結構確定屬性方法反映本質

楊春霞

一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c為常數，a≠0），這是一個常態結構，也是對現實問題刻畫的一個有效模型。在學習時，厘清這個模型結構的特征以及與這個結構關聯的其他結構形式，有利于較為快捷地在實際問題應用中建立模型，轉化為數學問題來解決。

一、關注一般式結構，抓住根與系數

我們知道，對于一個一元二次方程而言，其一般式結構ax2+bx+c=0（a、b、c為常數，a≠0）中的系數確定，就意味著其對應的根就確定。因此，確定了系數，實際上就是確定了一元二次方程的結構，結構確定，就意味著其根的情況以及一元二次方程的根與系數的關系也確定。一元二次方程的根的情況可以借助根的判別式b2-4ac來判斷，而根與系數的關系是x1+x2=[-ba]，x1x2=[ca]。這里，我們可以看到，無論是根的判別式還是兩根之和以及兩根之積，均可以用一元二次方程一般式的系數來表示。因此，應用根的判別式或者根與系數關系的前提就是要將一元二次方程先轉化為一般式結構。

例1 （1）（2022·安徽）若一元二次方程2x2-4x+m=0有兩個相等的實數根，則m= _______ 。

（2）（2022·江蘇揚州）請填寫一個常數，使得關于x的方程x2-2x+_______=0有兩個不相等的實數根。

【解析】例1中的兩道題是基于確定的結構與根的情況之間的關系來考查的，這里的確定是指結構確定，即b2-4ac>0——方程有兩個不相等的實數根，b2-4ac=0——方程有兩個相等的實數根，b2-4ac<0——方程沒有實數根。故解決本題可將思路倒過來，從根的具體情況得到對應的判別式的結構與0的關系，從而建立不等式確定判別式中的字母值或者字母的取值范圍。其中（1）的答案是2，（2）的答案是小于1的任意實數，比如0。

例2 （2022·四川瀘州）已知關于x的方程x2-（2m-1）x+m2=0的兩實數根為x1、x2，若（x1+1）（x2+1）=3，則m的值為（）。

A.-3 B.-1

C.-3或1D.-1或3

【解析】此題是典型的對根與系數關系進行考查的問題，需要同學們在關注兩根之和與兩根之積的基礎上對式子（x1+1）（x2+1）的結構進行變形，形成熟悉的和與積的結構形式，從而得到x1x2+x1+x2+1=3，即m2+2m-1+1=3，解得m1=1，m2=-3。做到這里，方程有兩實數根，我們要注意，所得到的m值是否都滿足要求呢？這就需要進一步借助根的判別式進行驗證。因為（2m-1）2-4m2≥0，即m≤[14]，所以m1=1不合題意，要舍去，則符合要求的m值為-3。故選A。

二、關注配方式結構，凸顯配方過程

在一元二次方程的學習中，配方式結構（x+a）2=k是一元二次方程的一個重要的結構形式，也是求最值的重要工具，可以為后面確定二次函數頂點等知識奠定基礎，有較為廣泛的應用。要形成（x+a）2=k這樣的結構，則要重點關注配方的過程，因此多年來的中考試題主要聚焦考查如何配方，配方后的完全平方式的結構是否正確，以及依此判斷代數式最值等方面。

例3 （2022·甘肅武威）用配方法解方程x2-2x=2時，配方后正確的是（）。

A.（x+1）2=3 B.（x+1）2=6

C.（x-1）2=3 D.（x-1）2=6

【解析】本題是直接考查配方法，要求同學們在理解配方法的基礎上得到配方后的形式。這里我們可以直接在方程左右兩邊都加上1，左邊化為完全平方式，右邊合并即可得到結果。故選C。

例4 （2022·山東聊城）用配方法解一元二次方程3x2+6x-1=0時，將它化為（x+a）2=b的形式，則a+b的值為（）。

A.[103]B.[73]C.2D.[43]

【解析】將常數項移到方程的右邊，二次項系數化為1，兩邊都加上一次項系數一半的平方，配成完全平方式后，繼而得出答案。

∵3x2+6x-1=0，

∴3x2+6x=1，x2+2x=[13]，

則x2+2x+1=[13]+1，

即（x+1）2=[43]。

∴a=1，b=[43]。

∴a+b=[73]。故選B。

三、關注乘積式結構，活用因式分解

一元二次方程的解法中常用的還有因式分解法，即將一般式結構因式分解成（x+a）（x+b）=0這一乘積式結構，一旦形成這樣的結構就能很快得到方程的解。當然，利用乘積式結構解方程，我們一定要注意，等式右邊要為0，這樣才能依據“A×B=0，則A=0或B=0”解方程。

例5 （2022·貴州貴陽）在初中階段我們已經學習了一元二次方程的三種解法。他們分別是配方法、公式法和因式分解法，請從下列一元二次方程中任選兩個，并解這兩個方程。

①x2+2x-1=0;②x2-3x=0;③x2-4x=4;④x2-4=0。

【解析】本題要關注方程結構中系數的特點來選擇配方法、公式法或因式分解法。

①利用公式法：

x2+2x-1=0，

b2-4ac=22-4×1×（-1）=4+4=8，

∴x=-1±[2]。

②利用因式分解法：

x2-3x=0，

∴x（x-3）=0。

∴x1=0，x2=3。

③利用配方法：

x2-4x=4，

兩邊都加上4，得

x2-4x+4=8。

∴（x-2）2=8。

∴x-2=±2[2]。

∴x1=2+2[2]，x2=2-2[2]。

④利用因式分解法：

x2-4=0，

∴（x+2）（x-2）=0。

∴x1=-2，x2=2。

例6 （2022·黑龍江齊齊哈爾）解方程：（2x+3）2=（3x+2）2。

【解析】本題方法較多，可以直接開平方，也可以借助乘積式結構，通過因式分解來求解。由（2x+3）2=（3x+2）2得到（2x+3）2-（3x+2）2=0，繼而得到[（2x+3）+（3x+2）]·[（2x+3）-（3x+2）]=0，形成2x+3+3x+2=0或2x+3-3x-2=0，解得x1=1，x2=-1。

關注一元二次方程的模型結構，厘清結構中的特點和結構之間的關系是最為關鍵的一環。結構確定方程的屬性，而解決問題的方法則需要我們在不斷的積累和反思中獲得。

（作者單位：江蘇省南京市第二十九中學初中部）