怎樣進行有效的啟發式教學

張海濤

[摘? 要] 啟發式教學是人類教育思想的精華，但在當今的課堂教學中，相當一部分教師對啟發式教學的理解還存在偏差. 在課堂教學中采用啟發式教學，教師應抓住問題的啟發時機，善于利用知識的啟發原型，準確把握教師的啟發力度，從而啟迪學生積極思考，使得學生的數學思維得以發生和發展.

[關鍵詞] 啟發式教學;啟發原型;教學原則;尺規作圖

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出“教師教學應該以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎，面向全體學生，注重啟發式和因材施教”“教師應成為學生學習活動的組織者、引導者、合作者，為學生的發展提供良好的環境和條件”. 這里，教師的組織作用強調教師應該“選擇適當的教學方式，因勢利導、適時調控，努力營造師生互動、生生互動、生動活潑的課堂氛圍，形成有效的學習活動”;教師的引導作用強調教師應該“通過恰當的問題，或者準確、清晰、富有啟發性的講授，引導學生積極思考、求知求真，激發學生的好奇心”;教師與學生的合作作用強調教師應該“以平等、尊重的態度鼓勵學生積極參與教學活動，啟發學生共同探索，與學生一起感受成功和挫折，分享發現和成果”. 《義務教育數學課程標準（2011年版）》同時闡述了“實行啟發式教學有助于落實學生的主體地位和發揮教師的主導作用. 教師富有啟發性的講授;創設情境、設計問題，引導學生自主探索、合作交流;組織學生操作實驗、觀察現象、提出猜想、推理論證等，都能有效地啟發學生的思考，使學生成為學習的主體，逐步學會學習”[1]. 這些內容都在向教師傳遞一個信息，那就是在課堂教學中，教師應十分重視啟發式教學的重要性. 但是，在當今的課堂教學中，相當一部分教師對啟發式教學的理解還存在偏差，例如有的教師重外在的實際情境啟發，而輕內在的內部情境啟發;重課堂中提問的數量，而輕課堂中提問的質量;重問題結果的啟發，而輕思維過程的啟發. 下面，筆者就“作一個角等于已知角”的教學設計，談一談怎樣進行有效的啟發式教學.

啟發式教學的教學設計

（一）教材分析

本節課選自蘇科版七年級上冊第六章第二節“角”的第2課時. 第六章包含三部分內容，即線段、射線及直線的概念、表示與性質，角的概念、表示與性質，直線平行與垂直的概念、表示與性質. 本章屬于幾何學的入門章，旨在通過對最基本的幾何圖形的概念與性質的探討，體驗研究幾何圖形的思考路徑“為何需要—是什么—如何表示—有何性質”，以及研究幾何圖形的一般方法“觀察操作—探索猜想—說理證實”. 線段實際上反映了兩點之間的分離及分離程度，角實際上反映了兩條相交直線之間的分離及分離程度，平行實際上反映了兩條平行直線之間的分離及分離程度. 本節課的內容是兩角大小關系中相等關系這一概念模型的運用. 學生在小學階段已經學習過三角尺、量角器及其應用，在線段的學習過程中也初步接觸了圓規的使用，且學生已初步理解和掌握了線段及角的定義、表示方法、大小比較、度量以及和差關系等相關知識，本節課是上述知識的延續，要為接下來學習余角、補角及對頂角的相關知識奠定基礎. 八年級學生在“軸對稱圖形”的學習中還會學習尺規作圖，與本節課所講知識相關，因此本節課在整個教材體系中有著承上啟下的重要作用.

（二）學情分析

學生在小學階段已經學習過用三角尺以及量角器畫一些特殊度數的角，在“角”的第1課時學習中，他們積累了利用直尺和圓規作一條線段等于已知線段的經驗，但對于如何作一個角等于已知角（任意度數），他們操作起來仍然存在困難. 他們迫切地想知道如何解決這一問題，所以本節課的內容處在學生的最近發展區，教師可以通過類比量角器畫角，引導學生觀察、探索、交流、歸納出“用直尺和圓規作一個角等于已知角”的作法步驟，使得“角的作法”自然形成. 此處將學生的相關學習經驗和學習方式進行了遷移，將學生的原有認知作為新知的生長點.

（三）教學流程

如圖1所示.

（四）教學過程

1. 類比舊知，引出新知

讓學生觀察手中的工具包，并啟發他們回顧舊知：

（1）利用這些熟悉的工具，你能畫出哪些基本的幾何圖形？

（2）我們研究了角的哪些知識、線段的哪些知識？

（3）類比線段的探究過程與研究方法，猜一猜本節課我們將研究角的什么知識.

設計意圖教師先行組織，以學生原有的認知作為新知的生長點和研究工具，以問題串的形式來啟發、驅動教學，自然地引出本節課的探索目標，即作一個角等于已知角.

2. 探究問題，尺規建構

【活動一：用直尺作角】

（1）用一把直尺，在透明紙上作一個銳角（記作∠MON）.

（2）說說你的作圖步驟.

（3）觀察自己用直尺作的角與同桌所作的角是否相等，理由是什么.

設計意圖通過作圖讓學生再次回顧角的定義及表示，啟發學生回顧比較角大小的度量法與疊合法，為后續作相等的角做鋪墊.

【活動二：用三角尺作角】

（1）利用三角尺，同桌之間能否作出相同的角？

（2）利用一副三角尺，你還可以作出哪些特殊度數的角？

設計意圖此內容處于學生的最近發展區，能遷移學生原有的學習經驗，且問題串層層推進，能激活學生的元認知.

【活動三：用量角器作角】

（1）用量角器如何作出47°的角（記作∠COD）？說說你的作圖步驟.

（2）用量角器如何作一個角等于已知角？

接著，將五個刻度被污損的量角器發給學生，讓他們用此量角器在紙上作出∠A′O′B′，使它等于已知的∠AOB.

設計意圖再次遷移量角器的學習經驗，回顧量角器量角與作角的步驟，感悟三角尺便于作特殊角，量角器便于作任意角，兩者都是以數助形的方式，同時借助污損的量角器，啟發學生思考“如何借助無刻度的量角器作一個角等于已知角”.

【活動四：尺規作角】

分步轉化量角器作角過程：

（1）使用量角器量角與作角的關鍵是什么？

（2）觀察角在大小變化的過程中，對應點之間的距離變化情況.

（3）不移動量角器，能否用圓規在作圖紙上復制一個相同的量角器邊緣？

（4）如何借助尺規再次描出終邊上點的位置？

（5）觀察所畫的角是否相等，觀察同桌之間構造量角器時所畫弧的半徑是否相等（透明紙驗證）.

設計意圖借助幾何畫板的動態演示，啟發學生感悟使用量角器作一個角等于已知角的關鍵，通過角的大小變化直觀感受角的大小與量角器邊緣上兩點之間的線段長度有關，啟發學生將量角器的讀數定點向尺規的畫弧定點轉化. 通過量角器畫弧的大小不同但構造的角相同，同時借助幾何畫板演示不同半徑下同一個角的作圖，啟發學生感悟復制的第一道圓弧的大小具有任意性，使得學生不僅知道作圖的步驟，而且知道實施每一步的理由，既會“作圖”，又能“明理”，啟發學生初步感知尺規作圖的操作步驟與原理.

3. 新知學習，問題解決

（1）師生一起歸納作圖步驟.

（2）利用圓規和無刻度的直尺作∠DEF，使其與活動一中所作的∠MON相等.

設計意圖第（1）問旨在啟發學生再次清晰作圖步驟，弄清作圖原理，使學生突破思維難點;第（2）問旨在讓學生再一次對尺規作圖進行內化，優化學生的認知結構，完善學生的知識體系.

4. 提出新問題，新知再建構

（1）類比線段中點，角的內部是否存在某條線將角等分成相等的兩部分？利用手中的透明紙找一找.

（2）你有什么方法確定它們相等？

（角的平分線：如圖2所示，射線OC把∠AOB分成兩個相等的角，射線OC叫∠AOB的平分線）

（3）圖2中共有幾個角？它們之間有怎樣的數量關系？

（4）類比線段中點的符號語言，你能用符號語言表示角的平分線嗎？

練習：如圖2所示 ，OC平分∠AOB. 如果∠AOB=50°，那么∠AOC=∠BOC=______，∠AOC=______×50°=______°;

如果∠AOC=25°，那么∠AOB=______∠AOC=______，∠BOC=______°.

設計意圖概念教學應明其內涵，拓其外延，知其本質. 此處引導學生類比線段的中點，啟發學生嘗試說出角的平分線及其符號語言表達. 練習給學生搭臺階，小臺階式遞進，啟發學生理解三個角之間的“相等關系、倍數關系、半數關系”，使學生對角的平分線的學習過渡自然.

例題：如圖3所示，∠AOD=80°，OB是∠AOC的平分線，∠AOB=30°，求∠AOC和∠COD的度數.

追問：你能否逆向類比，仿照例題編一個與線段中點有關的問題？

設計意圖例題是角平分線的應用. 教學中教師應引導學生理解符號的使用是數學表達和數學思考的重要形式，要會用“因為……所以……”的句式進行簡單的計算及推理，發展有條理的思考能力及數學表達能力. “追問”能啟發學生逆向類比，內化平分的本質.

5. 提出問題，總結反思

（1）本節課你學習了哪些知識與方法？

（2）在學習的過程中，你感悟到了哪些數學思想？

（3）生活中還有哪些工具可以幫助我們作一個角等于已知角？

設計意圖啟發學生對知識方法進行歸納、提煉、總結、比較，體會類比和轉化的數學思想，形成理性認識，內化數學方法和經驗. 第（3）問旨在讓學生理解作一個角等于已知角的本質，啟發學生跳出作圖工具，從數學中的作圖工具延伸到生活中的作圖工具.

6. 布置作業，延伸課外

必做題：補充習題 6.2 角（2）.

選做題：查閱“尺規作圖不能問題”.

設計意圖分層設置作業，旨在鞏固“雙基”的基礎上，讓不同的學生在數學上得到不同的發展，并為后續繼續學習尺規作圖打下基礎.

怎樣進行有效的啟發式教學

“啟發”二字，源于孔子所說的“不憤不啟，不悱不發，舉一隅不以三隅反，則不復也”（《論語·述而》）. 所謂“不憤不啟”，就是當學生還沒有搞懂問題時，教師要給予適當指導，幫助學生開啟思路;所謂“不悱不發”，就是當學生對問題尚未考慮成熟難以表達時，教師要幫助學生明確思路，用準確的語言表達出來[2]. 也就是說，如果學生在學習過程中未能達到“憤”“悱”的心理狀態，教師則不宜越俎代庖. 只有在學生“心憤口悱”的情況下，教師才能啟而發之，并收到舉一反三之效[3]. 在數學教學中，數學啟發式教學是指教師從學生已有的數學知識、經驗和思維水平出發，力求創設“憤悱”的數學教學情境，以形成認知和情感的不平衡態勢，從而啟迪學生積極主動地思維，引導學生學會思考，使學生的數學思維得以發生和發展，數學知識、經驗和能力得以生長，并從中領悟數學本質，達到教學目標[4]. 在實施啟發式教學的過程中，教師至少應該做到以下三點：及時抓住問題的啟發時機，善于利用知識的啟發原型，準確把握教師的啟發力度.

1. 及時抓住問題的啟發時機

問題是數學的心臟，科學知識的增長永遠始于問題，終于問題，而且越深化的問題，越能啟發新的問題. 《禮記·學記》中強調“善問者如攻堅木，先其易者，后其節目，及其久也，相說以解”. 這就告訴我們，對數學教師來說，在數學教學中要學會“善問”，先易后難，由淺入深，久而久之，學生就可以愉快地解決難題. 如上面的“類比舊知，引出新知”環節，教師提出問題“觀察手中的工具包，里面有哪些作圖工具”“利用這些熟悉的工具，你能畫出哪些基本的幾何圖形”. 在學生回答“能畫出線段、角……”時，教師可追問“我們研究了角的哪些知識、線段的哪些知識”“類比線段的探究過程與研究方法，猜一猜本節課我們將研究角的什么知識”. 在學生“憤”“悱”時，教師抓住時機，啟發學生思考系統學習的線段的知識，等學生回顧了線段的相關知識后，教師再次啟發學生類比線段的探究過程與研究方法猜想本節課的研究內容，從而讓本節課的研究內容水到渠成. 在“探究問題，尺規建構”環節，教師因勢利導，及時啟發學生“觀察自己用直尺作的角與同桌所作的角是否相等”“利用三角尺，同桌之間能否作出相同的角”“利用一副三角尺，你還可以作出哪些特殊度數的角”“用量角器如何作出47°的角（記作∠COD）”“用量角器如何作一個角等于已知角”. 教師抓住啟發時機，環環相扣，進一步幫助學生完善了認知結構.

2. 善于利用知識的啟發原型

學生的認知過程是一個舊知識不斷同化新知識的過程，因此，在課堂教學中，教師應該將學生的原有認知作為新知的生長點來組織課堂教學，應善于調動學生已有的知識庫，從學生的知識庫中提取有效的啟發原型，即有效提取學生原有認知結構中用以同化新知識、解決新問題的相關材料. 例如，在“探究問題，尺規建構”環節，在如何利用無刻度的量角器作一個角等于已知角的過程中，教師提出問題“使用量角器量角與作角的關鍵是什么”“觀察角在大小變化的過程中，對應點之間的距離變化情況”“不移動量角器，能否用圓規在作圖紙上復制一個相同的量角器邊緣”“如何借助尺規再次描出終邊上點的位置”. 此處將學生原有量角器量角與作角的活動經驗作為新知識的啟發原型，易于學生理解作一個角等于已知角的關鍵是尋找角的終邊上點的位置. 教學時，教師通過幾何畫板直觀展示，啟發學生感受量角器已不再具有讀取度數的功能，而是提供了終邊上點的運動路徑，即半圓的功能，進而引導學生將量角器的功能向尺規轉化，引出尺規的畫圓弧以及截取等長度線段的功能，引發學生初步感知尺規作圖操作流程. 在教學“角的平分線”環節，教師抓住線段中點這一原型，啟發學生類比線段中點，說出角的平分線的概念及符號語言表達，加深了學生對角平分線等分角的理解. 這些環節的設計都以知識的啟發原型為學生新知學習的固著點與向導，引導學生將新知同化到自己的舊知中，從而收到“啟而得發”的效果.

3. 準確把握教師的啟發力度

準確把握啟發力度，是實施啟發式教學的關鍵之一. 《禮記·學記》中談到：“道而弗牽，強而弗抑，開而弗達. 道而弗牽則和，強而弗抑則易，開而弗達則思. 和易以思，可謂善喻矣. ”它啟示我們：高明的啟發藝術是教師給予學生適當的引導，而不是牽著學生，拖著他們走;是給予學生激勵和鞭策，而不是給學生施加壓力，抑制學生的進取精神;是給予學生稍加點撥和提示，開個端倪，而不是把道理或結論和盤托出，代替他們思考. 這樣就能達到師生關系融洽、學生學習順利且獨立思考的目的. 若用現代學習論的觀點來說，適度的啟發就是從學生現有的認知水平出發，遵循“最近發展區”原理，讓學生“跳起來摘桃子”，使其“伸手不及，跳而可獲”[2]. 如上面關于角平分線的符號語言表達環節，教師詢問學生后，發現學生處于“心求通而未得，口欲言而未能”的憤悱狀態，于是引導學生回憶線段的中點的符號語言表達，學生自然得出角平分線的符號語言表達. 整個過程中，教師只是稍加點撥，并沒有強行牽著學生思考. 在課堂小結環節，教師提出問題“生活中還有哪些工具可以幫助我們作一個角等于已知角”后，適當留白，開個端倪，并沒有把方法和結論和盤托出，代替學生思考. 可見，有效的啟發式教學要求教師準確把握啟發的力度.

小結

“學起于思，思源于疑.”學生的數學思維活動主動積極，以形成思維激活、情感亢奮的“憤悱”狀態是啟發式數學教學的關鍵[5]. 啟發式教學是人類教育思想的精華，在實施啟發式教學的過程中，教師應及時抓住問題的啟發時機，善于利用知識的啟發原型，準確把握啟發力度，從而啟迪學生積極思考，使得學生的數學思維得以發生和發展.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]楊善林，汪青松. 高校研究型教師科研能力的培養[J]. 中國科技論壇，2007（06）：118-120.

[3]殷虹.關于啟發式教學的一些思考[J]. 職業教育研究，2007（09）：122-123.

[4]韓龍淑，王新兵. 數學啟發式教學的基本特征[J]. 數學教育學報，2009，18（06）：6-9.

[5]韓龍淑，曾小平. 數學教師對啟發式教學認識的調查研究[J]. 數學教育學報，2014，23（04）：55-58.