關注建模過程 培育核心素養

林玉芬

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，小學階段，核心素養主要表現為：數感、量感、符號意識、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理意識、數據意識、模型意識、應用意識、創新意識。在核心素養觀念下，通過運算律的教學可以培養學生的模型意識和推理意識，發展數感。教學中，教師不能只關注運算律的表象特征，還應關注運算律的內涵和教學價值。運算律不僅運用在簡便的運算中，還滲透在整個小學數學學習的過程中，如多位數的乘法是以乘法分配律作為有效支撐、多位數加法是以加法結合律作為重要支撐、加法交換律和乘法交換律是驗算的依據等。在教學運算律時，教師要讓學生親歷建模的一般過程：先通過觀察和比較大量的例子，初步發現規律，建立模型;再聯系已學知識或生活實例解釋模型，運用不完全歸納法驗證規律成立后表述模型;最后，應用模型解決實際問題。下面以北師大版《義務教育教科書·數學》四年級上冊“乘法分配律”為例，探討如何關注建模過程，培育核心素養。

一、 實施前測，確定教學路徑

乘法分配律的學習是學生在學習了乘法的意義、四則運算、加法交換和結合律、乘法交換和結合律的基礎上進行的，乘法分配律是簡算的依據，對提高學生的計算能力有著重要的作用。在上本節課之前，學生對乘法分配律已經有了一定的感知，如教科書從二年級學習的乘法口訣開始滲透乘法分配律，三年級用點子圖探索一位數乘兩位數或三位數、兩位數乘兩位數計算方法的過程，長方形的周長、相遇問題等，這都是在借助圖形直觀，使學生體會基于乘法分配律的算理。為了優化教學過程，我進行了前測，出示題目：求出4個25與4個75的和。結果有10%的學生用連加，有75%的學生用25×4+75×4，只有15%的學生用（25+75） ×4進行計算，他們用的是湊整法，并未提到用乘法分配律簡算。這說明，學生已掌握了乘法的意義，但對乘法分配律的結構并未認知，缺乏簡算意識。因此，教學中教師應利用學生已有的類比、遷移、抽象、建模、符號化思想等經驗，促進學生建構乘法分配律模型，并重視對算理表述及簡算價值的滲透，幫助學生由感性認識上升為理性認識。基于此，我確定本課的教學目標是：讓學生經歷乘法分配律的探索過程，會用字母表示;讓學生初步學會用觀察、比較、歸納等方法進行意義建構，積累數學活動經驗;在探索活動中，培養學生團結合作、積極交流的習慣。我確定本課的教學重點是：讓學生發現乘法分配律，并用字母表示;確定本節課的教學難點是：乘法分配律的意義建構。

“雙減”政策要求“提質增效”，課程標準則要求“在數學課程中，要幫助學生建立數感、符號意識，發展運算能力和推理能力，初步形成模型思想。在小學階段，模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。”因此，這節課我需要讓學生經歷建模的全過程，將“事理”上升為“數理”，為培養學生的數學模型思想提供載體。

二、 觀察比較，初步建立模型

這個環節解決的是第一個核心問題：對比每個等式兩邊，你發現了什么？首先，我讓學生通過算一算，根據計算結果把6個算式分成3個等式。其次，我讓學生在圍繞這個核心問題獨立思考后，根據以下四點要求自主探究：輪流說想法，重復的不說;認真傾聽，及時補充;交流完后，把組內一致的想法整理在學習單上;展示、辨析學習單。我預設學生可能的發現有：兩邊得數一樣，但是運算順序不同，一個先算加法，另一個先算乘法;等式兩邊都有乘法和加法兩種運算，一種是兩步計算，另一種是三步計算;一邊是兩個數的和乘以一個數，一邊是兩個乘法式子相加，兩個乘法式子相加時有相同的因數;個別學生還可能發現算式兩邊意義相同：都是求相同的幾個幾相加的和是多少，如（10+4）×25=10×25+4×25，這個等式的左右兩邊都表示14個25相加的和是多少。最后，我引導學生概括出這些等式兩邊的相同點是都有兩級運算，得數相等，意義也相同;不同點是運算順序不同，結構不同。

這樣設計的目的是為了了解學生學習乘法分配律的難點在哪里，如對其本質不理解、對其結構不熟悉、無法體現其簡便性、乘法結合律的負遷移等。針對這些難點，我精選題目，讓學生分類計算，意在抓住學生學習乘法分配律的“最近發展區”，也就是基于數的運算，同時滲透簡算意識。再啟發學生通過橫向對比，直接指向乘法分配律的表象特征，消除乘法結合律的負遷移：乘法結合律只有一級運算，而乘法分配律有兩級運算，根據結構不同，一邊是兩步計算，一邊是三步計算，目的是減少（10+4）×25=10×25+4這種錯誤。我引導學生在橫、縱向對比中發現乘法分配律的本質：每個等式左右兩邊結構雖然不同，意義卻相同，都是求相同的幾個幾，所以每個等式的兩邊相等。通過引領學生聚焦算式，觀察特點，感受等值變形，他們建立了清晰的乘法分配律雛形，初步發現了規律：兩個數的和與一個數相乘，等于這兩個加數分別與這個數相乘，再相加。

三、 多元表征，解釋表述模型

大部分學生在學完第一個環節后，仍對“等式兩邊的意義相同”這個認知存在困惑，因此我提出了第二個核心問題：你能解釋算式左右兩邊相等的道理嗎？我先讓學生獨立仿寫算式、探究算理，完成學習單，再展示并辨析學習單。我預設學生的第一種方法是聯系已學知識（如多位數筆算乘法）來解釋。學生可以舉生活實例：1件上衣35元，1條褲子25元，3套共多少元？學生可以先合起來算出1套衣服的錢數再乘以3套，也可以分開算出3件上衣的錢數、3件褲子的錢數，再合起來。這樣，不管分開算還是合在一起算，都是在算3套衣服的總錢數，所以可以列出算式：（35+25）×3 = 35×3+25×3。我預設學生的第二種方法是借助畫圖來解釋。如白色正方形的個數是3個4相加，紅色正方形是5個4相加，一共是8個4相加;也可以先求一列有8個正方形，再乘以4列，即（3+5）×4，一共也是8個4相加，所以3×4+5×4= （3+5）×4;還可以直接用乘法的意義解釋：4×8+6×8，4×8表示4個4相加，6×8表示6個8它們合起來一共有10個8，也就是（4+6）×8，所以（4+6）×8=4×8+6×8。

在辨析完學習單后，我引導學生概括出“算式左右兩邊結構不同，意義相同，都是求相同的幾個幾相加的和是多少”。然后，讓學生討論發現，這種等式的共同特點是兩個數的和乘第三個數，等于這兩個數分別乘第三個數再相加。學生質疑：這樣的等式能寫完嗎？學生猜測寫不完后，我再通過 一道題引導學生進行驗證：小紅家的果園原來長60米，寬20米，擴建后，長增加了30米，現在果園的面積是多少平方米？學生根據題意想象畫圖、獨立解答，結合課件講算理。在學生借助圖形自主決定增加長的數量之后，我引導學生在一、二、三、四位數……范圍內舉例，列出等式并驗證，借助不完全歸納法，使學生發現：找不到反例，從而得出有無數種。學生再次質疑：能用一個等式概括出前面所有的等式嗎？我引導學生思考創造，用圖形、文字、字母表示后揭題：（a + b）×c = a×c + b×c是一個運算定律，叫做乘法分配律，即兩個數的和同一個數相乘，可以把兩個加數分別同這個數相乘，再相加，結果不變。最后，我組織學生討論：怎樣能快速記住乘法分配律？學生討論后認為可借助幾何直觀理解記憶：小紅家的果園原來長a米，寬b米，擴建后，長增加了c米，現在果園的面積是幾平方米？學生通過嘗試、驗證、交流簡化模型，經歷從具體到抽象，從個別到一般的建模過程，再次深層次領悟了乘法分配律的內涵。

本環節是這節課的“靈魂”，學生通過聯系已學知識，借助情境，數形結合，最終回歸乘法分配律本質：運用乘法的意義解釋，明確每個等式左右兩邊結構不同，意義相同，都是求相同的幾個幾相加的和是多少。這樣，就讓學生從關注規律的“形”到重新審視規律的“意”，以內在不變的“理”，理解外在變化的“形”，突顯意義建構，領悟數形結合思想、無限思想、合情推理、演繹推理、歸納推理及模型思想的魅力，同時培養學生的探索精神。

四、 溝通聯系，整體架構知識

整體架構知識指的是基于數學知識的內在系統關聯和學生的已有認知基礎，通過結構化教學，幫助學生完善認知體系，發展思維能力，培育數學素養，進而促進學生更好地理解數學、愛上數學、學好數學，逐步學會學習并成為學習的主人。《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確指出，教學內容是落實教學目標、發展學生核心素養的載體。教師要重視對教學內容的分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化數學知識體系。為此，我提出了兩個問題：我們之前學過哪些運算律？有用過乘法分配律嗎？第一個問題提出的目的是架構加法交換、結合律，乘法交換、結合、分配律這5個運算律的框架;第二個問題提出的目的是豐富乘法分配律的背景，使學生學會多位數的口算，如要求16×3的積，可以把10×3與6×3的積相加;再如，筆算乘法145×12，可以先算2 個145，再算10個145，最后把兩個積相加;又如，相遇問題：張小東和王小紅同時從大橋的兩端相對走來，張小東每分鐘走60米，王小紅每分鐘走50米，經過5分鐘后兩人相遇。這座大橋全長多少米？這樣，在數學教學中，教師站在學生的立場，用結構化的觀點指導教學，引導學生對已學的相關數學知識進行統合，驅動學生思維的深度參與;教師引領學生對本質相通的相關教學內容進行整體建構，以幫助學生理清數學知識之間的邏輯關系以及內在知識結構;這樣，就使學生建立了數學知識之間的聯系，有效實現了“從直觀到抽象、從抽象到具體”的教學目標，使學生真正深入理解了乘法分配律的意義本質，完善了知識體系。在此過程中，學生的認知也不斷得到深化，實現了對數學知識的類化理解與認知結構的重構。

五、深化應用，反思質疑總結

亞里士多德說：“思維是從疑問和驚奇開始的。”常有疑點，常有問題，才常有思考、常有創新。弗賴登塔爾也指出：“反思是數學活動的核心和動力。”數學教學中，如果沒有反思、質疑、總結，學生的理解就很難從一個水平上升到更高的水平。因此，在本環節，我首先以問題引領學生的學習：我們是怎么發現乘法分配律的？你有什么收獲？還有什么問題？其次，我充分發揮評價的激勵性作用，引發學生質疑：有除法分配律嗎？兩個數的差、三個數的和、四個數的和，甚至更多個數的和乘以一個數，有這樣的規律嗎？這樣可以促進學生深度學習，培養問題意識。同時，還可以促使學生在反思回顧中提煉建模的一般過程——建立模型、解釋模型、表述模型和應用模型。最后，我還讓學生自己設計一個需要運用乘法分配律解決的問題。

總之，本節課緊扣數學本質，以核心問題和學習單統領“說理”課堂，通過在“計算中感知模型”“在合作中梳理模型”“在解釋中表述模型”“在辨析中鞏固模型”，凸顯意義建構。本課中，學生根據自身的知識經驗，分別從問題的實際意義和數學運算的意義兩個層面來解釋，從中進一步發展演繹推理能力和模型意識，豐富認知，提升數學核心素養。同時，本課注重數學思想方法的滲透，關注學生個性發展，溝通新舊知識的聯系，實現了結構化教學。

（責任編輯：楊強）