認識隨機，把握生活

摘要：《醉漢的腳步——隨機性如何主宰我們的生活》這本書既像一部精彩紛呈、跌宕起伏的好萊塢大片，又是一部回味悠長、發人深思的概率論科普著作，更是“跨學科綜合與實踐”案例的豐富呈現。閱讀這本書，可以充分感受到：世界既是確定的，又是隨機的%直覺常常是不可靠的，邏輯始終是無疑的;通過生動的故事，可以領悟概率論的核心概念、基本思想。由此啟示概率與統計的教學，讓學生更多地接觸自然界甚至人類社會中的大量案例，從隨機性的角度，用數學的方式觀察、思考、表達，向學生滲透由案例體現的深刻的概念本質、思想方法，特別是關于平均數、用頻率估計概率、因果關系與相關關系、條件概率與全概率公式等的概念本質、思想方法。

關鍵詞：《醉漢的腳步》隨機與生活;概率與統計;科普;教學

兩年前，北京師范大學統計學院趙楠教授推薦了《醉漢的腳步——隨機性如何主宰我們的生活》這本書，我即刻被它吸引。這兩年常常看、反復看，每次都有新的收獲。下面，先概述這本書的內容，再分享我閱讀這本書的感悟。在此基礎上，談談對概率與統計教學的一些思考。

一、內容概述

可以這樣說，這本書既像一部精彩紛呈、跌宕起伏的好萊塢大片《醉漢的腳步》，又是一部回味悠長、發人深思的概率論科普著作《隨機性如何主宰我們的生活》。

說其像好萊塢大片，是因為作者做過好萊塢大片的編劇，特別會講故事，講的故事很生動、畫面感很強。就算是門外漢，也容易被故事的構思、情節所吸引，不知不覺地深人隨機性的世界中，在作者的娓娓道來中感受什么是隨機、如何認識隨機、如何理解隨機、如何解釋隨機，辯證看待隨機與確定的關系。

說其是概率論科普著作，是因為這本書講述的是概率論的核心概念、基本思想和重要方法，以及它們發生和發展的脈絡。作者通過極其簡單的計算、易于理解的推理，表達隨機、解釋隨機，融隨機性于生活的諸多方面，給我們提供關于自然界甚至人類社會的世界觀和方法論，教我們如何透過隨機性的目鏡審視世界。

也完全可以說，整本書就是“跨學科綜合與實踐”案例的呈現，書中的案例來自生活的方方面面。

毫不夸張地說，這是目前我看到的最好的一本概率論科普著作。它是部經典，很難超越，只會歷久彌新。雖然具有高中程度的概率知識就能看懂這本書，但是完全理解需要一定的時間和過程。讀懂這本書，定能真正認識隨機，并能讓有關內容的教學更生動、深刻。

這里順便說一下作者列納德·蒙洛迪諾。他是理論物理學家（看過很多數學科普著作后，我想很多人可能會有這樣的印象：理論物理學家的數學科普著作往往比純粹數學家的數學科普著作更生動、深刻'任教于美國加州理工學院。他經歷豐富，著述頗豐，有《歐幾里得之窗——從平行線到超空間的幾何學故事》《思維簡史——從叢林到宇宙》等，并與霍金合著《時間簡史（普及版）》。這些書都值得讀一讀。

二、閱讀感悟

（一）世界既是確定的，又是隨機的

學習任何一門學科都需要一定的世界觀、方法論，都需要關于這門學科的認識論，學習概率與統計尤其如此。與代數、幾何研究數、形不一樣，概率與統計研究隨機現象，處理隨機數據，盡管方法是演繹的，但推斷過程是歸納式的。這與代數、幾何是完全的演繹科學有很大的不同。所以，認識概率與統計的哲學基礎既是重要的，更是必需的。

觀察世界、表達世界、思考世界、解釋世界，是人類認識世界的具體表現。正如《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》和《義務教育數學課程標準（2022年版'中提到的“三會）會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。看待現實世界的視角是多元的，而且是隨著時空變化的，很難有絕對一成不變的視角，也很難有隨時隨地變化的視角。視角具有一'定的確定性，也有一'定的隨機性。整體上可以認為，確定性是主旋律，但隨機性又不可或缺。

偶然與必然、原因與結果，是唯物辯證法的研究范疇，也是我們認識現實世界確定性與隨機性的最大視角。

回顧科學史，我們不難發現，因果關系的決定論是牛頓時代的產物。拉普拉斯對其進行了提煉和升華，他的“決定論”是這樣表述的！世界的當前狀態，精確地決定了它未來的發展方向。假如一個智能體，在一個給定的時刻，知道了所有使世界運行的力，以及世界的每一個組成體的位置;進一步地，如果該智能體足夠強大，以至能對這些數據進行分析，它就可以用同一個方程將宇宙中最大之天體及最小之原子的運動皆囊括其中：對于這個智能體而言，沒有什么是不確定的，而未來就如同過去一樣，呈現在它的眼前。”而我們知道，真正促使拉普拉斯作出這一番表達的恰恰不是決定論，而是隨機性。那時的科學家強烈地感受到隨機在科學觀察、科學實驗中的巨大作用以及人類自身認識的局限。正如這本書所述：

如果將決定論應用到我們的日常生活中，那么它意味著我們將生活在這樣一個世界：在這個世界上，個人的素質以及任何形勢或環境的性質，都將以直接而毫不含糊的方式導致精準的后果。這是一個有序的世界，其中的任何事情都能被預見，并能通過計算求得。但拉普拉斯的夢想要成真，必須滿足幾個條件。首先，自然定律本身必須能夠給出一個確定的未來，而且我們必須掌握這些定律。其次，我們必須獲得那些完全描述了我們感興趣的系統的數據，而且不允許有任何不可預見的因素。最后，我們必須有足夠的智慧或計算能力，能根據已知的數據描述現在的數據，能通過定律計算它所確定的未來是何等模樣。①

統計學家C.R.勞從另外一個角度闡釋對確定性與隨機性的理解：“如果世界上的一切都是確定的，這個世界會是索然無味的;相反，正是充滿隨機性，這個世界才具有多樣性，人類的生活才豐富多彩。”同樣地，這本書中有如下表述！

在回顧生命中那些重大事件的細節時，我們不難發現這類看似無足輕重卻導致巨大改變的隨機事件的存在。

與人類自身和人類社會有關的決定論，無法滿足那些拉普拉斯暗指的可預測性所需的條件。之所以如此，原因有以下幾點。首先，就目前所知，人類社會不像物理學那樣，由明確而基本的定律主宰。恰恰相反，人類的行為正如卡尼曼和特沃斯基一再證明的那樣，不僅無法預測，而且（從行為違背自身最大利益的意義上來說）常常是非理性的。其次，即使我們能夠像凱特勒所希望的那樣，發現主宰人類活動的定律，我們也不可能精確獲知或控制生活中的各種因素。也就是說，我們跟洛倫茲一樣，無法得到預測所需的精確數據。第三，與人有關的事情是如此復雜，因此，哪怕我們真的了解了這些定律，獲取了這些數據，能否完成必要的計算也是存疑的。因此，決定論對于人類活動而言，是一個很糟糕的模型。或者按諾貝爾獎獲得者馬克斯·玻恩的話來說：“相比于因果性，偶然性是一個更加基本的概念。”

“醉漢的腳步”是隨機過程的科學研究中所使用的一個基本模型。不過，它同樣為我們的日常生活提供了合適的模型，因為就像懸浮在布朗流體中的花粉微粒那樣，我們也不斷地被隨機事件推動，先是走向這個方向，然后又通往那個方向。雖然我們在社會學數據中可以發現統計規律，但是對于某個具體的個人而言，未來仍然是無法預測的。對于某個具體的成就、工作、朋友或財政狀況等，機遇所占的功勞比許多人能認識到的還要大。接下來，我將進一步說明，現實生活中除了一些最簡單的情勢，我們都無法躲開那些不可預見或無法預測的力量。正是這些隨機力量的影響，以及我們對它們作出的反應，塑造了我們大部分的生命之路。！

（二）直覺常常是不可靠的，邏輯始終是無疑的

我們來看這樣一個問題：連續拋擲一枚質地均勻的硬幣6次，出現下面哪一種情形的概率比較大？“反反反反反反”“正反反正反正”。我相信，很多人的直覺告訴他們，每次都出現反面的機會太小了，而出現“正反反正反正”的機會要大一些——尤其是后者出現正面、反面的次數恰好各占一半。實際上呢？邏輯告訴我們，出現兩種情形的概率都是"，也就是機會相等。

上述問題告訴我們，直覺（經驗）常常與邏輯沖突，尤其是在認識隨機時。正如英國數學家Kapadia指出的那樣：“在概率論中，無論是概念還是比較簡單的應用，到處都有令人困惑不已和違背直覺的說法。”"

邏輯始終是無疑的，而直覺（經驗）常常并不可信，這是一條顛撲不破的永恒真理。因此，必須用邏輯來認識隨機，只有這樣，才能使我們更好地糾正直覺（經驗），更理性地把握隨機。正如作者在這本書前言中所述：

人類的直覺不適合處理涉及不確定性的情勢，這一事實遲至20世紀30年代就已為人所知。當時，研究者發現，人們既不能構造一個通過隨機性檢驗的數列，也不能可靠地分辨某個給定數列是否是隨機的產物。一個新的學術領域在過去幾十年里逐漸浮出水面。這個領域研究的是，當信息不冗整或不冗美時，人們如何進行判斷與決策。研究證明，一旦偶然性牽涉其中，人們的思維處理通常就會表現出嚴重的缺陷。這些研究工作綜合了許多學科，如數學與傳統科學，乃至認知心理學、行為經濟學以及現代神經科學。?

拖著人類的直覺破浪前行，是一件困難的事。人類大腦本來的設計，就是要給每一事件找出確定的理由，因此它難以接受無關或隨機因素造成的影響。要克服這一困難，我們首先就要認識到，成敗有時并非來自過人的能力或無能，而是來自如經濟學家阿爾欽所說的“幸運的環境”。隨機過程就本性而言非常普通，在日常生活中也無所不在，但大多數人并不了解它，或者很少想到它。④

回憶我們學習隨機、經歷隨機的過程，相信很多人都有過這樣的體會：直覺的隨機并不是真正的隨機，只有理性化，付諸邏輯，才能真正認識隨機;讓理性的隨機戰勝本能的認識并不容易，要將錯誤的原始直觀轉化科學的二階直觀'，這是一個長期的過程。

（三）通過生動的故事，領悟概率論的核心概念、基本思想

數學來源于生活，又應用于生活，概率論尤其如此。生活（現實）就是一個個故事，因此，科普作者（數學教師也是如此）要用通俗、生動的語言講好關于數學來源與應用的生活故事，使原本冰冷的形式表達、枯燥的符號運算變為引人人勝的火熱思考，讓讀者（學生）沉浸其中，感悟本質規律，體會思想方法。

講好故事是本事，會講故事的人是真正的“使人明白的明白之人”：要想讓讀者（學生）明白，首先必須自己明白;只有把讀者（學生）講明白了，才說明自己真正明白了。很多讀者（學生）之所以不明白，在很大程度上，可能是作者（教師）自己沒有真正明白，沒有講好屬于讀者（學生）也屬于自己的故事。

這本書中，關于概率論（隨機性）的生動故事比比皆是，包括作者對自己家庭生活跌若起伏的描述。這里僅舉兩例。

一是“數學期望的故事”

20世紀60年代中期，一名90多歲高齡的法國婦女讓娜·卡爾梅，因急需生活費而跟一個47歲的律師做了筆交易：她將自己的公寓低價賣給律師，律師則按月給她提供生活費，直到她過世。等到了那一天，她橫著出去，律師豎著進來。律師肯定知道卡爾梅女士的壽命已超出法國人期望壽命達10年之多。不過，看來他大概并不了解貝葉斯定理，所以也不知道他所了解的這位女士在超過預期壽命的10年中去世的概率其實跟這筆買賣沒啥關系，而真正跟買賣有關的，是在這位女士已經活到90歲的前提下，她的期望壽命大概還有6年。不過即便如此，律師也覺得這筆買賣不必擔心會虧本。因為他相信，不管是哪個女人，如果她十來歲時就已經在父親的店中遇見過文森特.凡高，那么他完全有理由相信，她跟凡高的再次會面一定用不了多長時間。

（據說該女士認為我們的大藝術家“邋里邋遢，穿衣沒品，惹人討厭”。）

果不其然，在10年后，律師不得不另找一處住所棲身，而讓娜則用自己良好的健康狀況慶祝了她的第100個生日。盡管這時她的期望壽命只有差不多2年，但靠著律師的奉養，她又度過了110歲的生日，而律師已經67歲了。再過10年，律師漫長的等待終于到了頭，卻是他沒有猜中的結局。1995年，律師去世了，讓娜還活著。她自己的那一日最終于1997年8月4日到來了，這時她已是122歲高齡，比律師的壽命多了整整45個年頭。①

這個故事曲折動人，生動形象地說明了單個個體的期望壽命以及命運是無法被預計的。只有從大群體采集數據，并在大規模數據上進行總體分析，具有規律性的模型才會浮現出來。

二是“正態分布的故事”

正態分布描述了許多系統中，系統的表現圍繞某中心值發生改變的行為方式，這個中心值就代表了系統最可能的輸出值。在《概率的哲學導論》一書中，拉普拉斯聲稱，這個新的數學分支能用于評判法庭證言、預測結婚率、計算保險費等問題。

（拉普拉斯構想的繼承和發揚者）凱特勒回到布魯塞爾后，開始搜集和分析人口統計數據，并很快將注意力集中在法國政府于1827年開始發布的犯罪活動記錄上……他不僅觀察了數據的平均值，還仔細研究了它們與平均值之間的偏離情況。不管研究對象是什么樣的，凱特勒都遇到了正態分布……他還發現一種現象，那就是一組數據的分布與正態分布之間的偏離，本身可能意味著一些不為人知的信息。在10萬名年輕法國人的身高數據中，當把準備應征入伍的士兵的數量與他們的身高進行對比時，所得的鐘形曲線是扭曲的：身高剛剛超過5英尺2英寸的人數比鐘形曲線所預測的數量要少很多，而恰好小于這個身高的人數又太多了，就好像后者的出現是為了補償前者的不足。凱特勒論述道，這多出來的約2200個“矮子”的差異，應該是造假或善意的捏造造成的，因為身高不到5英尺2英寸的人可以免服兵役。

幾十年后，偉大的法國數學家亨利·龐加萊，用凱特勒的方法逮到一個欺騙顧客的面包師。龐加萊每天都要買一條面包，買回來后，他會給面包稱一下重量，結果發現這些面包的平均重量大約為950克，而非廣告中所稱的1000克。他向管理部門投訴了此事。之后，他買到的面包變大了些。可他還是覺得有什么地方不太對勁。憑著只有著名學者或至少是獲得了終身教職的人才有的耐心，他在接下來的一年中，每天都仔細地稱量面包。盡管這些面包現在的平均重量十分接近1000克，但如果這個面包師的確是老老實實地隨機挑出一條面包賣給他，那么比這個平均重量更重些或更輕些的面包，其數量應按誤差定律的鐘形曲線逐漸減少。可龐加萊發現，他的面包里偏輕的比例太少，而偏重的相應過多。龐加萊由此得出結論，那個面包師其實并沒有停止制作缺斤少兩的面包，只不過總是拿手頭最大的一條面包打發他罷了。警察再次造訪了騙人的面包師，據報道所言，他表現出可想而知的震驚，并不出所料地同意改正自己的行為。！

這些以數學史為脈絡呈現的數學家故事不僅生動有趣，而且充分展現了正態分布是如何被發現的以及有什么用。

生動的故事使概率論的核心概念與規律、基本思想與方法的發生和發展脈絡成為豐富實踐（案例）大海、天空中的魚兒、鳥兒，任意遨游、自由飛翔。我們不妨簡單羅列一下故事支撐和串聯起來的有關知識和歷史！古典概型，事件的獨立性，概率的加法與乘法;卡爾達諾，《機遇博弈》，樣本空間，“三門問題”費馬、帕斯卡，計數方法、數學期望;本福特定律，惠更斯、伯努利，大數定律與小數定律;事件的相關性，條件概率，假陽性、假陰性，先驗概率、后驗概率，貝葉斯公式;棣莫佛、拉普拉斯、高斯，二項分布，正態分布，中心極限定理;各朗特，威廉·配第，凱特勒，高爾頓，皮爾遜;統計，相關，回歸，檢驗;費歇爾，顯著性檢驗……

這些概率與統計的主要知識內容反映的主要思想方法是從卡爾達諾以來幾百年人類智力活動的結晶。每個知識背后都是人類豐富的實踐，都有講不完的故事。學習這些知識的我們是幸運的，可以在一年甚至更短的時間跨越前人百年的艱苦探索。

讀完這本書，你會發現作者的多面：故事大王，深厚的歷史文化知識，幽默、詼諧且有時帶點戲譫、調侃的語言表達，敏銳的觀察，豐富的想象……以及極其理性的智者。當然，作為讀者，感受隨機與生活的關系，認識（理解）隨機永遠是第一位的。唯此，才能把握生活。毫無疑問，生活中有很多我們想控制但無法控制的事情，有些事情的發生是必然的，而有些是隨機的。隨機如影隨形，雖然不確定，但是可以認識。在這個意義上，隨機不是生活的主宰。相反，如果我們不能科學、準確、全面、客觀地認識隨機，隨機真的就會主宰我們，使我們無法控制自己。就像高爾頓板上的一個個小球，盡管整體上小球的結局具有規律性，但是每個小球只能隨著一次次撞擊隨機游走。我想，這可能就是作者給這本書起的副標題的“意有所指”之處：認識隨機，不被它主宰。

需要指出的是，全面概括這本書，闡述閱讀感悟，極其困難，幾乎是不可能完成的任務，因為這本書字字珠璣、句句真經，完全表其主旨，只能全書照搬。真誠地希望無論是教師，還是大眾，特別是高中及以上的學生，都來讀讀它。你肯定受益終生！

三、對概率與統計教學的啟示

概率與統計都是研究隨機的科學，概率研究隨機現象，統計研究隨機數據。兩者之間有明顯的不同：一般來說，概率是在總體概率分布已知的情況下，研究總體中樣本的概率分布;而統計是在總體未知的情況下，通過抽樣獲得樣本數據來估計總體中的參數或總體的概率分布。兩者之間又有緊密的聯系：概率理論的建立需要大量的統計事實，而用樣本估計總體的統計方法需要在一定的概率意義指導下才能行之有效。從這個意義上說，概率與統計是不折不扣的“一枚硬幣的正反面”——互相依存才能成為一個整體。

目前，統計與概率已成為基礎教育階段數學學科中同數與代數、圖形與幾何等并駕齊驅的主要內容。學生學習這部分具體知識并不困難，但要理解其思想方法，運用思想方法描述、解釋自然界、人類社會的現象，并不容易。現實生活中，我們常常忽視隨機的作用。這樣的例子比比皆是。比如，運動員在一次比賽中取得超出平時的好成績，是平時很少出現的結果在一次隨機試驗中發生了，而不是什么諸如神啟、超人能力等因素的作用。同樣，平時成績很好、基礎非常扎實的一位學生在一次考試中成績不如意，但下次考試完全可能是另外一個結果，因為考試是對學生能力的一種測量，這種測量因為試題的不同、學生的發揮等隨機因素產生不同的結果，而不是個人能力出了什么問題。

概率與統計研究的邏輯是定量化，工具是數學知識，通過運算、推理等獲得結論。它處理的是生活中大量的實際問題（解釋、預測現實情況，幫助人們作出決斷），包羅萬象，是一門不折不扣的“綜合與實踐”學科。因此，概率與統計的教學，除了利用教材中的標準例子幫助學生理解概念、鞏固知識之外，還要讓學生更多地接觸自然界甚至人類社會中的大量案例，從隨機性的角度，用數學的方式觀察、思考、表達。基于教材，教師閱讀此書，可以把其中的案例，特別是由案例體現的深刻的概念本質、思想方法，通過教學滲透給學生;學生閱讀本書，可以開闊視野，加深對教材中知識內容的理解。

下面通過一些具體問題，說明概率與統計（主要是概率）教學中特別需要注意的概念本質、思想方法。

第一，關于平均數。計算平均數，無論算術平均數、幾何平均數，還是加權平均數、調和平均數等，都不難。但是理解平均數的意義，需要經歷較長的過程。

以算術平均數為例來說明。從運算的角度看，算術平均數就是數據求和除以數據的個數，學生在小學階段就會計算，但是解釋它的意義并不容易。很多人肯定會說，平均數是一組數的代表，表示數據的集中趨勢。但進一步問：數據集中趨勢的意義是什么？很多人可能答不上來。這需要一定的功底和深人的思考。我的理解是，要從代數、概率、統計三個角度認識它。代數角度：任何一個數據與平均數作差，所有差的代數和為0，這是它的代數意義。概率角度：一般來說，如果數據符合或近似符合正態分布，數據在平均數附近的可能性最大，這是它的概率意義。統計角度：數據與平均數的差的平方和最小，也就是平均數是由最小二乘法得到的;方差也是某種平均數，表示的是數據與平均數的“平均距離”。

第二，關于最大可能性與用頻率估計概率。概率是隨機事件固有的屬性，無論是否能夠求出，它的真值都是客觀存在的。而且，在概率的意義下，任何事情的發生都是基于最大可能的。這是最基本的認識，是直觀（經驗'是基本事實，沒法證明。例如，拋擲硬幣100次，正面朝上出現0—100次都有可能。

已知或假定每次拋擲正面朝上的概率之后，100次拋擲正面朝上的次數及其概率可以用二項分布嚴格刻畫。當拋擲次數越來越多，如1000次、10000次……時，二項分布逐漸趨近于正態分布。而且，直觀（經驗）告訴我們，每次拋擲正面朝上的概率是0，100次拋擲正面朝上的次數是50的可能性最大。

雖然概率是隨機事件的固有屬性，但是在很多（尤其是比較復雜的）情況下，我們無法通過數學模型推理、計算出其發生的概率。這時，根據概率的最大可能性意義，我們可以用頻率估計概率。下面我們從一般性的角度看這個問題。在一次隨機試驗中，隨機事件A發生的概率為p，那么在n次獨立重復試驗中，隨機事件A出現&次（0<々

同樣地，在簡單隨機抽樣中，我們常常講樣本的代表性，也就是每個個體等可能地被抽到。只有等可能地被抽到，才能保證樣本的數據分布與總體分布相似的可能性最大。注意，此處說的是可能性。實際上，有抽到極端數據的可能性，也就是樣本不具有代表性的可能性。

第三，關于大數定律與用頻率估計概率。與概率的真值相比，用頻率估計的概率有多接近呢？我們對這樣估計得到的概率的正確性，又應該抱有多強的信念呢？這實際上是與之緊密相關的另外一個問題：我們的觀測結果能以多高的準確度來體現造成這些結果的概率的真值呢？雅各布·伯努利認為，我們有理由期望，隨著試驗次數的增加，實際觀測到的各種結果出現的頻率，能越來越精確地體現概率的真值。那么，要通過觀測結果估計概率，我們至少需要做多少次實驗？我們對這樣得到的結果的正確性，又抱有多大的把握呢？舉一個簡單的例子：

袋子里有100個除顏色外其他都相同的小球，其中白球60個，黑球40個。有放回地抽取100次。

（1）抽到58%—62%的白球機會有多大？59%—61%呢？

（2）如果是1000個或100萬個小球，那么對結果的信任又能增加多少？

我們當然永遠沒辦法100%確信這樣做得到的結果，但是我們能否足夠多次地抽取小球，從而有99.9999%的把握，保證抽到白色小球的比例在59.9%—60.1%之間？大數定律就是用來解決諸如此類的問題的。

在應用大數定律之前，我們需要做兩個假設。首先，給定一個可容忍的誤差范圍。大量試驗的結果與理論上的60%這一比例應該有多接近呢？我們必須指定一個接近的范圍，比如60%±1%或2%或0.00001%。其次，必須明確對不確定性的容忍度。我們永遠無法100%確定試驗會給出我們想要的結果，但是我們有把握做到，比如在100次試驗中獲得99次滿意的結果，或者在1000次試驗中有999次結果是滿意的。

大數定律指出，我們總能夠通過足夠多次地取出小球，保證幾乎確定所得的白色小球比例接近60%，而不論“幾乎確定”和“接近”的定義是何等嚴苛。而且，在給定了這個“幾乎確定”和“接近”的具體數值后，大數定律還能給出用來計算這個“足夠”次數的數學公式。當然，盡管大數定律能給出一個足以滿足任何要求的置信度與準確度的試驗次數，但這并不意味著不能通過更少的試驗來達到同樣的目標。

無論高中還是初中，教學“用頻率估計概率”的內容時，教師都應引出上面這些問題，講清楚上面的問題，哪怕不是完全的形式化、嚴密的推理，只是講述其中的道理，從而讓學生真正明白頻率與概率之間這種隨機、確定的關系。這個問題清楚了，概率與統計最基本的思想方法就豁然開朗了。

第四，關于因果關系與相關關系。我們知道，因果關系是一類重要的關系，主要表現就是邏輯推理，邏輯推理是構建科學大廈的基礎。但是，對因果關系中因與果的認識，有時存在認知顛倒，即分不清什么是因、什么是果，而且不以為然。這不是危言聳聽。比如，蒙洛迪諾做過幾年好萊塢編劇，那么他是因為做過好萊塢編劇，才會講關于隨機性的生動故事呢，還是因為會講故事，才被好萊塢看中做編劇呢？再如，招聘單位招聘人員時非常重視學生的教育背景，看到學生是“北清”畢業，常常認為他們非常優秀，但是實際上，真正的原因是他們非常優秀，才能進人“北清”。

同樣地，生活中常常把檢查結果為陽性從而判斷患病的概率與患病后檢查結果為陽性的概率混為一談。這不僅出現在普通民眾中，有時也出現在一些專業人士中。其實，檢查結果為陽性從而判斷患病的概率，通常遠遠小于患病后檢查結果為陽性的概率。例如，大量資料表明，群體中患某種疾病的概率是一個確定的值，而體檢結果的準確率為90%，也就是說100個正常人中通常會查出10個陽性（假陽性'100個患病者中通常會查出10個陰性（假陰性'如果群體中患這種疾病的概率較小，那么由貝葉斯公式，或者通過簡單的頻率計算，容易得出，在體檢結果為陽性的前提下，患這種疾病的概率其實很小。這種對相關性的錯誤認識常常與對因果關系的錯誤認識有關。

第五，關于條件概率與全概率公式。在概率的問題中，我們還經常遇到有放回抽樣與不放回抽樣。有放回抽樣相對簡單，理解通常不會有問題。而不放回抽樣理解起來并不容易。比如下面這個問題！

3張撲克牌中有1張中獎牌，甲、乙、丙三人不放回地依次抽取，求甲、乙、丙三人中獎的概率各是多少。

很多人直覺上認為，先抽的人中獎的可能性大，最后抽的人中獎的可能性小。實際上，無論運用古典概率模型，還是以條件概率為基礎的全概率公式，理性邏輯告訴我們，甲、乙、丙三人中獎的概率相等，都是1。我們詳細地分析一下：

古典概率模型的角度。假設3張撲克牌為A、B、C，它們的排列方式共有6種，即ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。可見，3張牌在第1、2、3個位置都有2種可能，在所有的6種可能中都占1。所以，甲、乙、丙三人不論按什么順序，不放回地依次抽取，抽中任何一張牌的可能性都是1，自然抽中中獎牌的概率也是1。

全概率公式的角度。甲抽中中獎牌的概率是3。乙抽牌的情形有兩種：一種是甲中獎的前提，另一種是甲沒有中獎的前提。因此，乙中獎的概率是上述兩種情形的概率和！

一個是0;另一個是甲沒有中獎的概率3乘乙中獎的概率1，即3。同樣地，丙只有在甲、乙都沒有中獎的情況下才能中獎，因此，丙中獎的概率是音x1x1=1。

類似的問題還有很多（如經典的“三門問題”）。這類問題充分說明，直覺可以幫助我們發現問題、提出問題，但真正分析問題、解決問題還需要邏輯的強大力量。在某種程度上，直覺與邏輯也可以看作一枚硬幣的兩面，相依為伴，共同戰斗，幫助人類更好地認識（理解）世界，把握世界。

（張勁松，人民教育出版社課程教材研究所，編審。）