菜園面積的奧秘

劉密貴

為了防止家禽破壞蔬菜，某農(nóng)場打算建一個長方形的菜園。如圖1，為了節(jié)約材料，菜園的一邊靠著原有的一面墻（不超過這面墻），墻長為15m，另三邊用籬笆圍成。

問題一：若使用總長度為24m的籬笆，能建成面積為70m2、80m2的菜園嗎？如果能，菜園的長和寬分別是多少？如果不能，請說明理由。

【思路分析】如圖2，設(shè)AB長為xm，則BC=（24-2x）m，菜園的面積為x（24-2x）m2，由此可以得到關(guān)于x的一元二次方程。

解：如圖2，設(shè)AB的長為xm，則BC的長為（24-2x）m。

結(jié)合題意，得0<24-2x≤15。

解得[92]≤x<12。

假設(shè)x（24-2x）=70。……①

解得x1=5，x2=7。

當(dāng)x=5時，BC=24-10=14<15，滿足題意;

當(dāng)x=7時，BC=24-14=10<15，滿足題意。

假設(shè)x（24-2x）=80。……②

原方程沒有實數(shù)根。

答：菜園的面積可以是70m2，此時菜園的長和寬分別是14m、5m或10m、7m。

菜園的面積不可能是80m2。

【反思發(fā)現(xiàn)】為什么菜園的面積可以是70m2，不能是80m2？即為什么方程①有兩個不相等的實數(shù)根，而方程②沒有實數(shù)根？一定跟面積有關(guān)。這說明菜園的面積是有最大值的，70沒有達(dá)到最大值，而80超過了最大值。因此，我們很有必要探索以下的問題。

問題二：若使用總長度為24m的籬笆，所建成菜園的面積最大是多少？

【思路分析】這似乎超出了一元二次方程這個工具的作用，因為現(xiàn)在未知數(shù)已經(jīng)不只是邊長，還有面積。怎么辦呢？

如果沒有思路，同學(xué)們大可使用窮舉的辦法進(jìn)行猜測，不過思路其實就藏在問題一中。用公式法審視方程①②，有無實數(shù)根的關(guān)鍵在于根的判別式，面積S的不同使得方程①的判別式為正，方程②的判別式為負(fù)，那么當(dāng)判別式為0時，S是否就是最大值呢？

解：設(shè)AB的長為xm，菜園的面積為Sm2。

根據(jù)題意，得x（24-2x）=S。……③

整理，得2x2-24x+S=0。

根的判別式=242-8S=8（72-S），

當(dāng)S<72時，方程有兩個不相等的實數(shù)根;

當(dāng)S=72時，方程有兩個相等的實數(shù)根;

當(dāng)S>72時，方程沒有實數(shù)根。

即S的最大值為72。

此時，AB=6，BC=12<15，符合題意。

答：所建成菜園的面積最大為72m2。

【反思發(fā)現(xiàn)】一方面，方程③實際上是一個二元二次方程，但把S看作常數(shù)后有助于我們一以貫之地用一元二次方程的知識解決問題。“看元不是元”是求解成功的重要原因。

另一方面，為什么此時菜園的面積最大？你注意到AB=[12]BC了嗎？我們知道，“在周長為定值的長方形中，正方形的面積最大”。如圖3，將AB、BC、CD沿著MN對折，得到的圖形剛好就是一個周長為定值2×24=48m的正方形，最大之謎豁然而通！

問題三：若使用總長度為30m的籬笆，所建成菜園的面積最大是多少？

【思路分析】同理可知，30的一半恰好不超過MN的長度，此時當(dāng)BC=15，AB=[152]時，菜園的面積最大，最大面積為[2252]m2。

【反思發(fā)現(xiàn)】如果籬笆的長度超過30m呢？

問題四：若使用總長度為36m的籬笆，所建成菜園的面積最大是多少？

【思路分析】顯然，由于36的一半超過了MN的長度，所以上述規(guī)律已經(jīng)不再適用。直觀感受到，要想把籬笆用足，靠墻的一邊其實可以占滿整面墻，即令BC=AD=MN=15，此時AB+CD=36-15=21，

AB=[212]，菜園面積為[212]×15=[3152]m2。

以上是我們的猜測，這個結(jié)果是否就是最大面積呢？不妨利用問題二的經(jīng)驗進(jìn)行探索和驗證。

解：設(shè)AB的長為xm，菜園的面積為Sm2，則BC的長為（36-2x）m。

結(jié)合題意，得0<36-2x≤15。

解得[212]≤x<18。

根據(jù)題意，得x（36-2x）=S。

整理，得2x2-36x+S=0。

根的判別式=362-8S=8（162-S），

當(dāng)S=162時，方程有兩個相等的實數(shù)根x1=x2=9，與[212]≤x<18矛盾，不符合題意。

【反思發(fā)現(xiàn)】為什么問題二中的方法不奏效了？因為問題二中方程的解滿足BC<15，而本問題已經(jīng)不滿足了。

怎么辦？

轉(zhuǎn)變思路：既然知道了x的范圍，可否推出S的范圍？

需要把含x的項都集中起來，用配方法！

S=x（36-2x）=-2（x-9）2+162。

當(dāng)[212]≤x<18時，[32]≤x-9<9，

∴[94]≤（x-9）2<81。

∴-162<-2（x-9）2≤[-92]。

∴0<-2（x-9）2+162≤[3152]，

即0可見，問題在變化，解題的方法也要隨之變化。

在此基礎(chǔ)上，你能回答下面的問題了嗎？

問題五：若使用總長度為am的籬笆，所建成菜園的面積最大是多少？（用含a的式子表示。）

（作者單位：南京師范大學(xué)附屬中學(xué)樹人學(xué)校）