題新知依據 型多法可循

陳奕含

一元二次方程是初中階段所學的最后一類方程。其獨有的二次結構特征、根的判別式、根與系數的關系等內容，讓它成為中考命題的熱點。下面就選取近幾年中考中出現的新題型加以分析，幫助同學們抓住題目的本質特征，以不變應萬變。

一、正解錯題型

例1 （2021·貴州遵義）在解一元二次方程x2+px+q=0時，小紅看錯了常數項q，得到方程的兩個根是-3、1。小明看錯了一次項系數p，得到方程的兩個根是5、-4。則原來的方程是（）。

A.x2+2x-3=0

B.x2+2x-20=0

C.x2-2x-20=0

D.x2-2x-3=0

【分析】題中兩人都分別看錯了方程中的一部分，得到了兩個根。結合根與系數的關系，可以得到沒看錯的正確的系數，問題便迎刃而解。

解：因為小紅看錯了q，但沒看錯p，所以得到兩根之和=（-3）+1=-2=-p。

因為小明看錯了p，但沒看錯q，所以得到兩根之積=5×（-4） =-20=q。

解得p=2，q=-20。

故選B。

【點評】本題考查了根與系數的關系：若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 （a、b、c為常數，a≠0）的兩根時，x1+x2=[-ba]，x1x2=[ca]。抓住題目中的不變量——沒看錯的系數，即可轉化為常規問題進行求解。

二、降次轉化型

例2 （2022·四川內江）已知x1、x2是關于x的方程x2-2x+k-1=0的兩實數根，且[x2x1]+[x1x2]=x12+2x2-1，則k的值為。

【分析】根據x1、x2是一元二次方程x2-2x+k-1=0的兩實數根，可知x1+x2=2，x1x2=k-1。因為x1是方程的根，所以x12-2x1+k-1=0，然后就可以用只含有x1的一次項的代數式表示x12。把[x2x1][+x1x2]=x12+2x2-1進行變形：左邊通分，右邊降次，再整體代入x1+x2、x1x2即可得解。最后，我們不要忘記檢驗求出的k值是否符合題意。

【解答】∵x1、x2是關于x的方程x2-2x+k-1=0的兩實數根，

∴x1+x2=2，x1x2=k-1，

x12-2x1+k-1=0。

∴x12=2x1-k+1。

∵[x2x1][+x1x2]=x12+2x2-1，

∴[（x1+x2）2-2x1x2x1x2]=2（x1+x2）-k。

∴[22-2（k-1）k-1]=4-k。

解得k=2或k=5。

當k=2時，關于x的方程為x2-2x+1=0，b2-4ac=0，符合題意;

當k=5時，關于x的方程為x2-2x+4=0，b2-4ac=-12<0，方程無實數解，不符合題意。

∴k=2。

【點評】本題主要考查一元二次方程根與系數的關系，解題的關鍵是掌握一元二次方程根與系數的關系，從而得出x1+x2=2，x1x2=k-1。由于已知等式右邊包含單獨一個根的平方形式，可根據方程解的定義將x12降次，轉化成x1+x2的形式。再用整體代入法得到關于k的方程，進而完成求解。最后，我們一定要注意，只要是求一元二次方程中未知系數的值，一定要將該系數代入原方程檢驗是否有實數根。

三、分類討論型

例3 （2020·山東菏澤）等腰三角形的一邊長是3，另兩邊的長是關于x的方程x2-4x+k=0的兩個根，則k的值為（）。

A.3B.4C.3或4 D.7

【分析】已知等腰三角形的一邊長是3，可以作為等腰三角形的腰，也可以作為底邊，需要分類討論。當3為腰長時，將x=3代入原一元二次方程得k的值;當3為底邊長時，利用等腰三角形的性質可知原方程將擁有兩個相等的實數根，即判別式b2-4ac=0，從而得出k值。兩種情況得到的k值都必須帶回原方程求出方程的解，并判斷三邊是否能組成三角形。

解：（1） 當3為腰長時，將x=3代入x2-4x+k=0，

得32-4×3+k=0，解得k=3。

當k=3時，原方程為x2-4x+3=0。

解得x1=1，x2=3。

此時三邊長為1、3、3，能構成三角形，符合題意。

（2） 當3為底邊長時，關于x的方程x2-4x+k=0有兩個相等的實數根，

∴b2-4ac=（-4）2-4×1×k=0，

解得k=4。

當k=4時，原方程為x2-4x+4=0。

解得x1=x2=2。

此時三邊長為2、2、3，能構成三角形，符合題意。

綜上所述，k的值為3或4。

故選C。

【點評】本題通過等腰三角形的性質為切入口進行分類討論，主要考查了一元二次方程根的判別式和一元二次方程的解。需要注意，與三角形三邊長相關的問題，最后一定要用三角形三邊關系來驗證是否能構成三角形。

四、數形結合型

例4 （2019·寧夏）你知道嗎，對于一元二次方程，我國古代數學家還研究過其幾何解法呢！以方程x2+5x-14=0即x（x+5）=14為例加以說明。數學家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是：構造圖（如圖1）中大正方形的面積是（x+x+5）2，其中它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×14+52，據此易得x=2。那么在圖2的三個構圖（矩形的頂點均落在邊長為1的小正方形網格格點上）中，能夠說明方程x2-4x-12=0的正確構圖是 _______ 。（只填序號）

【分析】仿照題中的案例，x2-4x-12=0要正確構圖，得先變形為x（x-4）=12。所以構造的大正方形的邊長為x+x-4，外側的4個矩形長、寬分別是x和x-4，中間的小正方形的邊長是4。通過大正方形面積的兩種表示方式得出x的值，即可得解。

解：∵x2-4x-12=0，即x（x-4）=12，

∴構造如圖2②中大正方形的面積是（x+x-4）2，它中間的小正方形邊長為4。

又∵大正方形的面積也等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×12+42，

∴有（x+x-4）2=4×12+42。

解得x=6。

答案為②。

【點評】本題通過數形結合的方式，考查了一元二次方程的應用。運用類比的方法，構造出合適的大正方形是解題的關鍵。

（作者單位：江蘇省南京市第二十九中學初中部）