初中數學解題教學五部曲芻議

楊周榮麟

[摘? 要] 文章從一道期末壓軸題的說題過程說起，談談解題教學的五部曲，以推動學生的思維發展，促進學生的素養生成.

[關鍵詞] 解題教學;五部曲

解題教學是數學教學的重要組成部分，可以分為審題——分析——解答——拓展——整理五個步驟[1]. 作為一種新型的教研形式，說題活動映射出教師對于解題教學的理解與把控，它受到了越來越多的重視. 筆者結合一次說題教學，談談解題教學的五部曲，意在拋磚引玉，與大家共勉.

原題再現

如圖1所示，若二次函數y=-x2+3x+4的圖像與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，連接AC，BC.

（1）求△ABC的面積;

（2）若P是拋物線在第一象限內BC上方一動點，連接PB，PC，是否存在點P，使四邊形ABPC的面積為18，若存在，求出點P的坐標;若不存在，說明理由;

（3）如圖2所示，若Q是拋物線上一動點，在平面內是否存在點K，使以點B，C，Q，K為頂點，BC為邊的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點K的坐標.

試題分析

這是期末試卷的最后一道壓軸題，綜合性強，難度大，對學生的思維能力要求比較高，考查了二次函數的圖像與性質、一元二次方程的解法、矩形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質等數學知識，滲透了數形結合思想、分類討論思想、方程與函數思想、轉化與化歸思想、數學建模思想等，要求學生能根據題意建立一元二次方程的模型，發現并構建等腰直角三角形的模型、全等模型等，從而解決問題.

說題呈現

第一步：審題，正確解讀題意，找出關鍵詞.

畫一畫：二次函數y=-x2+3x+4，A，B是拋物線與x軸的交點，C是拋物線與y軸的交點，這三個點都是定點. 第二小題的P是動點，它被限定在第一象限的拋物線上，在BC的上方. 第三小題的Q、K也是動點，點Q在拋物線上，點K在平面內，隨點Q的確定而確定. 試題重點考查拋物線與三角形交匯問題，拋物線與矩形交匯問題.

在解題教學中，學生要養成良好的、正確的審題習慣，離不開教師的引導. 提高學生的審題能力，需要讓學生在讀題的過程中畫出關鍵詞，從而獲取有價值的信息，有了良好的審題習慣，等于成功了一半.

第二步：分析，找出突破口，明確解題思路.

想一想：（1）根據三角形面積計算公式，欲求△ABC的面積，需要求出它的底邊AB與高OC的長，欲得到線段OC，AB的長，只需求出這三點的坐標即可. （2）觀察圖1，因為四邊形ABPC的面積為18，△ABC的面積也已確定，所以△PBC的面積確定. 如何求點P的坐標？點P在拋物線y=-x2+3x+4上，所以它的橫、縱坐標滿足函數關系式，只需求出點P的橫坐標即可，此時可根據△PBC的面積建立關于點P橫坐標的方程，通過解方程求得點P的坐標.

畫一畫：（3）以點B，C，Q，K為頂點，BC為邊的四邊形是矩形是否存在？首先應根據題意畫出草圖，當點Q在y軸右側時，如圖3所示，當點Q在y軸左側時，如圖4所示. 當點Q在y軸右側時，為求點Q的坐標，需要按橫平豎直的原則，作坐標軸的垂線，從而構建全等三角形，利用全等三角形轉移線段長，從而求得點K的坐標. 當點Q在y軸左側時同理.

在分析題意的過程中，教師設置了兩個環節，一是想一想，通過關鍵詞找到解決問題的突破口;二是畫一畫，根據題意，畫出符合題意的圖形，捋出正確的解題思路，為解決問題搭好框架. 需要注意的是，畫圖形時，教師不能直接把圖形出示給學生，要讓學生根據題意自行畫出圖形，然后在小組內交流討論.

第三步：解答，作出輔助線，算出正確結果.

添一添：對于第（2）小題，△PBC是一個傾斜的三角形，如何切分能利用頂點的坐標表達線段的長呢？這里有兩種基本的方法，即過點P作豎直線，或過點C作水平線. 對于第（3）小題，為了求得點Q或點K的坐標，仍需要添加橫平豎直的直線，作輔助線的方法如圖3、圖4所示.

解一解：（1）對于拋物線y=-x2+3x+4，當x=0時，y=4，所以C（0，4），當y=0時，即-x2+3x+4=0，解得x1=4，x2=-1，所以A（-1，0），B（4，0）. 所以AB=5. 因為OC⊥AB，所以S△ABC=×5×4=10.

（2）存在符合題意的點P，理由：因為四邊形ABPC的面積為18，S△ABC=10，所以△BCP的面積為8. 因為直線BC經過點B（4，0），點C（0，4），根據待定系數法，得直線BC的解析式為y=-x+4，如圖2所示，過P點作PM⊥x軸，交BC于點M，因為點P在拋物線y=-x2+3x+4上，所以設P（t，-t2+3t+4）. 因為PM⊥x軸，點M在直線y=-x+4上，所以點M（t，-t+4），根據坐標系中利用三角形面積計算寬高的公式，得S△BCP=×4×PM=2（-t2+3t+4+t-4）=2（-t2+4t）=8，解得t=2，所以P（2，6）.

（3）存在符合題意的點K. 理由：設點Q（m，-m2+3m+4），當m>0時，如圖3所示，因為四邊形CBKQ是矩形，所以QK∥BC，CQ⊥BC，KB⊥BC. 過點Q作QH⊥y軸，交于點H，過點K作KG⊥x軸，交于點G. 因為△OBC是等腰直角三角形，所以∠OCB=∠OBC=45°. 所以∠HCQ=∠GBK=45°. 因為CQ=BK，根據“角角邊”，得△CHQ≌△BGK，所以CH=HQ=BG=GK. 所以m=-m2+3m+4-4. 解得m=2或m=0（舍去）. 所以HQ=CH=2. 所以BG=KG=2. 因為OB=4，所以OG=6，K（6，2）;當m<0時，如圖4所示，因為四邊形CBQK是矩形，所以QK∥BC，KC⊥BC，BQ⊥BC，設KC與x軸的交點為F，BQ與y軸的交點為H，過點Q作QG⊥y軸，交點為G，過點K作KE⊥x軸，交點為E. 因為△OBC是等腰直角三角形，所以∠OCB=∠OBC=45°. 所以△FBC、△BCH也是等腰直角三角形. 所以∠OBH=∠OHB=45°，∠FCO=∠CFO=45°，OF=OC=OB=OH=4. 所以∠HQG=∠EFK=45°. 因為KC=BQ，CF=HB=BC，所以FK=QH，根據“角角邊”，得△QHG≌△KFE，所以QG=HG=FE=KE，所以-m=-4-（-m2+3m+4），解得m1=-2，m2=4（舍去）. 所以QG=HG=FE=KE=2. 因為OF=4，所以OE=6. 所以此時點K的坐標為（-6，-2）. 因此點K的坐標為（-6，-2）或（6，2）.

分析題意為解答問題做了很好的鋪墊，教師引導學生添加適當的輔助線，把傾斜的三角形分為兩個三角形，從而能利用公式求三角形的面積;教師引導學生借助三垂直模型與全等三角形模型，一元二次方程模型求得了點Q的橫坐標，從而求得了點K的坐標，使學生體會到數學建模在解決數學問題中的重要性;教師從學生的最近發展區出發，根據學生的認知規律，引導學生發現最易想到的解決方案，突破了難點.

第四步：拓展，尋找延伸點，讓學生思維生長.

變一變：如圖1所示，若二次函數y=-x2+3x+4的圖像與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，連接AC，BC.

（1）若P是拋物線在第一象限內BC上方一動點，連接PB，PC，當△PBC面積最大時，求點P的坐標.

（2）已知M是平面內一點，是否存在以點A，B，C，M為頂點的平行四邊形，若存在，求出點M的坐標.

（3）若P是拋物線在一象限內BC上方一動點，過點P作PH⊥BC，是否存在點P，使得△PCH與△OBC相似？

教師對原題進行恰當的變式，在改編時沒有改變原題的背景，只是把“當△PBC面積為固定值”改變為“當△PBC面積為最大值”，此時學生需要建立二次函數的模型，根據二次函數的最值性質求解. 把“以BC為邊構造矩形”改變為“以A，B，C三點為頂點構造平行四邊形”，此時學生需要分三種情況討論，培養了學生思維的發散性與融合性，提高了思維的深度.

第五步：反思，梳理思維脈絡，積累解題模式.

理一理：請大家回顧解題過程，你們在其中用到了哪些數學知識？學到了哪些解題技能？又學了哪些數學思想？它們是如何聯系在一起的？

畫一畫：把上述的解題反思形成一張思維導圖. 從數的角度看，本題考查了二次函數、一次函數、一元二次方程;從形的角度看，本題考查了二次函數的圖像，矩形、等腰直角三角形、相似三角形、全等三角形.

解題反思是解題教學的收官之筆，其重要性不言而喻，有利于學生總結經驗形成方法，進而實現知識的觸類旁通、舉一反三[2].

結束語

關于解題教學的五個步驟，相輔相成，渾然天成. 在實際教學中，教師也可以根據需要刪增某一步驟，有針對性地做出設計，以推動學生的思維發展，促進學生的素養生成.

參考文獻：

[1]廟軍生. 說題在初中數學教學中的應用[J]. 中學教學參考，2020（30）：55-56.

[2]李慧敏. 關注數學解題過程——從解題規范的視角談解題教學[J]. 中學數學月刊，2019（03）：58-59.