均值平方差法解一元二次方程

三石

一元二次方程是古人在數(shù)學(xué)探索中的重要成就之一，其歷史可以追溯到遙遠(yuǎn)的古巴比倫時(shí)期。在超過 4000 年的歷史中，不少著名數(shù)學(xué)家都“重新發(fā)現(xiàn)”了其求解方法。

大家都知道，配方法是解一元二次方程的基本方法，在此基礎(chǔ)上拓展延伸，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，我們發(fā)現(xiàn)一種新的方法——均值平方差法。這種方法在計(jì)算上是輕量級(jí)的，解題原理的理解也是順應(yīng)自然的，會(huì)讓求解過程變得不再困難。

這個(gè)“均值平方差法”的解題原理及過程如下：

對(duì)于x2+bx+c=0，將等式的左邊進(jìn)行因式分解，可得x2+bx+c=（x-m）·（x-n），可得方程的根為x1=m，x2=n，即x2+bx+c=x2-（m+n）x+mn，所以m+n=-b，mn=c，那么可以確定m、n的平均數(shù)為[-b2]。不妨設(shè)m=[-b2]+t，n=[-b2]-t。再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可知x1·x2=mn=c，所以（[-b2]+t）·（[-b2]-t）=c，即（[-b2]）2-t2=c，可求出t的值。最后，直接代入t值求得該方程的兩個(gè)根m、n。

舉例如下：解一元二次方程x2-2x-4=0。由于方程的兩根之和為2，積為-4，所以可得[-b2]=1。設(shè)方程的兩個(gè)根為1±p，而12-p2=-4，解得p=±[5]，所以原方程的根為x1=1+[5]，x2=1-[5]。

這個(gè)方法對(duì)于方程的無理數(shù)根和虛數(shù)根都適用，是華裔數(shù)學(xué)家羅博深在2019年發(fā)現(xiàn)的。他的研究領(lǐng)域包含離散系統(tǒng)、概率論和計(jì)算機(jī)科學(xué)交叉領(lǐng)域等方向，他還是免費(fèi)個(gè)性化學(xué)習(xí)平臺(tái)expii.com的創(chuàng)始人。

感興趣的同學(xué)可以嘗試運(yùn)用這個(gè)方法解下列方程：

①x2-2[3]x-4=0;? ②3x2-[11]x+[12]=0。

（作者單位：江蘇省南京市鼓樓實(shí)驗(yàn)中學(xué)）