三條主線，三次類比，三輪重構

毛麗娟

[摘? 要] 以“分式的加減”為例，嘗試進行教學設計實踐與反思，實踐發現，基于三條主線、三次類比、三輪重構的教學設計，將學生的學與思逐步引向深入，實現了科學育人，落實了知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀的三維目標.

[關鍵詞] 分式;加減;設計;反思

前不久，筆者參與了縣里組織的教師暑期培訓， 在培訓中嘗試對“分式的加減”教學設計進行重構，獲得了專家與同仁的一致好評，現將本節課的教學設計及相應評析展現如下.

教學設計

1. 教學內容及評析

（1）教學內容：人教版義務教育教科書八年級《數學》上冊第十五章“分式”第2節“分式的加減”.

（2）內容評析：學生已經學過了分數、整式的加減運算，分式的乘除運算等，為“分式的加減”作了有效的鋪墊. 為什么要把分式加減運算放在分式乘除及乘方之后學習呢？其原因在于，分式的加減相對較難一些，分式的乘除及乘方可以直接利用運算法則計算，而分式的加減運算不僅要運用法則計算，還要進行通分、約分和因式分解.

2. 教學目標及評析

（1）教學目標：①經歷探索分式加減法法則的過程，理解其算理. ②會進行分式的加減運算，培養學生的代數式化歸能力. ③能利用分式加減運算解決簡單的實際問題，體會分式的模型作用[1].

（2）目標評析：完成第一個教學目標的標志是能類比分數加減運算法則，自然地說出分式加減的運算法則. 完成第二個教學目標的標志是能對異分母分式進行正確的通分，然后按運算法則計算，最后把結果化為最簡分式. 完成第三個教學目標的標志是能根據實際問題列出相應的關系式，然后按分式加減的運算法則運算出結果.

3. 教學問題診斷分析

同分母分式相加減時，分母不變，分子相加減. 當同分子分式相加減時，學生會產生負遷移誤認為分子不變，分母相加減. 分母是多項式的異分母分式相加減，有時需要因式分解后才能確定最簡公分母，學生因為因式分解錯誤導致分式加減運算錯誤. 當分式與整式進行加減運算時，因符號處理不當而產生錯誤，所以本節課的難點是分式與整式的加減運算.

4. 教學過程設計

（1）交流復習，反思疑點.

在這一環節，用PPT依次展現以下內容，如圖1所示，讓學生依次思考分式的定義、分式的性質、分式的運算，當出現第⑤項內容時，板書課題及教學目標.

設計意圖? 新課標指出，教材呈現的素材應符合學生的現實，何謂學生的現實？其是指生活現實、數學現實及其他學科現實. 本節課在導入部分以數學現實的內容呈現，其目的是讓學生形成完整的知識體系，進一步掌握研究代數式的基本思路，即代數式的定義——代數式的性質——代數式的運算——代數式的應用. 這也是后面即將學習“二次根式”的基本思路.

（2）解疑釋惑，反思問題.

問題1：

約分：①;②.

問題2：

通分：①，;②，.

反思：分式的約分與通分應用的數學知識是什么？通分時，如何找各分母的最簡公分母呢？

設計意圖? 正確進行分式的加減運算，需要掌握以下三點：①正確地對分式進行約分;②對兩個或多個異分母分式進行通分;③因式分解是進行分式加減運算的有效路徑，并再次強化分式的約分與通分的必要性.

（3）明確算理，達到反思.

問題3：觀察下面分數加減運算，你能得出分式加減運算的運算法則嗎？

+=，

-=-，

+=+=，

-=-=-.

問題4：

化簡：①-;②+.

PPT展示：分式加減法法則：同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減;異分母分式相加減，先通分，變為同分母分式，再加減.

①-==-;

②+=+=.

反思：分式加減運算每一步的運算依據是什么？

設計意圖? 通過問題3，學生可以看到，分數相加減，同分母的，分母不變，分子相加減;異分母的，先通分變為同分母后再加減. 當分數加減運算變為分式加減運算時，因為其都含有分母，學生自然地會把分數的加減法法則推廣到分式的加減法法則. 問題4的兩個化簡分別是同分母分式相加減與異分母分式相加減，引導學生運用分式加減法運算法則進行簡單的運算[2].

（4）問題解決，應用反思.

問題5：

化簡：①-;②+.

反思：當兩個分母互為相反數時，如何化為同分母分式呢？

問題6：

化簡：①+;②-x+y.

反思：當分式與整式進行加減運算時，如何將整式變為同分母分式呢？

設計意圖? 問題5的兩個小題都屬于同分母分式相加減，其中第②小題較第①小題難一些，需要將分母提取負號后變為同分母分式. 問題6的兩個小題都屬于異分母分式相加減，其中第②小題比第①小題難一些，需要將后面的多項式先變為分式再進行分式加減運算. 問題的設置涵蓋了分式加減的四個重要類型，難度呈階梯式上升.

（5）變式訓練，反思方法.

問題7：甲、乙兩個工程隊分別承擔一條20 km公路的維修任務，甲隊有一半時間每天維修公路x? km，另一半時間每天維修y km;乙隊維修前10 km公路時，每天維修x km，維修后10 km公路時，每天維修y km（x≠y）. 甲、乙兩隊哪一隊先完成任務？

設計意圖? 這是一個來自實際生活的問題，需要學生分別用分式表示甲隊、乙隊完成工程所用的時間，欲求哪一隊先完成任務，需要運用分式的減法運算，通過分式運算結果的正負號判定所用時間的長短，體現了分式運算在實際生產生活中的應用.

5. 作業設計

必做題：教材第146頁習題15. 2第4題、第5題.

選做題：現有大小兩艘輪船，小船每天運 x t貨物，大船比小船每天多運10 t貨物.現在讓大船完成運送100 t貨物的任務，小船完成運送80 t貨物的任務.試說明哪艘輪船完成任務用的時間少.

設計意圖? 作業分層設置，符合新課程標準提出的“讓不同的學生在數學上獲得不同的發展”. 這里的選做題旨在讓學有余力的學生多一些鍛煉的機會，為后面分式方程的學習作進一步的鋪墊.

本課評析

1. 三條主線：明線暗線反思線

散文，形散而神不散. 此次教學亦如此，各個環節雖彼此分開，但卻環環相扣. 本節課的主線是分式的加減運算，且始終圍繞這個主線展開，前面有約分、通分作鋪墊，中間有分式加減的例題講解，后有分式應用的變式訓練. 本節課的暗線是數學思想的滲透，在推出分式加減的運算法則時運用了類比的思想，在處理異分母分式相加減時運用了轉化的數學思想. 本節課還有一條反思線，通過不斷地追問，引導學生不斷反思，讓學生做到時時總結與反思.

2. 三次類比：有淺有深有高潮

本節課的第一個類比是分式加減與分數加減類比，將新舊知識進行了很好的聯系，降低了學生的“認知坡度”. 第二個類比是異分母分式相加減與同分母分式相加減類比，實現了復雜問題向簡單問題的轉化. 第三個類比是分式運算應用與分式運算的類比，凸顯了分式運算法則在現實生活中的應用.

3. 三輪重構：課時章節整體部署

本節課的教學設計經過了多次修改，也進行了多輪討論，實現了從章節的視角整體布局本課教學設計. 在整節課時以“定義——性質——運算——應用”為基調進行教學設計，將學生的學與思逐步引向深入，實現了科學育人，落實了知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀的三維目標.

參考文獻：

[1]陳秀海，張慶華. 數式同性，追求教學的“本心”——以“分式的加減”為例[J]. 中學數學，2021（06）：22-24.

[2]王朝暉. 類比教學，讓數學知識自然生成——以“分式的加減”為例[J]. 中學數學教學參考，2019（36）：17-19.