重構教學內容，促進思辨生成

導 讀：

數學課堂教學是依據教材內容來設計學習活動、促進學生深度思考的教學活動，但是現有教材內容的呈現方式以結論為主，需要教師重構學生的學習內容，促進學生形成數學思維、獲得數學思想、了解數學本質，從而引發深層次的思辨。

“思辨能力”是一種重要的數學思維能力，它包括“思考”和“辨析”，涉及數學思考、分析、推理、判斷、表述、交流等數學思維過程和活動。但是現有教材內容的呈現方式以結論為主，這樣直接“給予”的方式使學生缺乏思考的動力，因此思辨的課堂需要教師重構學生的學習內容。

一、經歷數學思維的內容重構

數學思維是學生在運用數學的觀點思考和解決問題中形成的。因此教師需要建構有利于學生進行數學思考的教學內容，讓學生經歷數學思維的形成過程，提升數學素養。

（一）變程序式的操作為經歷真實思維的探究

數學教學的操作活動，可以使抽象的知識形象化，學生經歷知識的形成過程，獲得思維的提升。但是如果不關注學生的真實想法，只是象征性地讓學生按照要求完成操作過程，容易導致學生缺乏思維的主動性，無法實現深度學習。

例如，教學“三角形的內角和”時，教材是通過讓學生測量、剪拼、折拼的方式構建三角形，讓學生了解三角形的內角和是180°的。但是測量時往往會出現三個角的內角和不一定是180°的情況，教師用測量誤差的說法很難消除學生心中的困惑，活動的過程既沒有帶來思維碰撞的激動，也沒有消除困惑的欣喜，那么如何體現學生思維的真實性呢？

1.猜想的真實性。教學中，教師要創設情境，真實暴露學生的想法，利用直角三角尺，學生初步得出這個直角三角形的內角和是180°，教師把直角三角形撕成兩個小直角三角形，引導學生思考：每個小直角三角形的內角和是多少度？大部分學生認為是90°，個別學生認為是180°。這時教師請認為是90°的學生到臺前，接著把其中一個小的直角三角形再撕成兩個直角三角形，這個學生說內角和是45°，教師再撕下去，學生說是22.5°。由此可見，學生真實的想法并不認為三角形的內角和一定是180°。隨著撕成的直角三角形越來越小，學生開始積極思考。有的學生提出：并不是三角形越小它的內角和就越少，老師的大三角板跟同學手中的小三角板的內角和是一樣的，但是大小不同。有的學生提出：角的大小與邊的長短沒有關系，所以有可能撕成很小的直角三角形的內角和也跟大三角形的內角和一樣是180°。教師以學生真實的想法為出發點，發現問題并解決問題，發展了學生的思辨能力。

2.驗證的真實性。用幾何畫板計算三角形的內角和，比學生自主測量顯得結論更真實、更有說服力，學生在測量三角形的內角和的時候因為有誤差，總是很難正好得出180°，數學的科學性很難得到體現。運用幾何畫板非常精確地呈現無論三角形怎么變化，三角形三個內角的和都是180°。

（二）變單一觀察為思維多維發展

數學思維的培養離不開觀察，學生可以通過觀察，發現知識之間的內在規律和聯系，遷移完成新知識的學習。但是在教學中教師關注的重點依然是知識的掌握，對知識背后的數學思想沒有進行深入解析，因此學生觀察的內容單一，這樣的學習過程不利于學生思維多維發展。

例如，教學“三角形三邊關系”時，教師通常出示幾組三角形，讓學生測量三角形三條邊的長度，并觀察這三條邊之間的關系，學生從數據觀察中發現，三角形的任意兩邊之和大于第三邊。在這個教學過程中，學生動手測量了，也進行了觀察，但是只是掌握了三角形三邊關系這個知識點，僅靠觀察這幾組數據很難解決學生的困惑問題：為什么要用兩邊之和與第三邊比呢？三角形兩邊之和小于或等于第三邊會怎樣呢？兩邊之差與第三邊有怎樣的關系呢？所以教師要讓學生經歷三角形三邊關系建構的過程。

1.發展批判性思維。批判性思維需要學生在學習過程中對自己的認知提出疑問，繼而迫切地尋找解決問題的方法，把學生的思維不斷地引向深處，思維在“立和破”之間不斷生成發展。本節課通過四個教學環節進行兩“立”兩“破”，從而促進學生思辨的生成。

第一個環節是“立”，教師給學生幾根小棒，讓學生觀察能擺成和擺不成三角形的三根小棒三邊關系，初步得出結論：三根小棒中兩邊之和小于或等于第三邊的圍不成三角形，兩邊之和大于第三邊的可以圍成三角形。

第二個環節是“破”，教師讓學生在否定原有認知中自主尋找問題的答案。引導學生思考：如何讓圍不成三角形的三根小棒圍成三角形？學生想到把最長的第三根小棒剪短，教師再引導學生思考：第三根小棒是否可以無限地剪短？學生通過操作發現，第三根小棒不能無限地剪短，當它短到一定程度時，有可能又圍不成三角形。這與剛才的認知產生了沖突，學生初步感知第三根小棒的長度有一定范圍。

第三個環節是再“立”，完善對三角形三邊關系的認知，學生通過“長度分別為3厘米、9厘米、5厘米的三根小棒能否圍成三角形”這個問題進一步思考。學生根據3+9>5，認為可以圍成三角形，但是實際操作時卻發現無法圍成三角形，此時學生觀察發現，因為3+5<9，所以圍不成三角形，由此得出結論：三角形任意兩邊之和大于第三邊。

第四個環節是再“破”，通過“長度為9厘米的小棒換成長度為幾厘米的小棒，三根小棒就可以圍成三角形”這個問題，拓展學生對三角形三邊關系的進一步認知。在不斷嘗試的過程中，學生發現第三根小棒長度要小于“3+5”的和，又要大于“5-3”的差，從而完整建構三角形三邊關系的知識結構。

2.發展縝密性思維。當學生初次建構三角形三邊關系時，認知是不完整的，只是得出“兩邊之和大于第三邊就可以圍成三角形”這個結論。在后續兩個環節中充分暴露學生認知不完整的問題，當教師提出問題：第三根小棒可以無限地剪短嗎？長度分別為3厘米、9厘米、5厘米的三根小棒能否圍成三角形？學生回答時就出現了錯誤答案，學生在尋找錯誤原因的過程中完善了對三角形三邊關系的認知，也充分理解了“任意”這個詞的含義和重要性，提升了思維的縝密性。

二、經歷數學思想的內容重構

數學教育家米山國藏曾說：“學生所學的數學知識，在進入社會后幾乎沒有什么機會應用，唯有深深銘刻于頭腦中的數學思想和方法等隨時發生作用，使他們受益終身。”對數學思想的感悟是學生數學素養的集中體現，教師要深入理解數學知識背后的數學思想，重構教學內容，讓學生在學習過程中經歷數學思想的形成過程。

（一）單調的數字計算轉化為生動的數學思想

在計算教學中，教師往往通過大量重復性的練習，使學生掌握計算方法、提高計算正確率，但學生也因此忽略了其中蘊含的數學思想。尤其在算理的教學中，既要讓學生理解算理，又要滲透數學思想，提升學生數學學習能力。

例如，在教學“兩位數乘兩位數的練習課”時，學生體驗了數學推理思想。首先引導學生比較“24×17”這個乘法豎式中第二層的積與第一層的積的大小，通過計算，第二層的積是24×10=240，第一層的積是24×7=168，所以第二層的積大于第一層的積，在復習乘法算式算理的同時完成初步建模。其次呈現□×17，讓學生思考：現在第二層的積還大于第一層的積嗎？一部分學生認為不知道第一個因數怎么確定積，提出可以用舉例驗證的方式來證明，這類學生的推理能力還未形成，需要直觀數字的輔助。大部分學生依據24×17的計算過程進行推理思考，無論第一個因數是多少，第一層的積都是用第一個因數乘7，第二層的積都是用第一個因數乘10，所以第二層的積大。教師再次呈現24×□，引導學生提出問題：第二層的積與第一層的積誰大呢？這個問題的提出也是依據□×17進行推理思考。學生提出還可以用舉例的方法來驗證，教師引導學生舉一個有說服力的例子，很快學生就提出，24×19，個位9最大，十位1最小，第一層的積是24×9，是第一層最大的積，第二層是24×10，是第二層最小的積，第二層最小的積還大于第一層最大的積，所以通過推理得出結論：無論第二個因數是幾，第二層的積都大于第一層的積。最后呈現□×□，逐步抽象出兩位數乘兩位數為什么第二層的積大于第一層的積的算理。這個教學過程學生逐步推理出乘法計算的過程，經歷了從直觀到抽象的過程。

（二）枯燥的數學知識轉化為深奧的數學思想

相較于其他學科，數學知識缺乏豐富的想象、感人的意境，所以教師如果僅關注學生知識的掌握，數學課堂勢必枯燥乏味。數學的魅力在于思維的迸發、數學思想的呈現，教師要善于從數學思想的高度審視課堂，把枯燥的內容變得有趣。

例如，教學“數字編碼”時，每個數字編碼都是不重復的，因為它的這個特性，編碼在生活中才得以廣泛地應用，本節課圍繞著唯一性展開教學。教師讓學生猜想：全國有14億人口，身份證號碼會重復嗎？大部分學生覺得會重復，教師引導學生結合地圖和身份證號碼來分析。根據省、市、縣區域碼，學生發現身份證號前6位相同的人大約100多萬人。根據出生日期號篩選，同年同月出生的人同一個縣就只有500左右了，那么身份證號碼前14位相同的大約有500人。根據三位的順序碼可以保證999個人編碼不重復，至此學生明白了為什么身份證編碼不會重復，也解決了學生提出的“身份證號需不需要加所在鄉鎮、街道、門牌號”的問題，編碼的信息不是越多越好，選擇合適的信息只要不重復就可以了。根據編碼唯一性的特點，編寫自己的學號時，學生不是盲目地把個人的信息全部加入編碼，而是思考哪些信息是不會經常變化的，哪些信息是不會重復的。最后學生選定自己的入學年份、班級、座號，這三個要素就決定了自己學號的唯一性特點。這個過程的學習，學生可能忘記了每個數字編碼代表的意義，但是記住了編碼的唯一性，學習編碼的意義得以凸顯。

三、經歷數學本質的內容重構

數學本質是指數學本身所固有的、決定學科性質、面貌和發展的根本屬性。微觀上，數學本質是指具體數學內容本真的意義，需要我們對數學內容進行深入挖掘，找到隱藏其中的數學本質，教師對數學本質的理解和把握決定了數學教學的成效。教師需要合理地設計教學內容，讓學生從數學層面上來理解問題的本質，形成恰當的數學觀。

（一）關注細節，深化數學本質

有的概念看似簡單，但是“越是簡單的往往越是本質的”。在教學內容的設計中，教師要關注概念的細節處理，深化學生對概念本質的理解。

例如，教學“長方體和正方體的認識”時，長方體和正方體的長、寬、高的意義非常重要，但是往往被忽略，教師常用“一個頂點引出的三條棱就是長方體的長、寬、高”一句話帶過，長、寬、高對于長方體的重要性并沒有體現。教學中，教師可以通過“搭”和“拆”這兩個活動來幫助學生加強認知。第一層次是“搭”，讓學生從15根小棒中選擇12根搭一個長方體。有的學生選擇搭3組，每組4根長度相等的小棒搭成一個長方體。有的學生搭出了一個面不是長方形的圖形，怎么看都是歪的。經歷“搭”的過程，學生能深刻理解長方體的長、寬、高。第二層次是“拆”，教師引導學生思考：如果拆掉一個小棒還能還原這個長方體嗎？學生拆掉任意一根小棒，都能根據相對的其余三根小棒還原這根小棒的長度。教師接著追問：至少剩下幾根小棒才能還原這個長方體的大小呢？有的學生說剩下4根，有的學生說剩下2根，有的學生說剩下8根……最后發現只要剩下長、寬、高3根，就能還原整個長方體的大小，至此，學生對長、寬、高決定了長方體的大小有了深刻的認知。

（二）關注問題，彰顯數學本質

學生在學習過程中存在著很多困惑，這些困惑接近學生學習的最近發展區，教師要善于抓住學生的問題設計教學內容，促進學生的思考，幫助學生理解概念的本質。

例如，教學“分數的初步認識”時，學生對分數的理解有一定的難度，尤其是看到[12]這個分數時，有的學生提出：怎么會有這樣的數？為什么下面寫2，上面寫1，能不能倒過來寫？數中間怎么會有線？寫的時候為什么要先寫2，再寫1？上面的1是表示1塊餅嗎？根據這些問題，我們對[12]這個分數認識的內容進行重構。我們把分餅的過程與分數的形成過程結合起來，先把分餅的過程用課件動態呈現，最后再從圖形過渡到分數（如圖1）。學生結合圖形理解[12]：中間的線代表把餅平均分成兩份;因為要先平均分2份，再從2份中取1份，所以先寫2，再寫1;上面的1表示一塊餅平均分成2份中的1份;2寫下面，1寫上面也是根據分的過程，先平均分成2份寫下面，再取1份寫上面。結合分餅的過程理解分數，學生腦海里就有了[12]這個分數的直觀表象，對[12]的理解更加深刻，后續學習[13]就水到渠成。教師依據學生的困惑點來設計教學內容，通過數形結合把數的理解作為突破口，就會收到意想不到的效果。

通過教學內容的重構，學生的思辨能力得到了提升，深化了數學學習的意義。

（作者單位：福建省福清市瑞亭小學）

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李衡，福建省福清市瑞亭小學校長，福建省特級教師，福建省學科帶頭人，福清市“李衡名師工作室”領銜名師。曾獲得“福建省優秀青年教師”“福州市勞動模范”等榮譽稱號，在省級以上期刊發表多篇教育教學論文，主持6個省、市級課題，均順利結題，執教省、市級研討課以及做講座近百場。