利用幾何畫板培養(yǎng)學(xué)生直覺思維能力的探究

王瑤

［摘 ?要］ 新課標(biāo)明確提出：“要充分運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)的功能，讓它成為課程設(shè)計(jì)與解決問(wèn)題的重要工具，使得學(xué)生更加樂意投入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去.”文章認(rèn)為，致力于現(xiàn)代化的教學(xué)手段，整合幾何畫板與教學(xué)活動(dòng)的開展，培養(yǎng)直覺思維的措施可以從以下幾點(diǎn)做起：概念教學(xué)，以直觀誘導(dǎo)直覺思維；習(xí)題教學(xué)，以猜想啟發(fā)直覺思維；自主探究，以拓展促進(jìn)直覺思維.

［關(guān)鍵詞］ 幾何畫板；直覺思維；數(shù)學(xué)

隨著時(shí)代的發(fā)展，信息技術(shù)的工具性特征已然得到有效驗(yàn)證，整合信息技術(shù)與課堂教學(xué)是新課改大力推進(jìn)的項(xiàng)目之一. 如今的數(shù)學(xué)教育異常重視對(duì)學(xué)生各項(xiàng)思維水平與能力的培養(yǎng)，文章嘗試將幾何畫板的使用與學(xué)生直覺思維能力的培養(yǎng)相結(jié)合，談?wù)勅绾伟l(fā)揮幾何畫板的教學(xué)作用，以及對(duì)學(xué)生直覺思維能力會(huì)產(chǎn)生怎樣的影響.

幾何畫板的簡(jiǎn)介

幾何畫板是簡(jiǎn)單、直觀、易操作的教學(xué)軟件，它能為學(xué)生提供一個(gè)自由操控圖形的活動(dòng)環(huán)境，學(xué)習(xí)者通過(guò)任意變化、拖動(dòng)圖形，可以觀察、猜想、論證一些結(jié)論. 可見，幾何畫板對(duì)激發(fā)學(xué)生的主觀能動(dòng)性具有一定的影響，學(xué)生在自主創(chuàng)設(shè)的“實(shí)驗(yàn)”中主動(dòng)探索，啟發(fā)數(shù)學(xué)思維，獲得數(shù)學(xué)思想.

于師生而言，幾何畫板的使用，為教學(xué)活動(dòng)的開展創(chuàng)設(shè)了更加直觀的條件. 熟練掌握與應(yīng)用幾何畫板，就像我們拿三角板畫圖一樣便捷. 尤其是遇到一些復(fù)雜的幾何圖形問(wèn)題，利用幾何畫板的分解、拼接與轉(zhuǎn)化，能讓學(xué)生在直觀形象的圖形變化中獲得解題思路，提升解題能力. 因此，幾何畫板對(duì)學(xué)生直覺思維的培養(yǎng)具有直接影響.

幾何畫板培養(yǎng)直覺思維的實(shí)施措施

1. 概念教學(xué)，以直觀誘導(dǎo)直覺思維

概念反映的是某事物的本質(zhì)屬性. 概念教學(xué)常常依賴的是實(shí)物或物質(zhì)形態(tài)，尤其是關(guān)系到圖像類的概念，沒有具體形態(tài)的直觀表達(dá)，很難揭示其內(nèi)涵與本質(zhì)屬性. 因此，豐富的圖形是揭示概念性質(zhì)不可或缺的形態(tài)語(yǔ)言. 幾何畫板具有表達(dá)圖形的重要功能，抽象的概念在幾何畫板直觀的圖像語(yǔ)言表達(dá)中顯得更加直觀、形象，學(xué)生的直覺思維在幾何畫板的利用中得以誘導(dǎo).

案例1 “二次函數(shù)”教學(xué).

二次函數(shù)是初中階段的一個(gè)教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容，從常量計(jì)算到函數(shù)變量的轉(zhuǎn)化是學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的重大突破. 解析式、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、開口方向、常量關(guān)系、形狀變化等眾多因素之間有著豐富的聯(lián)系，這么多知識(shí)點(diǎn)若依靠機(jī)械式的背誦，無(wú)法達(dá)到融會(huì)貫通的目的. 幾何畫板可將二次函數(shù)圖像完美地表達(dá)出來(lái)，利用其拖動(dòng)功能，能直觀形象地看清楚數(shù)值變化對(duì)圖像形狀、開口、頂點(diǎn)等的影響.

例如，利用幾何畫板觀察二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像，授課時(shí)用鼠標(biāo)進(jìn)行以下操作：①變化常數(shù)a，b，c的值，觀察這幾個(gè)常數(shù)對(duì)拋物線的位置、形狀等產(chǎn)生怎樣的影響；②在幾何畫板上拖動(dòng)拋物線，讓學(xué)生仔細(xì)觀察拋物線圖像與x軸的交點(diǎn)數(shù)、b2-4ac、0之間的關(guān)系；③繼續(xù)拖動(dòng)拋物線進(jìn)行上下、左右的平移，觀察二次函數(shù)y=a（x-h）2+k中k值與h值的變化.

通過(guò)幾何畫板的運(yùn)用，直觀形象地凸顯出形變與量變之間存在的聯(lián)系，學(xué)生在自主操作中通過(guò)觀察、揣摩、分析后提煉結(jié)論，這種方式能有效地促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)知，讓學(xué)生從根本上了解二次函數(shù)的性質(zhì)，誘導(dǎo)學(xué)生直覺思維能力的形成與發(fā)展.

2. 習(xí)題教學(xué)，以猜想啟發(fā)直覺思維

猜想是根據(jù)問(wèn)題條件推測(cè)的一種結(jié)果，是直覺思維的典型代表. 它是推動(dòng)學(xué)科發(fā)展的直接動(dòng)力，尤其是數(shù)學(xué)猜想對(duì)解題能力和直覺思維的培養(yǎng)具有舉足輕重的作用. 歷史告訴我們，很多行之有效的數(shù)學(xué)思想和方法均源于猜想. 猜想作為一種研究科學(xué)的基本模式，對(duì)學(xué)生創(chuàng)造能力的培養(yǎng)影響深遠(yuǎn).

幾何畫板可在習(xí)題教學(xué)中，為學(xué)生猜想提供良好的環(huán)境，讓學(xué)生通過(guò)大膽猜想獲得解決問(wèn)題的思路，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新. 經(jīng)實(shí)踐證明，利用幾何畫板的功能進(jìn)行習(xí)題教學(xué)，能讓學(xué)生在猜想中啟發(fā)直覺思維的形成與發(fā)展.

案例2 “幾何圖形中找函數(shù)關(guān)系式”的習(xí)題教學(xué).

原題：如圖1所示，△ABC是☉O的內(nèi)接三角形，其中∠BCA=90°，CA=2CB，過(guò)點(diǎn)C作線段AB的垂線l與☉O相交于點(diǎn)D，E為垂足. 假設(shè)點(diǎn)P為圓弧AC的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（A，C除外），射線AP與l相交于點(diǎn)F，分別連接PD，PC，且PD與AB相交于點(diǎn)G.

（1）證明：△ACP∽△DFP；

（2）如果AB=5，圓弧AP=圓弧BP，則DP的長(zhǎng)度是多少？

（3）若點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)時(shí)，假設(shè)=x，tan∠DFA=y，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，x的取值范圍不要求寫.

這是一道綜合性較強(qiáng)的習(xí)題，前兩問(wèn)大部分學(xué)生求解都沒有什么問(wèn)題，但是第（3）問(wèn)讓不少學(xué)生犯了難，此問(wèn)以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)求兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式. 幾何畫板可以直觀地表達(dá)出y與x函數(shù)關(guān)系式的圖像，學(xué)生根據(jù)圖像猜想它們的函數(shù)關(guān)系式則簡(jiǎn)單多了. 這種方式結(jié)合了直覺思維、正向與逆向思維等過(guò)程，為學(xué)生提供了更大的思考空間.

用幾何畫板中的追蹤功能獲得y與x函數(shù)關(guān)系式的圖像，然后根據(jù)圖像猜想函數(shù)關(guān)系式，操作如下：①畫出與條件相符的圖像；②運(yùn)用長(zhǎng)度功能，分別度量出線段GA，GB，EA，EF的長(zhǎng)度，點(diǎn)擊“計(jì)算”，分別獲得，的值；③將，的標(biāo)簽分別更改為x=，y=；④繪制點(diǎn)（x，y），追蹤繪制的點(diǎn)；⑤拖動(dòng)點(diǎn)P，得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)圖像.

觀察幾何畫板上呈現(xiàn)的動(dòng)態(tài)圖像，可猜想出第（3）問(wèn)的結(jié)論為y=x. 當(dāng)拖動(dòng)點(diǎn)P時(shí)，函數(shù)圖像發(fā)生了相應(yīng)的變化，根據(jù)幾對(duì)數(shù)值可驗(yàn)證猜想的結(jié)論是正確的. 幾何畫板讓學(xué)生通過(guò)直觀圖像大膽進(jìn)行猜想，在觀察中驗(yàn)證猜想，從而有效地解決問(wèn)題. 學(xué)生的直覺思維能力在幾何畫板的應(yīng)用下與猜想的實(shí)施得以啟發(fā).

3. 自主探究，以拓展促進(jìn)直覺思維

傳統(tǒng)教學(xué)模式最大的弊端在于無(wú)法凸顯學(xué)生的主體地位，學(xué)生因沒有親歷實(shí)際操作過(guò)程而缺乏相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)，這也是導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)科抽象且枯燥的主要原因. 缺乏自主探究過(guò)程的教學(xué)，明顯抑制了學(xué)生的潛能發(fā)揮. 筆者發(fā)現(xiàn)，利用幾何畫板能鼓勵(lì)學(xué)生自主探究數(shù)學(xué)，能有效地激發(fā)學(xué)生的潛能，充盈學(xué)生的認(rèn)知，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力具有無(wú)可替代的作用.

案例3 “動(dòng)點(diǎn)”問(wèn)題的自主探究.

原題：已知點(diǎn)A為△ABC的頂點(diǎn)，且在定圓N上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B，C是固定的兩點(diǎn)，△ABC的外心O的軌跡是怎樣的？

面對(duì)此題，學(xué)生產(chǎn)生了各種猜測(cè)，分別有線段、圓、拋物線等，在教師的鼓勵(lì)下，學(xué)生運(yùn)用幾何畫板進(jìn)行了自主探究，具體操作步驟如下：①拖動(dòng)點(diǎn)C至圓內(nèi)，得到直線；②進(jìn)一步探究，當(dāng)點(diǎn)B，C在圓的外部時(shí)，其軌跡為一根線段；③當(dāng)點(diǎn)B，C分別在圓的內(nèi)部與外部時(shí)，其軌跡為一條直線；④當(dāng)點(diǎn)B，C都落在圓的內(nèi)部時(shí)，其軌跡為一條射線.

對(duì)于這些結(jié)論，教師追問(wèn)道：“這就完全對(duì)了嗎？”此時(shí)，有學(xué)生提出點(diǎn)B，C都在圓的外部，但是線段BC與圓卻是相交的關(guān)系，其軌跡就是兩根射線.

……

“動(dòng)點(diǎn)”問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)之一，不少學(xué)生看到此類題目就產(chǎn)生了畏難心理. 其實(shí)，不論多么復(fù)雜的問(wèn)題，只要厘清其發(fā)生和發(fā)展的脈絡(luò)，解題思路就會(huì)暴露出來(lái).

本題中，學(xué)生在自主探索的過(guò)程中不斷產(chǎn)生了新的結(jié)論，每個(gè)層次水平的學(xué)生都被幾何畫板的神奇所吸引，大家都全身心地投入到了此次探究活動(dòng)中，不僅獲得了良好的自主探究能力，還為猜想提供了較好的技術(shù)平臺(tái). 學(xué)生在自主探究中建構(gòu)新知、猜想結(jié)論、不斷創(chuàng)新，為直覺思維能力的形成夯實(shí)了基礎(chǔ).

總之，利用幾何畫板培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中意義重大. 創(chuàng)造性思維的形成與發(fā)展主要依賴直覺思維與邏輯思維的支撐，而直覺思維的培養(yǎng)需要教師滲透在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生在幾何畫板的幫助下，就能潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲地獲得更多的數(shù)學(xué)能力.