解題教學的關鍵：識別模式，體悟思路

王弟成

摘要：在一次高二期末調研數學測試中，一道解析幾何綜合題學生的解答情況很不理想。分析學生該題的解答情況反映出的一般的學習問題，提出相應的教學對策：培養學生良好的審題習慣;強化學生解題的目標意識;引導學生在解題的探究過程中體悟模式識別下思路引領的作用;培養學生巧算的意識和能力。

關鍵詞：解析幾何;解題教學;審題習慣;目標意識;模式識別

最近一次全市高二期末調研數學測試中，最后一題是一道解析幾何綜合題：

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1、F2，離心率為63。點P是橢圓上的一個動點，且在第一象限。記△PF1F2的面積為S，當PF2⊥F1F2時，S=263。

（1）求橢圓E的標準方程;

（2）PF1、PF2的延長線分別交橢圓于點M、N，記△MF1F2和△NF1F2的面積分別為S1和S2。（i）求證：存在常數λ，使得1S1+1S2=λS成立;（ii）求S2-S1的最大值。

對于這道題，考試時，學生的解答情況很不理想，平均得分很低。而且，在未講評的情況下，過了一段時間，筆者又給學生半個小時，讓他們重新解答一次，解答情況依然沒有多少改觀，只是第二問第一小問多了幾個學生解答出來。

考試的根本目的不是考查學生會不會解決具體的某道（些）題，而是通過具體的某道（些）題考查學生有沒有形成一般的解決問題的能力——所以考無定型，需要求變。相應地，（解題）教學的根本目的是通過解決樣例問題幫助學生提升解決更多問題的能力，即通常所說的“解一題、會一類”的遷移能力——所以教務根本，需要追求不變。因此，本文首先分析學生該題的解答情況反映出的一般的學習問題，進而提出相應的教學對策。

一、學生解答情況分析

該題第一問求橢圓的標準方程，比較簡單：只要利用離心率公式，以及PF2⊥F1F2時△PF1F2的面積可以焦距為底邊長、以焦參數為高來求出，列出方程，即可解得長半軸長、短半軸長（同時得到半焦距），從而得到橢圓的標準方程為x26+y22=1。但是，不少學生竟然將條件“PF2⊥F1F2”看成“PF2⊥PF1”，利用焦半徑公式求得橢圓的標準方程為x226+y2263=1。

這說明不少學生審題不仔細、憑感覺：平時解題多次遇到“PF2⊥PF1”的情況，就想當然地把該題的條件也當成“PF2⊥PF1”。

對于第二問第一小問，學生知道，△MF1F2的面積S1和△NF1F2的面積S2分別是隨著點M和點N的變化而變化的，而點M和點N分別是隨著直線PF1和直線PF2的變化而變化的。

但是，部分學生一看到直線PF1過點F1（-2，0），就設其方程為y=k（x+2），將其與橢圓方程聯立，消去y得到（1+3k2）x2+12k2x+12k2-6=0，這時注意到點P不確定，再設其坐標為（x0，y0），從而由韋達定理得x0+xM=-12k21+3k2，即xM=-12k21+3k2-x0，進而由直線方程得yM=k（xM+2）=-12k31+3k2-kx0+2k（類似地，可求出yN的表達式），然后就由于式子結構復雜，算不下去了（部分學生想用k表示x0、y0，但由于式子結構復雜，也放棄了）。

同時，少數學生先注意到直線PF1和直線PF2都是隨著點P的變化而變化的，就先設點P（x0，y0），得到直線PF1的方程y=y0x0+2（x+2），將其與橢圓方程聯立，消去y得到1+3y0x0+22x2+12y0x0+22x+12y0x0+22-6=0，然后結合x206+y202=1得到（10+4x0）x2+12y20x+12y20-6（x0+2）2=0，再由韋達定理得x0+xM=-12-2x205+2x0，即xM=-12-2x205+2x0-x0=-12+5x05+2x0，又由直線方程得yM=y0x0+2（xM+2）=-y05+2x0，類似地，求得yN=-y05-2x0，最后代入由目標等式變形、化簡得到的λ=-（yM+yN）y0yMyN計算，求得λ為常數10（多數學生于中途出現計算錯誤，只有一位學生最終算出正確結果）。

有些學生則通過消去x得到關于y的方程，運用韋達定理的兩根積的結論，相對方便快捷地得到了正確結果。

這說明很多學生解題沒有目標意識。為什么這么說？因為題目要求證明存在常數λ，使得1S1+1S2=λS成立，因此，需要選擇合適的量表示三個三角形的面積。而顯然，三個三角形有一條長度已知的公共邊F1F2，且此邊上的高分別等于P、M、N三點縱坐標的絕對值，因此，只需要表示出三點的縱坐標。可見，消去y得到關于x的方程，從而表示出點M、N的橫坐標，再表示出點M、N的縱坐標，是在繞遠路，不如直接消去x得到關于y的方程，從而表示出點M、N的縱坐標。

對于第二問第二小問，求得S2-S1=2[（-yN）-（-yM）]=8x0y025-4x20的學生，絕大部分在解決“已知x206+y202=1，求8x0y025-4x20的最大值”這一問題時束手無策;少數想到消去y0的，想不到整體代換簡化分母的思路;少數消去y0后基于反函數思想（用因變量表示自變量，得到關于因變量的不等式，解出因變量的范圍，從而求出因變量的最值）想到判別式法的，也因為運算太繁無功而返。

這說明學生的頭腦中缺少一般化的問題模型以及相應的解題思想，不能基于已知和所求識別問題的模式、形成解題的思路，也不能有效調動已有知識、技巧、經驗轉化解決問題，也就是自主探究能力薄弱。

此外，第二問兩個小問的解答情況還反映出，很多學生優化運算過程的意識不強，不能抓住式子的結構特征選擇簡捷的計算方法。

二、基于學習問題的教學對策

（一）培養學生良好的審題習慣

審題的重要性不用贅述，但現實是很多學生拿到題目后，不認真審題，基于經驗慣性和思維定式，想當然地判定題目的條件或目標。如此審題，既與平時的訓練量大、學習負擔較重有關（導致學生只想快速完成學習任務），也與學生的性格、習慣有關。因此，教師一方面，要適當降低學生的訓練量，減輕學生的學習負擔，保證學生有足夠的時間審好、解好每道題;另一方面，要通過示范和要求，幫助學生養成仔細審題，看清題目條件與目標的習慣。

具體而言，可以示范和要求：把題目的條件抓在一起，串聯起來，不要讀了A條件，漏了B條件;調動已有知識和經驗理解題意，對條件和目標反映的關系有一個基本輪廓，抓住關鍵信息（具體解答時，再做進一步分析、選擇、確定）。例如，對于該題，讀到“PF2⊥F1F2”，反映出PF2=b2a，△PF1F2的面積等于12× 2c·PF2等基本關系;讀到“△MF1F2和△NF1F2的面積”，自動想到如何表示面積，選擇哪個量表示面積。

（二）強化學生解題的目標意識

解題通常是有著明確目標的活動。相對而言，要求的目標往往比已知的條件更重要：從目標出發，合理使用條件，不斷轉化以消除目標與條件的差異，是更高效的解題策略王秀彩.目標導向，差異分析——數學解題的有效策略[J].教育研究與評論（中學教育教學），2017（12）：4850。;從條件出發，沒有目標定向的話，解題容易誤入歧途。因此，教師要強化學生解題的目標意識，引導學生基于目標合理選擇解題路徑。

對于該題第二問第一小問，基于由主動點P的坐標表示出從動點M的縱坐標的目標，選擇消去x得到關于y的方程的路徑，可使解題更簡捷。具體地，可設點P（x0，y0），則直線PF1的方程為x=x0+2y0y-2，與橢圓方程聯立，消去x得3+x0+2y02y2-4x0+2y0y-2=0，再由x206+y202=1得（10+4x0）y2+2（x0+2）2y-2y20=0，由韋達定理得y0yM=-2y2010+4x0，即yM=-y05+2x0。這里，也可進一步設x0+2y0=m，得直線PF1的方程為x=my-2，從而進一步減少書寫量：與橢圓方程聯立，消去x得（3+m2）y2-4my-2=0，所以y0yM=-23+m2，再由m=x0+2y0和x206+y202=1得yM=-y05+2x0。

（三）引導學生在解題的探究過程中體悟模式識別下思路引領的作用

以知識（技能）教學為基礎的解題教學，要讓學生形成“解一題、會一類”的遷移能力，在選擇典型題目的基礎上，不能講得太多、太細，首先要讓學生自主探究各種可能的解法，獲得切身體悟;其次則要適時引導學生分析問題的本質特征，識別問題的模式，把握解題的一般觀念，形成解題的思路，并以之引領具體解題過程的展開，包括有關知識、技巧、經驗的調用。這樣，學生才不只是記住怎么解，也不只是理解為什么這么解，而是學會怎么想到這么解。

該題第二問第二小問其實有多種解決方法，教學中可以引導學生自然地“想到”。首先，要引導學生識別這是一個已知二元關系的二元函數最值問題，得到解題的基本思路是消元后利用一元函數的性質（主要是但不限于單調性，可利用導數處理），或不消元利用基本不等式。

先來看利用一元函數性質的思路。可引導學生發現要求的二元函數8x0y025-4x20中有一次形式，已知的二元關系x206+y202=1是平方關系，直接代入消元，會出現根式，不利于后續計算，所以考慮將二元函數平方（顯然該二元函數的值為正數），再利用二元關系代入平方表示來消元，即8x0y025-4x202=64x20y20（25-4x20）2=64x202-13x20（25-4x20）2。這時，可引導學生發現這是一個關于x20的分子和分母都是二次式的分式函數（顯然該式中的x0都以x20的形式存在，因此可將x20看成一個整體），幫助學生想到（或了解）處理這樣的函數的基本方法：將分母看作整體，在分子中構造分母以分離常數，然后轉化為一次式除以二次式的形式（降次）;或基于反函數思想變形為關于自變量的二次方程，然后利用判別式法。由此，學生便不難分別嘗試具體的解法：（1）設25-4x20=t，則4x20=25-t，64x202-13x20（25-4x20）2=4×4x208-43x20（25-4x20）2=4（25-t）8-13（25-t）t2=-43（t-25）[24-（25-t）]t2

=-43（t2-26t+25）t2=-43251t2-261t+1，故當1t=2650=1325，即t=2513（因為0

此外，還可引導學生發現已知的二元關系x206+y202=1是橢圓方程，兩元之間相互表示不簡潔，不利于后續求解，而通過三角換元引入角參數，則可實現消元：設x0=6cos θ，y0=2sin θ，則8x0y025-4x20=86cos θ×2sin θ25-24cos2θ= 83sin 2θ13-12cos 2θ。這時，可引導學生發現這是一個分子、分母分別是關于sin 2θ、cos 2θ的一次式的分式函數，幫助學生想到（或了解）處理這樣的函數的基本方法：由幾何意義構造圓上動點與某一定點連線的斜率，然后利用直線與圓位置關系;或基于反函數思想變形為關于自變量的三角方程，然后利用輔助角公式。由此，學生可分別嘗試具體的解法：（1）83sin 2θ13-12cos 2θ=-233·sin 2θ-0cos 2θ-1312，后面一個因式表示點（cos 2θ，sin 2θ）與點1312，0連線的斜率，點（cos 2θ，sin 2θ）在以原點為圓心、1為半徑的x軸上方的半圓上運動，作圖可知當連線與半圓相切時連線的斜率最小，解直角三角形可知此時連線的斜率為-1132122-1=-125，所以原式的最大值為-233×-125=835;（2）令83sin 2θ13-12cos 2θ=t，得83sin 2θ+12tcos 2θ=13t，由輔助角公式得sin（2θ+φ）=13t（83）2+（12t）2tan φ=12t83，故13t（83）2+（12t）2≤1，即（13t）2-（12t）2≤（83）2，所以t≤835。

再來看利用基本不等式的思路。首先，要讓學生認識到基本不等式的作用是在“和”“積”“平方和”的結構（形式）之間進行放縮，放縮之后如果得到定值，之前的式子就可能有最值。其次，可引導學生發現要求的二元函數8x0y025-4x20分子是二元的“積”，分母只有一元的“平方”，但結合已知的二元關系x206+y202=1，可變成二元的“平方和”，即8x0y025-4x20=8x0y025x206+y202-4x20=8x0y016x20+252y20。因此，可以把分子的“積”放縮成“平方和”，然后與分母的“平方和”約分得到定值;也可以把分母的“平方和”放縮成“積”，然后與分子的“積”約分得到定值。由此，學生便不難分別嘗試具體的解法（當然，采用前一思路時，會遇到給二元加上適當的系數，以使放縮后分子、分母中二元的系數對應成比例，從而可以約分的問題，教師可引導學生用待定系數法來配湊）：（1）8x0y016x20+252y20=8λx0·1λy016x20+252y20 ≤4λ2x20+41λ2y2016x20+252y20，令λ21λ2=16252，得λ2=153，代入得4λ2x20+41λ2y2016x20+252y20=453x20+203y2016x20+252y20=835;（2）8x0y016x20+252y20≤8x0y0216x20·252y20=835。

最后值得一提的是，要培養學生巧算（非按部就班地死算）的意識和能力，尤其是遇到容易出現繁難計算的解析幾何問題時。為此，一方面，要引導學生充分衡量運算量的大小，盡量選取運算量小的解題思路。如，解決該題第二問第一小問時，選擇消去x得到關于y的方程的路徑。另一方面，還要引導學生分析算式的結構特征，思考是否可以轉換表征、是否可以整體處理、是否可以先行約分或消去等，從而不斷優化運算過程。如，解決該題第二問第二小問，選擇分離常數以“降次”的方法時，對分母進行整體換元;選擇判別式法時，先“約分”;選擇三角換元方法時，轉換為幾何表征。