探尋規律 突出本質 巧解問題

白文波

［摘? 要］ 綜合性強、知識點多的問題常讓學生望而生畏，探尋知識內在的規律，不僅能幫助學生捋清知識間的聯系，還能突出數學的本質，形成良好的解題技巧，實現數學綜合素養的提升. 文章從探尋數字類、計算類以及圖形類的規律性問題出發，具體談談如何通過大膽猜想與數形結合思想，發現問題的本質，巧解問題.

［關鍵詞］ 規律；數字；計算；圖形

新課標在第三學段數學知識與技能目標中提出：“要注重引導學生探索具體問題中存在的內在聯系與規律性變化，運用代數式、不等式、方程或函數等方式解決問題. ”探尋具體問題的規律是新課標對學生提出的要求，也是數學教學所面臨的實際問題. 實踐證明，規律的探尋，能有效培養學生的猜想、歸納、推理以及創新等能力.

探尋規律題是指在一定條件下，經探究發現所給定的數學對象具有一定的規律性，通過對這種規律的探尋，可獲得問題的本質，實現解題. 初中數學考查規律性問題，常以給出一組數、式子、圖、條件等，讓學生通過自主觀察、分析、推導出其中的規律. 此過程不僅體現了學生的思維發展歷程，還彰顯了從特殊到一般再到特殊的重要數學思想方法. 解決此類題對培養學生的創新意識，提升探究能力具有深遠的影響.

數字類問題

數字類規律性問題的特點主要體現在：問題給出初始的一些形式，其中蘊含著一定的特殊規律，只要找出這種規律的一般形式，即可求出問題中的特殊值. 數字類規律問題的解題關鍵就在于如何發現問題所提供的初始形式中的規律，一般通過比較法找出變量與不變量，其中變化的量會隨哪個量而發生變化.

例1已知：162=100×（1+1）+1×20+36=256；

262=100×2×（2+1）+2×20+36=676；

362=100×3×（3+1）+3×20+36=1296；

…

762=（? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ）=5776；

862=（? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ）=7396.

問題：（1）根據問題所呈現的規律，將括號內填完整；

（2）用字母表示本題的規律；

（3）計算2162的結論.

分析：觀察本題所呈現的幾個式子，會發現其中有些數據一直沒有發生變化，而發生變化的數據只有幾個，且與平方數上的十位數有直接關系，具體表現在：①四個給定式子中都存在100，

1，20，36四個數，那么括號內待填寫的部分，也不能缺少這幾個數據；②括號外所乘的數、括號內幾+1的數、與20相乘的數以及平方數的十位數是相同的. 根據這兩點，即可完整地填寫兩個括號.

只要掌握了第一個問題的填寫方式，解決第二問則手到擒來，只要將數據更改為相應的字母即可. 解決了第二問，第三問僅需將數據按照規律代入到字母所表達的一般形式中，即可獲得第三問的結論. 這三問展示了典型的“特殊—一般—特殊”的數學思想，這種思想方法的獲得，為學生解題能力的提升奠定了堅實的基礎.

學生經思考后，分別解得本題結論分別為：

（1）762=100×7×（7+1）+7×20+36=5776，862=100×8×（8+1）+8×20+36=7396；

（2）（10n+6）2=100n（n+1）+20n+36；

（3）2162=（21×10+6）2=100×21×（21+1）+21×20+36=46656.

觀察以上幾題的結論，會發現各個問題之間都有著千絲萬縷的聯系，上一問為下一問所服務，而下一問的解題過程又回歸到上一問的解題思路中去，幾個問題逐層深入、循序漸進地發展，學生的思維也隨著問題的變化而逐漸深刻，隨著問題的逐個突破，學生的解題能力也在無形中得以提升.

計算類問題

數學又被國人稱為算術，就是因為計算是學習數學的基礎與關鍵. 計算類的問題中，有些存在顯著的規律性，只要能找出其中的規律，即可簡化計算難度，讓解題變得又快又準. 特別對于一些計算過程繁雜的問題，教師不要讓學生一門心思鉆進去死算，而應探尋其中存在的規律，找出巧算的方法. 這就要求學生要有一雙善于洞察與發現的慧眼，能透過現象發現內在規律，從而化繁為簡，實現能力的突破.

例2計算

看到本題，有種眼花繚亂的感覺. 若靜下心來，對各個括號內的數進行逐個對比、分析，會發現每個括號內都是2減一個分數；再觀察每個分數的分母，3，8，15，24，…，99之間并沒有學生所期待的倍數關系，而相鄰兩數之間的差，也不呈均等的關系. 這就給學生帶來了困惑，這些分母數字之間到底存在怎樣的聯系呢？有什么辦法找出這種聯系呢？

為此，筆者引導學生打破常規思維，換個角度去思考，將分母上的各個數據進行拆分. 學生經合作交流后，提出將數據分別進行以下分解：3=1×3，8=2×4，15=3×5，24=4×6，…

通過對分解后數據的分析，會發現其中存在的規律，接下來的數應該就是5×7=35，而99則為9×11的結論. 只要算出每個括號內的式子，再將分母進行分解，約分后問題就變得特別簡單.

解：對括號內的式子進行拆分，2-===，以此類推，2-=；2-=；…；2-=.

將分解重組的式子相乘，即×××…×=.

解題中，若遇到思維的瓶頸，可換一種角度重新去觀察與分析，只要捕捉到數據間有關聯的信息，那么離解決問題就不遠了. 此過程的重點在于要學會從不同的視角或層次去審視、分析問題，要用敏銳的眼光去偽求真，找到有用的信息，讓規律的本質在抽絲剝繭中暴露，從而順利解題.

新課標倡導要培養學生的創新意識，而學生自主發現問題并解決問題是形成創新意識的基礎，獨立思考是實現創新的核心，概括歸納出問題的規律并驗證是實現創新的關鍵. 數字類規律問題貫穿于數學教育的始終，包括近些年的中考題中也常能看到它的身影. 因此，教師可將此類問題與創新意識的培養融合在一起，有意識地加以引導，讓學生在自主探索中發現，實現能力的提升.

圖形類問題

萬物皆流變，數學除了數字、計算類存在一定的規律之外，圖形的變化更是讓人愛恨交加. 變化莫測的圖形，給數學帶來無盡的美感與享受，也為數學教學帶來許多便利，尤其是將復雜的數量關系用直觀的圖形表示時，真是大快人心. 但圖形的規律性問題，也給不少學生帶來了困惑，這是一個說簡單也簡單，說復雜又很復雜的問題. 想要突破圖形規律性問題的障礙，關鍵要為學生創造探索的機會，讓學生在“做中學”，自主探索圖形的變化規律，找出本質，體驗解決問題方法的多元化特征.

例3如圖1所示，用這種方式擺放大小相等的棋子，依照這種規律繼續擺放，第4個圖需要幾枚棋子？第999個圖需要多少枚棋子？

分析：要擺放第4個圖，對于學生來說問題并不大，只要在草稿紙上畫出來，即可獲得答案. 但要擺放第999個圖，在課堂這個條件下是無法畫出來的. 那就必須放棄數出來的這種方法，而需應用規律題常用的“特殊—一般—特殊”的模型，先找出第n個圖對應多少枚棋子，再計算第999個圖的棋子數量.

既然知道解決問題的方法，接下來就是要建立模型. 教師可引導學生從以下幾步著手：

第一步：如表1，利用數形結合思想，將圖形轉化成相應的數，建立表格，尋找“數量”之間存在的規律.

第二步：如圖2所示，從“形”的角度觀察，分析每個圖形擺放的結構特征，對前后圖形之間存在的規律加以分析.

從不同視角出發，會發現圖形存在不同的規律. 不論用哪種眼光去分析，只要探尋出它的一般模型，即可實現解題. 本題若在學生有函數基礎的條件下解題，也可將問題轉化為函數類的問題進行思考. 因此，視角不同，解題方法也不一樣，如從“數”的角度去分析，4，7，10，…，后一個數均比前一個數大3，那么第n個圖則是關于n的一次函數，設y=kn+b（k≠0），所對應的棋子坐標則為（1，4），（2，7）等，點坐標代入解析式則可獲得y=3n+1，那么擺放第n個圖應用掉（3n+1）枚棋子.

遇到解決圖形規律類問題，教師可讓學生運用數形結合思想，將圖形轉化成數，并將轉化后的數列成表格，以便觀察其中存在的內在關系，從而猜想出相應的數學規律，并用合適的代數式表示. 除此之外，教師還可引導學生從不同的角度去分析圖形的形狀，找出其中存在的內在規律等.

若一個問題涉及較復雜的情況時，教師可引導學生從問題的簡單形式著手進行研究，從簡單或特殊形式中獲得啟發，形成某種猜想，為得到問題的一般形式作鋪墊. 這種猜想、歸納的方法也是研究數學重要的策略之一.

總之，探尋規律性問題的基本思路不外乎從特殊情形中觀察、探索、猜想、總結出一般模型，再以一般模型來解決特殊的問題. 這一類問題具有題型新、形式多樣化等特征，這也對學生的思維提出了較高的要求，并為學生提供了較為廣闊的思考空間. 因此，探尋規律類問題對培養學生的創新意識具有重要的促進作用.