示出問題之間的等量關系，但設出兩個未知數后，就能快速地找出2個等量關系，從而讓學生認識到學習二元一次方程組的必要性.

3. 第三，精心設計，突破教學難點

當教學難點展示在學生面前時，教師還可以通過恰當的設計，化解教學難點［2］，促進學生更好地理解難點. 比如，數的開方中的難點是這類新運算的結果是平方根，而平方根有一個符號表示，這些都是學生在短時間內難以發現、發明出來的，所以教師可以基于“有指導的再創造”（弗賴登塔爾語）讓學生理解，將數學史融入講授過程，進而讓學生初步感知這個難點在歷史上發展的艱辛與不易. 再如，為了讓學生深刻理解函數的概念，教師需要精選問題情境，突出兩個變量之間的單值對應關系，然后引入字母分別表示這兩個變量，讓學生辨別自變量、因變量，最后給出函數的概念. 整個教學過程要體現抽象過程（即去情境化、數學化），要讓學生不但獲得數學新知，而且要學會從一個具體的問題情境中抽象、顯現出一類新的數學問題，并展開進一步的研究，這本身也是突破難點的一種重要教學取向.

寫在最后

教學難點的研究是一個經典的教研課題，本文只是對新授課中的教學難點進行了一些初步思考. 事實上，解題教學、專題復習、作業的面批和答疑等，都需要教師對教學難點想清辨明，只有這樣，才能提高教學效率. 目前，筆者對教學難點的認識與思考還不充分，期待更多的同行深入研究.

參考文獻：

［1］許海霞. 突破教學難點：鋪墊情境后跟進啟發式講授——以“勾股定理的逆定理”為例［J］. 中學數學，2020（12）：24-25.

［2］夏冬平. 精選問題引出新知，明辨重點突破難點——以二次函數單元起始課為例［J］. 中學數學，2019（16）：26-27+33.