活用教材駕馭課堂，有效提升數學核心素養

陳秀海

［摘? 要］ 教材是教學的重要資源，是教師進行教學的平臺之一，善用教材可以更好地駕馭課堂，提升課堂教學的有效性. 教材是學生的學習資源，教師在教學中挖掘數學教材內涵，有利于發展學生數學思維，提升學生數學學科素養.

［關鍵詞］ 數學教材；學科素養；思維能力；創新

教材是教學的素材和載體，在教學使用的過程中部分教師對教材的使用存在諸多意見，對于教材的編排不理解，認為不適合一線的教學，內容過多或者過少……以至于在教學時使用不當，影響了教學效果. 但事實上教學效果的不佳不能僅僅讓教材“背鍋”，因為教材只是提供給教師使用的一種教學資源，它的編排有其內在的邏輯關系，符合普遍教學的要求，但并不是完全適用于每一個個體，因此教師需要根據自己的教學目標和自身的理解，結合學情進行合理的統籌和規劃，活用教材，才能發揮教材的最大功能.

學科核心素養是學生適應社會的必備品格，課堂教學是提升學生核心素養的主要陣地. 教師在課堂教學中要根據教學目標合理使用教材，通過教學活動引導學生理解教材的內涵，在探究和實踐中感受知識的發生過程，創新思維活動，提升學生的核心素養. 本文通過兩則初中數學教學案例談一談如何活用教材以培養學生的核心素養.

探究數學結論的證明，培養創新意識

證明：三角形的內角和定理.

教師在學生已有知識的基礎上，引導學生采用多種方法進行證明，具體過程如下：

1. 構造平角證明法

師：看到180°的角，同學們會想到什么角？為什么？

生（齊）：會想到平角及兩條平行線之間的同旁內角和，因為這兩類角非常直觀，而且簡單易畫，能確保是180°.

師：說得非常好！說明了我們之前學過的聯想法已經發揮作用了. 平角與直線是什么關系？它們之間有沒有什么區別？

生1：平角具有角的一般特點，有一個頂點和兩條邊，并且兩條邊落在一條直線上，但直線是沒有端點的.

師：我們來思考一下如何構造一個平角呢？既然平角有唯一的頂點，那么我們要先將它的頂點確定，再把三角形的三個內角轉到這個平角上. 如何選取平角的頂點和構造平角呢？請同學們講一講具體的操作和理由.

生2：三角形的頂點位置特殊，因此我選取三角形的頂點A，過頂點A作直線DE與BC平行，進行角的等量轉換.

師：很好，那么過頂點A作幾條直線與邊BC平行呢？說一說你為什么這么做.

生2：根據平行線定理應該是作唯一的一條平行直線.

師：好的，那么過點A作直線DE與BC平行，可以證明三角形內角和的定理嗎？為什么？

生2：可以. 如圖1，過點A作直線DE與BC平行，因為DE與BC平行，所以∠1與∠C相等，∠3與∠B相等，∠2與∠BAC相等，這樣∠1，∠2，∠3就構成了一個平角.

師：回答得太精彩了！那請你來給大家進行一次規范的證明. （學生敘述，教師板書，再次強調數學語言的規范使用. ）

師：請問如何過點A在三角形的邊上構造一個平角呢？

生2：可以將BA延長到點E，這樣得到平角∠BAE，如圖2.

師：你能證明你的結論嗎？

生2：可以，證明的方法和上一題類似，只要將BA延長到點E，過點A作直線AD與BC平行……（教師展示規范的證明過程，總結提醒）

師：上述方法是先在三角形頂點處選取平角的頂點，但一定要這么做嗎？能不能弱化這個條件呢？

生3：可以把平角的頂點選在三角形邊上，這就和平角的形狀非常相似了，也可以將平角的頂點選在三角形的內部或者外部.

師：說得太好了，看來同學們對于數學的分類討論思想掌握得非常好. 我們怎樣才能解決上述的構造思路呢？

生4：我們可以采用類似于上面的解題思路. 如圖3，在AB的邊上取一點D，作DE與BC平行，與AC相交于點E，作DF與AC平行，與BC相交于點F，通過平行線的性質可以得到∠1，∠4和∠C相等，∠2與∠A相等，∠3與∠B相等，由此證明∠A，∠B與∠C的和等于180°.

師：回答得非常精彩！下面我們看一下規范的證明過程（課件展示）. 如果將平角的頂點取在△ABC的內部或者外部，那么我們該如何證明呢？

學生陷入了沉思.

師：看來這個問題對同學們來說有一點難度. 請大家設想一下，當平角的頂點取在三角形的內外部時，我們可以過這個點作平行于邊的幾條直線？能否將三角形的內角與平角的頂點進行轉換？這樣問題是不是能迎刃而解？

（觀察到有學生似乎有答案，教師請他進行回答）

生5：我覺得可以作這樣幾條平行線，過點O作直線DE與BC平行，作直線FG與AC平行，作直線MN與AB平行. （學生有些興奮又有些猶豫）

師：我們來看一下課件，如圖4或圖5，過點O作直線DE與BC平行，作直線FG與AC平行，作直線MN與AB平行，根據平行線的性質可以得到∠1，∠4和∠C相等，∠2，∠6與∠A相等，∠3，∠5與∠B相等，由此證明∠A，∠B與∠C的和等于180°.

2. 構造兩條平行線之間的同旁內角的證明方法

師：剛才我們用到的證明方法都是采用選擇一個點，過該點作三角形邊的平行線，根據平行線的性質將三角形的內角進行轉換. 有沒有其他的構造方法呢？比如平行線還能產生其他類型的角嗎？能否通過類比的方法證明？（教師給予適當的提示）

生6：我們可以通過平行線中同旁內角和為180°的性質來構造. 如圖6，過點A作直線AD與BC平行，根據平行線的性質，可以得到∠1與∠C相等，∠1，∠2與∠B的和為180°，因為∠2與∠BAC相等，所以三角形中∠A，∠B和∠C的和為180°.

師：說得太好了！通過這個探究方法，我們發現這種證明方法更加簡便和精辟. 我們設想一下能分別過三個頂點作平行直線進行構造和類比證明嗎？

生7：可以證明. 如圖7，分別過點A，B，C作直線AD，BF，使其和CE互相平行. 根據平行線的性質可以得到∠1和∠3相等，∠2和∠4相等，∠4，∠5，∠6和∠3的和為180°. 因為∠5與∠ABC相等，∠6和∠ACB相等，∠3與∠4的和與∠BAC相等，所以三角形的內角和為180°.

師：精彩！通過剛才的探究，我們從兩個角度探索得到定理的七種證明方法，其中，同學們覺得哪種方法最為精辟呢？

生（異口同聲）：第六種.

師：是的，所以在解題過程中我們要多多動腦，敢于創新，從多個角度思考問題，探尋最佳的解題途徑.

3. 教學反思

本例以問題為導向，通過精妙的問題引領激發學生的探究興趣，點燃學生思維的火花，尋找學生的最近發展區，通過層層遞進、環環相扣的問題，進行一步一步的證明. 在證明中，學生鍛煉了邏輯推理能力，提高了課堂學習效率. 本案例探討了七種證明三角形內角和為180°的方法，先作輔助線，再構造平角或平行線，最后進行等量轉換從而證明定理，這對于學生的思維是一種挑戰，它打破了教材的束縛，可以說是通過靈活使用教材提升學生核心素養的典范. 對于這七種證明方法，教師并不要求學生全部掌握，而是重點掌握構造的方法和思考的角度，這樣設計的目的是在探究過程中培養學生的創新能力，使學生掌握探究的方法，為以后的長期學習奠定基礎. 進行一題多解的探究可以關注到不同層次的學生，讓學習程度較好的學生能更加深入地理解數學探究的方法和思路，同時學習能力稍弱的學生也能選擇較為簡捷的證明方法，同樣獲得解題的動力.

探究多邊形的概念教學，形成嚴謹治學的科學精神

數學概念具有抽象、嚴謹的特征，在初中數學教學中會遇到很多的數學概念和定義. 如何讓學生感受數學概念的嚴謹？筆者進行了一些探究：

1. 探究平面多邊形的數學概念

師：（在學生閱讀教材的基礎上提出問題）我們看到過這樣定義多邊形：在平面內，一些首尾相連的線段組成的封閉圖形叫作多邊形. 你覺得這樣的定義準確嗎？為什么？

學生思考，小組合作交流討論，各抒己見.

生1：我覺得對的，因為很多書上都是這樣寫的.

生2：我覺得有問題，因為既然老師提出來了，那肯定是值得商榷的.

生3：我覺得是對的，因為這個定義比三角形定義多了一個條件“在平面內”.

生4：我覺得是不對的，因為我們仔細看三角形的定義，這個概念里面少了兩個條件，“不共直線”和“n條”.

生5：這是錯誤的，因為這樣的定義不能保證一定是多邊形，還可以有很多奇怪的圖形.

生6：這是不對的，我們可以用反證法進行證明，按照這個定義，我們可以畫出圖8和圖9這樣的圖形，這兩個圖形和書本上的不同.

（學生各抒己見，教師先不進行評論. 學生發表意見之后，教師進行評價，指出學生的問題并且肯定已經有學生學會了判斷定義是否完善的方法，接著提出問題）

師：請同學們思考一下“在平面內”這個條件的重要性.

生7：我們可以在紙上畫一個四邊形，如果把這個四邊形沿對角線進行對折，得到的線段也是滿足剛才的定義的，但是這不是我們所指的四邊形. （學生一邊操作，一邊解說）

師：說得非常好！這是一種反證的方法. 為什么不是所有圖形的定義都強調在平面內呢？比如三角形為什么就沒有強調在平面內. （教師提示不共線的三點確定一個平面，但是不做深入的探究）如果這個概念中少了“不共直線”這個條件可以嗎？

生8：我覺得不行，如果與三角形的定義進行類比，就會發現少了這個條件，這些線段有可能成為一條線段.

師：回答得很好！同樣采用反證法證明這個條件是不能省去的，因此我們應把“不共直線”這個條件加上去. 對于缺少了“n條”這個條件，你們有沒有什么想法呢？

生9：“n條”就是將多邊形的邊數進行了具體的限制.

師：剛才有同學提出，會有其他的一些奇怪的多邊形，是怎樣奇怪的多邊形呢？

生10：會出現圖8的五角星圖形或圖9的凹四邊形.

師：回答得很直觀，通過直接畫出圖形我們就可以找出這個定義中的破綻，所以作圖能力在數學的學習中非常重要. 我們觀察圖8，五角星的邊有什么特征？

生11：它的邊會出現相交的現象.

師：你觀察得非常仔細而且善于總結，值得表揚，對這個問題我們暫不做研究. 我們先把“且不相交”這個條件補上.

如圖10，我們補充完善的定義是這樣的，把在同一個平面內不共直線的n條線段首尾順次相接且不相交組成的封閉圖形稱作平面多邊形AAA…A（n∈Z+，n≥3）. 目前我們暫時不涉及內凹的多邊形，以后會繼續學習凹凸多邊形的定義. 如果沒有特別說明，我們只考慮平面的凸多邊形.

2. 教學反思

概念教學容易陷入枯燥乏味和強行記憶的誤區，本例中通過設置反問調動學生的好奇心和積極性，提出“這樣定義是為什么”“如果不這樣定義可以嗎？怎樣改動呢？這樣改的依據是什么”等問題. 這些問題能加強學生對概念教學的理解，并通過反證法進行證明和增補條件完善學生對平面多邊形概念的理解，培養他們嚴謹治學的精神.

以上兩個教學案例是教師靈活使用教材的典范. 在鉆研教材、理解教材的基礎上，教師深入貫徹課改的理念，實踐課改的思想，在教學活動中發展學生的能力. 課堂教學體現了教師的主導作用，尊重了學生的主體地位，調動了學生的學習積極性，鼓勵學生積極思考、踴躍參與，讓他們收獲學習后的喜悅. 在教學中教師注意教學評的一致性，采用多元評價的方法和手段，讓教學方式更加豐富多樣，多角度踐行課改的精神. 同時，教師要創新使用教材，關注學生思維能力的發展，培養他們的合作交流和語言表達能力，提升他們的數學學科核心素養.

綜上所述，教無定法，教材是教學的資源. 教師在教學中要靈活使用教材，用教材教而不是教教材. 在當前的課改浪潮中，教師還要積極開拓創新，轉變教學觀念，踐行課改精神，真正將學生核心素養的培養落實到位，引領學生突破思維束縛，實現創新發展.