從數(shù)學(xué)抽象角度看平方根（1）的教學(xué)

沈卓

平方根是蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第四章第一節(jié)的內(nèi)容，第1課時(shí)主要解決平方根、開(kāi)平方的概念問(wèn)題。根據(jù)教材情境的創(chuàng)設(shè)，我們可以看出設(shè)計(jì)者的意圖，第三章學(xué)生剛剛學(xué)過(guò)勾股定理，這一節(jié)內(nèi)容以直角三角形算斜邊來(lái)引入，既體現(xiàn)了一種承上啟下的自然過(guò)渡，又凸顯了平方根的實(shí)用價(jià)值，解決了為什么要學(xué)的問(wèn)題。但在這節(jié)課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生還是經(jīng)常產(chǎn)生疑問(wèn)和混淆，比如：平方和開(kāi)平方的關(guān)系到底是怎樣的？因?yàn)槲覀冊(cè)谧鳂I(yè)中經(jīng)常遇到這樣的問(wèn)題，“2的平方是4”這句話是對(duì)的，但“4的平方根是2”這句話就錯(cuò)了，因?yàn)檫@種非對(duì)偶性，學(xué)生容易對(duì)這兩種運(yùn)算之間的互逆性產(chǎn)生疑問(wèn)。還有為什么要引進(jìn)根號(hào)這個(gè)符號(hào)？為什么只有非負(fù)數(shù)才有平方根？什么時(shí)候保留根號(hào)什么時(shí)候算出結(jié)果？諸如此類的問(wèn)題，很多時(shí)候都是草草而過(guò)，學(xué)生只知其然，而不知其所以然，核心素養(yǎng)并未得到提升。為了解決這些問(wèn)題，筆者根據(jù)徐利治、鄭毓信所著的《數(shù)學(xué)抽象方法與抽象度分析法》一書中數(shù)學(xué)抽象方法的若干原則，嘗試對(duì)這節(jié)課進(jìn)行思考和整合，通過(guò)幾個(gè)教學(xué)片段的分析，探尋方法論指導(dǎo)下概念課教學(xué)的方向。

一、符號(hào)意識(shí)促進(jìn)概念生成

教學(xué)片段1：

師：在課本94頁(yè)的圖4-1中，小方格的邊長(zhǎng)為1，你能算出圖中AB的長(zhǎng)嗎？

生：由勾股定理可得AB2=32+42=25，所以AB=5。（負(fù)舍）

師：那你能算出圖中A′B′的長(zhǎng)嗎？

生：可以算出A′B′2=41，但A′B′算不出來(lái)。

師追問(wèn)：為什么算不出來(lái)呢？

生：“A′B′不是整數(shù)。”“除不盡。”“不是有理數(shù)。”“表示不出來(lái)。”……

生：我會(huì)了。

師：那么，當(dāng)x2=41時(shí)，x等于多少？

師小結(jié)：很好，當(dāng)x2=41時(shí)，x叫做41的平方根，也稱為二次方根，顧名思義，這個(gè)方程涉及的運(yùn)算是平方（二次方）運(yùn)算，x也是這個(gè)方程的解（根）。

生：知道了。

師：那么x又等于多少呢？

生2：不對(duì)x也有可能不存在。

師追問(wèn)：為什么呢？

生：任何一個(gè)數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)a是一個(gè)負(fù)數(shù)的時(shí)候，x就不存在了。

二、辯證思維突出概念特征

教學(xué)片段2：

師：剛剛我們知道了什么是開(kāi)平方，為了研究它的特點(diǎn)，我們可以把它和什么運(yùn)算聯(lián)系起來(lái)？

生：平方運(yùn)算，它們互為逆運(yùn)算。

師：那么平方運(yùn)算有什么特點(diǎn)呢？

生：“任何一個(gè)數(shù)都可以平方。”“平方的結(jié)果都是非負(fù)數(shù)。”“有理數(shù)的平方還是有理數(shù)，無(wú)理數(shù)的平方可能是無(wú)理數(shù)，可能是有理數(shù)。”……

師：在此基礎(chǔ)上，請(qǐng)你思考開(kāi)平方的特點(diǎn)，它和平方運(yùn)算之間有哪些區(qū)別和聯(lián)系呢？（給學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間）

師：請(qǐng)你和組員分享交流你的發(fā)現(xiàn)，越全面越好。（給學(xué)生小組交流的時(shí)間）

師：說(shuō)說(shuō)你的發(fā)現(xiàn)。

生：“任何一個(gè)數(shù)都可以進(jìn)行平方，但只有非負(fù)數(shù)才能開(kāi)平方。”“平方運(yùn)算的結(jié)果只有1個(gè)，開(kāi)平方的結(jié)果可能有互為相反數(shù)的兩個(gè)（正數(shù)），也可能只有一個(gè)（0），也可能沒(méi)有（負(fù)數(shù)）。”“一個(gè)有理數(shù)的平方根可能是有理數(shù)，也可能是無(wú)理數(shù)，一個(gè)無(wú)理數(shù)的平方根還是無(wú)理數(shù)。”……

師小結(jié)：經(jīng)過(guò)剛才的討論和分享，相信同學(xué)們對(duì)開(kāi)平方的理解更加清晰了，平方和開(kāi)平方互為逆運(yùn)算，它們存在一定的聯(lián)系，但不是完全統(tǒng)一，在應(yīng)用的過(guò)程中不能靠想當(dāng)然來(lái)解決問(wèn)題，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎肌?/p>

在種種數(shù)學(xué)模式的探索、設(shè)計(jì)與建構(gòu)過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)力求按照簡(jiǎn)單性、統(tǒng)一性、對(duì)稱性和奇異性等審美標(biāo)準(zhǔn)去選擇目標(biāo)和方法，即抽象方法中提到的審美直覺(jué)選擇性原則。這種審美直覺(jué)的引導(dǎo)和培養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)科育人的一種重要體現(xiàn)。在初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，很多命題都會(huì)成對(duì)出現(xiàn)，容易令人形成一種思維的慣性（某種低層次的審美直覺(jué)），數(shù)學(xué)概念存在必然可逆性或必然對(duì)稱性。這其實(shí)也是導(dǎo)致平方根（1）這節(jié)課中為什么總是有孩子犯這樣的錯(cuò)誤，即他認(rèn)為4的平方根只有2，因?yàn)榈惯^(guò)來(lái)2的平方是4是正確的。所以我們?cè)诮虒W(xué)中要注意，審美直覺(jué)是需要培養(yǎng)的，沒(méi)有這種直覺(jué)，學(xué)生就會(huì)缺乏思考問(wèn)題的方向，但在審美直覺(jué)的引導(dǎo)下，我們不應(yīng)想當(dāng)然，而應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地去培養(yǎng)一種辯證的思維。在平方根（1）這節(jié)課的教學(xué)中，我們可以先鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)聯(lián)系過(guò)往經(jīng)驗(yàn)去發(fā)現(xiàn)平方和開(kāi)平方的互逆性，再根據(jù)逆向分析精確化原則，即在數(shù)學(xué)的研究中，應(yīng)當(dāng)注意通過(guò)命題及其逆命題的綜合分析更好地把握有關(guān)概念的本質(zhì)特性，并最終建立有關(guān)概念的嚴(yán)格定義，通過(guò)分析它們之間的聯(lián)系和差異去發(fā)現(xiàn)開(kāi)平方的特性并使得這種特性被反復(fù)強(qiáng)化，那這節(jié)課的重難點(diǎn)也就解決了。這一過(guò)程也是一種強(qiáng)抽象思想的體現(xiàn)，利于學(xué)生構(gòu)建知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

三、細(xì)節(jié)突破加深概念理解

師：沒(méi)錯(cuò)，在乘方運(yùn)算中，乘方既表示運(yùn)算又可能表示冪。根號(hào)這個(gè)符號(hào)既可以表示開(kāi)平方這種運(yùn)算，在一些結(jié)果是無(wú)理數(shù)的情況下，又可以表示結(jié)果。區(qū)分清楚根號(hào)的作用有利于我們正確地理解式子的含義，找出正確的答案。

類比聯(lián)想在教學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，如學(xué)習(xí)了一元一次方程的定義就可以推出一元二次方程的定義。而因?yàn)閷W(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)研究了它的定義、圖象、性質(zhì)、應(yīng)用，所以學(xué)習(xí)二次函數(shù)時(shí)也可以從這幾個(gè)角度去研究，這就是一種思維方法的類比了，就需要教師有意識(shí)地去引導(dǎo)和培養(yǎng)。在這節(jié)課中有一點(diǎn)值得細(xì)究的內(nèi)容，即對(duì)根號(hào)的理解，根號(hào)不僅能用來(lái)表示一個(gè)數(shù)的平方根作為結(jié)果存在，還能代表開(kāi)平方這種計(jì)算，而這種細(xì)節(jié)的問(wèn)題其實(shí)是很多老師在教學(xué)中忽略的。為了更好地理解這種雙重性，我們可以將開(kāi)平方與之前學(xué)過(guò)的乘方運(yùn)算進(jìn)行類比，它們都身兼運(yùn)算、結(jié)果的雙重身份。明確了根號(hào)的意義就能讓學(xué)生正確列式或者正確理解式子的意思，在很大程度上能解決學(xué)生在求平方根時(shí)混淆不清，經(jīng)常漏解、多解、化簡(jiǎn)有疑問(wèn)的情況。所以，我們的概念課教學(xué)應(yīng)在概念的細(xì)節(jié)上多琢磨，練習(xí)則可以適當(dāng)精簡(jiǎn)，教學(xué)效果可能會(huì)更好。

我們?cè)谶@一教學(xué)過(guò)程中用到的建模、類比、逆向思考等思想方法在日常教學(xué)中常常用到，初中階段的學(xué)生對(duì)這些思想方法的認(rèn)識(shí)是模糊的，而教師則是有這樣的意識(shí)但很難教給學(xué)生，大部分人都不清楚這些都是數(shù)學(xué)抽象的體現(xiàn)。其實(shí)數(shù)學(xué)抽象既是解決問(wèn)題的手段，又是需要培養(yǎng)的能力，它非常“抽象”，所以我們更需要相應(yīng)的方法論的指導(dǎo)。而由于概念與抽象不可分割的特性，概念課就是應(yīng)用和培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力的最佳陣地，兩者相輔相成。借助數(shù)學(xué)抽象的方法和原則去審視概念課的教學(xué)應(yīng)成為概念課教學(xué)的一個(gè)新視角，讓概念課脫離僵硬生成、練習(xí)強(qiáng)化的老套路，真正培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

徐利治，鄭毓信.數(shù)學(xué)抽象方法與抽象度分析法[M].南京：江蘇教育出版社，1990.