新課標“統計與概率”內容分析：從結構到要求

呂世虎，顏飛

摘要：《義務教育數學課程標準（2022年版）》對“統計與概率”內容進行了結構化設計，使主題更加明確，核心內容更加突出，更有利于核心素養的培育;內容呈現按照“領域+學段”的思路設計，在“內容要求”的基礎上增加了“學業要求”與“教學提示”等表述形式，使課程標準更具操作性與指導性;內容要求依據“數據分類”“數據的收集、整理與表達”“隨機現象發生的可能性”“抽樣與數據分析”“隨機事件的概率”這五個主題由淺入深、層層遞進，注重整體性與階段性，關注學生的認知發展規律，并融入了百分數、平均數分布式計算的方法等，以適應大數據時代的發展。

關鍵詞：數學課程標準;義務教育;統計與概率;課程內容;結構化

呂世虎教授團隊的《義務教育數學課程標準（2022年版）》課程內容深度分析系列文章之一。回顧中華人民共和國成立以來，歷次頒布的小學和初中階段的數學課程標準（教學大綱），統計內容一直都有設置，而概率內容在2000年以前均沒有設置。在21世紀的義務教育課程改革中，“統計與概率”內容在數學課程中得到了很大的發展，不僅作為獨立的學習領域，而且在學習要求上更加聚焦“統計觀念”和“數據分析觀念”的培養。參見：劉久成.小學統計教學六十年發展研究[J].數學教育學報，2011（5）;謝益民.義務教育數學課程標準與初中數學教學大綱比較研究[J].數學教育學報，2003（1）。本文從內容結構、內容呈現、內容要求三方面對《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）中的“統計與概率”內容做具體分析。

一、新課標中“統計與概率”內容結構分析

數學課程標準中，內容結構主要是指不同學段的課程內容所涵蓋的知識領域及其主題的分布。《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“2011年版課標”）將義務教育階段分為三個學段（小學分為兩個學段，初中為第三學段），而新課標將義務教育階段分為四個學段（小學分為三個學段，初中為第四學段）。兩版課標均設置了數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐四個領域。與2011年版課標相比，新課標明確和整合了各領域下的主題。其中，統計與概率領域的主題變化不大（如表1所示）。

由表1可知，與2011年版課標相比，新課標明確了“數據分類”主題。數據分類是信息分析的基礎，其本質是根據信息對事物分類。學生在學前階段已經有對事物進行分類的活動經驗，比如果蔬分類、垃圾分類等。在第一學段，以“數據分類”主題為切入點，有利于學生順利進入統計與概率領域的學習。因此，第一學段“數據分類”主題的教學目標主要是幫助學生從一般意義的事物分類過渡到統計學中的數據分類。同時，數據分類是數據整理的基礎，比如制作條形統計圖、折線統計圖、扇形統計圖、頻數直方圖等的第一步就是數據分類或分組。

新課標將“簡單數據統計過程”主題改為“數據的收集、整理與表達”主題，并貫穿于第二、第三學段中，明確地體現了統計的核心內容。本次課程標準修訂聚焦于數學課程應著力培養的學生核心素養。學生的數學核心素養需要通過相應的數學核心內容去發展。數據的收集、整理與表達是數據統計的具體過程，也是數據分析的關鍵步驟。新課標中，根據學生的認知發展規律，第二學段處理的數據相對簡單一些，用條形統計圖與平均數基本上可以描述其特征;第三學段處理的數據相對復雜一些，增加了折線統計圖、扇形統計圖以及百分數來刻畫其特征。2011年版課標將百分數內容設置在數與代數領域，而新課標將其設置在統計與概率領域。事實上，百分數的本質是對兩個數量倍數關系的表達，不僅可以表達確定數據，而且可以表達隨機數據。新課標將百分數作為表達統計量的形式，更多地應用于隨機數據的表達，比如下雨概率、經濟增長率、投籃命中率等。這可以讓學生初步感受數據的隨機性，為決策提供依據。

與2011年版課標相比，新課標中“抽樣與數據分析”“隨機現象發生的可能性”“隨機事件的概率”三個主題在表達上變化不大，只是將“事件的概率”變更為“隨機事件的概率”。第四學段設置的“抽樣與數據分析”主題，是“數據的收集、整理與表達”主題的延續，標志著該學段的統計內容由描述統計進入推斷統計。具體來看，要求采用“抽樣”的方法收集數據，其目的是通過樣本的特征推斷總體的特征。同時，對“統計圖”和“統計量”的內容在前三個學段的基礎上做了進一步的擴充。“統計圖”中設置了頻數直方圖、箱線圖等，“統計量”中設置了眾數、中位數、方差、四分位數等。其中，箱線圖、四分位數為新增內容。此外，在大數據分析的背景下，還融入了分布式計算平均數與百分數的內容，增加了數據分組的內容。“隨機現象發生的可能性”“隨機事件的概率”兩個主題分別設置在第三、第四學段中，主要從定性與定量兩個層次刻畫隨機現象。

二、新課標中“統計與概率”內容呈現分析

數學課程標準中，內容呈現主要是指課程內容的設計思路與表述形式。新課標中，“統計與概率”內容的設計思路和表述形式有新的變化。

（一）“統計與概率”內容設計思路分析

2011年版課標按照“學段+領域”的思路設計課程內容，統計與概率領域的內容分散在三個學段中呈現。而新課標按照“部分+領域+學段”的思路設計課程內容，統計與概率領域四個學段的內容按照小學、初中部分集中呈現，順序展開。每個學段都有明確的主題（有的主題貫穿于不同學段），有效銜接形成整體。這種“領域+學段”的設計思路，突顯了統計與概率領域的核心內容，加強了主題之間的聯系，體現了內容統整的理念，在一定程度上避免了知識的碎片化，有助于教材編寫與教學設計中明確核心內容，凸顯核心內容與核心素養的關聯，推動核心素養的落實。

（二）“統計與概率”內容表述形式分析

與2011年版課標相比，新課標中課程內容的表述形式不僅有“內容要求”，而且增加了“學業要求”“教學提示”，即從“學什么”“學到什么程度”“怎樣學”三個方面全面地表述課程內容。這加強了課程標準在教材編寫、教學設計以及教學評價中的操作性與指導性。以統計與概率領域第一學段的“數據分類”主題為例，具體表述如下：

【內容要求】

會對物體、圖形或數據進行分類，初步了解分類與分類標準的關系，形成初步的數據意識。

【學業要求】

能依據事物特征，按照一定的標準進行分類;能發現事物的特征并制訂分類標準，依據標準對事物分類;能用語言簡單描述分類的過程;感知事物的共性和差異，形成初步的數據意識。

【教學提示】

要重視對接學生學前階段已有的生活經驗，鼓勵學生在活動中學會物體的簡單分類，在親身參與的動手活動中感悟分類的價值，在分類的過程中認識事物的共性與區別，學會分類的方法。鼓勵學生運用文字、圖畫或表格等方式記錄并描述分類的結果，體會如何用數學語言表達現實世界，形成初步的數據意識，為后續學習統計中的數據分類打好基礎。

由此可知，“數據分類”主題的內容要求主要是對學習范圍的表述，包括物體、圖形或數據的分類以及分類標準等。學業要求主要是對學習程度的表達，比如：按照給定標準對事物進行分類;自己制訂標準對事物進行分類;能用語言簡單描述分類的過程，為數據分類奠定基礎。教學提示則主要是對相關內容教學實施的建議，比如：重視對接學生學前階段已有的生活經驗，設計合適的教學活動，幫助學生形成初步的數據意識，為后續學習統計中的數據分類打好基礎。

三、新課標中“統計與概率”內容要求分析

新課標中，統計與概率領域下設置了“數據分類”“數據的收集、整理與表達”“隨機現象發生的可能性”“抽樣與數據分析”“隨機事件的概率”五個主題。這些主題分布在各個學段，內容要求由淺入深、層層遞進。以下具體分析這五個主題的內容要求。

（一）“數據分類”內容要求分析

“數據分類”主題設置在第一學段中，但該主題的相關內容貫穿于整個統計與概率領域。數據分類的本質是根據信息對事物分類，主要包括兩個層面。一是對“事物”分類，比如生活中物體的分類、數的分類、圖形的分類等。這種對事物的分類可以看作初級的數據分類，即在一組事物中把具有相同屬性的事物作為一類，比如按大小分類、按顏色分類、按形狀分類、按擺放的位置分類等。二是對通過調查等取得的“數據”分類。解決問題時經常需要調查研究或實驗探究，收集數據，通過具體調查或實驗取得數據是統計分析的前提，數據整理的第一步就是分類。

第一學段要求“會對物體、圖形或數據進行分類，初步了解分類與分類標準的關系，形成初步的數據意識”，目的便是讓學生經歷從事物分類到數據分類的過程。這一學段的教學要和學生的學前經驗結合起來，尤其要注重過程，讓學生參與分類的活動，感知分類的價值與方法。第二、第三、第四學段均要求會利用統計圖整理與表達數據，而統計圖的學習與數據分類緊密相關：制作統計圖的第一步就是對收集到的數據進行分類或分組。其中，數據分組在大數據分析中非常重要，其本質就是數據分類，比如，頻數直方圖事實上是對數據按照確定的組距和組數分類的直觀表示。此外，第四學段設置了“按照組內離差平方和最小的原則進行數據分類”的內容，這是統計學意義上對數據分組的具體方法。雖然可以有各種方法對數據進行分組，但使得“組內離差平方和達到最小”的方法是最傳統的，也是非常合理的。綜上，數據分類的教學應該有意識地滲透數據分類的思想，注重數據分類的過程，讓學生體會數據分類的必要性，掌握數據分類的基本方法與應用。

（二）“數據的收集、整理與表達”內容要求分析

“數據的收集、整理與表達”主題貫穿于第二、第三學段中。這一主題主要圍繞數據分析的過程展開，包括收集數據，整理數據，利用統計圖表、平均數和百分數等表達數據等。這是描述統計的主要內容，也是第四學段中推斷統計內容學習的基礎。數據是統計的基本要素，不同學段學生的生活經驗與認知發展存在差異，因此，第二、第三學段雖然都設置了“數據的收集、整理與表達”主題，但是所針對的數據的復雜程度是有區別的。具體來看，第二學段要求在“具體實例”中經歷簡單數據分析的過程，重點是讓學生在具體實例中感受數據中蘊含著豐富的信息，并采用簡單的方法整理和表達數據及其特征;第三學段則要求根據“實際問題”經歷數據分析的整個過程，重點是讓學生在實際情境中收集數據，并采用合適的方法整理和表達數據，解決簡單的實際問題。隨著所面臨的問題以及數據復雜程度的增大，處理數據的方法也逐漸豐富，這主要體現在統計圖與統計量兩方面。

在統計圖方面，新課標在統計與概率領域設置的統計圖包括條形統計圖、折線統計圖、扇形統計圖、頻數直方圖與箱線圖。其中，第二學段要求學習條形統計圖;第三學段要求學習折線統計圖和扇形統計圖，對扇形統計圖只要求認識并知道其功能;第四學段要求學習頻數直方圖、扇形統計圖和箱線圖，對扇形統計圖進一步要求會制作，對箱線圖只要求會從圖中看出數據分布信息，不要求會畫。這五種統計圖均是直觀描述數據的重要方法，且各具優勢。條形統計圖可以直觀呈現不同類別數據數量的多少;折線統計圖不僅呈現了不同類別數據數量的多少，而且反映出其數量的增減變化;扇形統計圖可以直觀呈現不同類別數據數量在整體中的占比情況，可以用百分數表示;頻數直方圖可以直觀呈現不同類別數據出現的頻數分布情況;箱線圖可以直觀呈現數據分布情況。因此，教學中，要讓學生充分認識各種統計圖的特點，能根據不同的實際情況選擇更適合的統計圖;同時，要引導學生理解，選擇哪種統計圖來表征數據，只有合適與不合適之分，沒有對與錯之分。

在統計量方面，新課標在統計與概率領域設置的統計量包括平均數、中位數、眾數、離差平方和、方差、四分位數、百分位數等。其中，第二學段學習平均數，具體要求是：“知道用平均數可以刻畫一組數據的集中趨勢，知道平均數的統計意義;知道平均數是介于最大數與最小數之間的數，能描述平均數的含義;能用平均數解決有關的簡單實際問題，形成初步的數據意識和應用意識。”這不僅說明了平均數的教學要求，而且闡明了平均數的本質。教學時，要從現實生活問題入手，讓學生通過調查研究或實驗探究，收集數據，體會平均數產生的必要性，知道平均數可以刻畫數據的集中趨勢和代表一組數據的“整體水平”，培育學生的數據意識。第三學段沒有要學習的統計量，但將百分數作為表達統計量的形式來學習，目的是讓學生結合扇形統計圖，了解百分數的統計意義，利用百分數認識現實世界中的隨機現象。因此，百分數的教學，要從真實的問題情境出發，創設認知沖突，讓學生真切地感受到百分數好似一把標尺，使不好比較的兩個量變得可以比較，使不容易比較的兩個量變得容易比較，進而感受到百分數可以幫助人們作出判斷和預測，體會到百分數的價值。第四學段不僅要學習刻畫數據集中趨勢的統計量（平均數、中位數、眾數等），而且要學習刻畫數據離散程度的統計量（離差平方和、方差）和刻畫數據分布位置的統計量（四分位數、百分位數）。這些統計量都能反映數據的特征，但各具特點。例如，平均數、中位數、眾數均能反映數據的集中趨勢，但它們作為一組數據的代表又具有不同的特點：平均數由所有數據計算產生，能充分反映數據提供的信息，因此在現實生活中應用較廣，但它容易受到極端值的影響;中位數對極端值不敏感，但它沒有利用數據中的所有信息;眾數只能反映一組數據中出現頻次最多的數據，也沒有利用數據中的所有信息。因此，教學中，要引導學生根據實際情況選擇合適的統計量刻畫數據的特征。

（三）“隨機現象發生的可能性”內容要求分析

“隨機現象發生的可能性”主題設置在第三學段中，主要是對不確定現象的定性描述。自然界和人類社會中的現象可以分為兩類：一類是在一定的條件下，必然會發生（出現）的現象，稱為確定現象，如“地球圍繞太陽轉”“水從高處往低處流”“同性電荷相互排斥”等;另一類則是在相同的條件下，試驗或觀察之前不能確定會出現哪種結果，不同次的試驗或觀察會得到不同的結果的現象，稱為隨機現象，如向上拋擲一枚硬幣，事先無法確定硬幣掉下來后哪一面朝上，不同次的拋擲會出現“正面朝上”和“反面朝上”兩種不同的結果。

第三學段有關可能性的教學內容主要包括兩方面：一是通過實例認識到生活中有些事情的發生是不確定的，而不確定的事件中可能發生的不同結果的可能性是有大小的;二是初步學會根據所有可能發生的情況，正確判斷某種結果發生的可能性大小。教學中，可以組織學生拋擲硬幣，每回拋擲相同的次數，收集到正面朝上和反面朝上的次數可能不相同。也就是，讓學生通過實驗，了解簡單的隨機現象，定性描述隨機現象發生的可能性大小，體會利用數據提供的信息可以幫助人們進行判斷;同時感悟對于同樣的事情每次收集到的數據可能不同，只要有足夠多的數據就可能從中發現規律，從而發展學生的數據意識、歸納能力和創新意識。因此，滲透隨機思想是“隨機現象發生的可能性”教學的核心。

（四）“抽樣與數據分析”內容要求分析

“抽樣與數據分析”主題設置在第四學段中，主要還是圍繞數據分析的整個過程展開，但是以推斷性統計分析為主（“數據的收集、整理與表達”主題以描述性統計分析為主）。由此，可以呈現統計解決問題的完整思路：收集數據，整理與描述數據，分析數據，利用數據解釋或說明問題。

第四學段中，收集數據的方法主要是簡單隨機抽樣。實際問題中，很多情況下收集全部研究對象的數據有困難，只能從全部研究對象中抽取一部分作為代表。例如，要收集電器產品使用壽命的數據，需要對電器產品通電使用，直到用壞為止。這是一種破壞性的收集數據的方法，因此，在研究中不能對全部產品使用。

整理與描述數據可以使用統計圖，如條形統計圖、折線統計圖、扇形統計圖、頻數直方圖等。條形統計圖、折線統計圖和扇形統計圖（直觀認識）在第二、第三學段學習過，頻數直方圖和扇形統計圖（繪制）是第四學段要學習的重點內容。

分析數據主要是提取數據信息，即數據的數字特征，包括刻畫數據集中趨勢的平均數、中位數與眾數，刻畫數據離散程度的方差和刻畫數據分布位置的四分位數、百分位數等;還可以根據這些統計量畫出箱線圖，直觀地反映一組數據的最小值、第一四分位數、中位數、第三四分位數、最大值的情況。

最后，利用數據解釋或說明問題主要是利用樣本的數字特征估計總體的數字特征，利用樣本的變化趨勢估計總體的變化趨勢。

此外，第四學段還融入了分布式計算平均數或百分數的內容，這與我們所處的大數據時代緊密相關。首先，大數據最主要的兩個特征是“數據量大”“類型繁多”，對數據進行快速計算和有效分類是高效發揮數據資源價值的手段。如今，阿里云、騰訊云等產業均是依靠大數據分析運營的，它們分析數據的主要方法是分布式計算。這種計算方式將需要解決的問題分解成許多小的部分，分配給多臺計算機處理，這樣可以大大提高計算效率。因此，義務教育階段的數學課程融入分布式計算的思想，是對當前時代發展的一種適應。

（五）“隨機事件的概率”內容要求分析

“隨機事件的概率”主題設置在第四學段中，主要是對隨機現象的定量描述。隨機現象的特征是：可能發生，也可能不發生;可能以這樣的程度發生，也可能以那樣的程度發生。但是，許多隨機現象發生的可能性大小是可以預測的。這一主題的內容提供的是一種不確定的思維方式，主要引導學生從不確定的角度觀察世界。

第四學段關于概率的教學內容主要包括兩部分：一是用古典概型刻畫概率，二是用頻率刻畫概率。其中，用古典概型刻畫概率是在簡單隨機事件背景下的。簡單隨機事件的特征是：所有可能發生的結果的個數是有限的，每個可能的結果發生的概率是相等的。在這樣的背景下，可以刻畫由某些可能的結果構成的隨機事件的概率：用隨機事件包含的可能結果數除以簡單隨機事件所有的可能結果數。這是用理論模型（經驗公式）來刻畫隨機事件的概率。但不是所有的隨機事件都符合古典概型的特征，例如拋擲一枚圖釘，“針尖朝上”和“針尖朝下”的概率并不相等。這時，就不能用古典概型刻畫概率，而可以用頻率刻畫概率。這是用一些經驗數據來刻畫隨機事件的概率。事實上，用頻率估計概率更具有一般性，既能刻畫簡單隨機事件條件下隨機事件的概率，也能刻畫不滿足這一條件的隨機事件的概率。在這一過程中，能體會到每次試驗結果的不確定性和大量重復試驗得到的數據所蘊含的規律性。因此，“隨機事件的概率”的教學應該讓學生經歷通過隨機試驗收集頻率數據的過程以及利用古典概型公式計算概率的過程，用頻率估計概率，用概率定量描述隨機現象發生的可能性大小，理解概率的意義。