用輔助圓解翻折問題的教學分析和反思

胡素芬

[摘 ?要] 學生“會而不對，對而不全”的情況經常出現在動點問題和多解問題的教學中. 初三復習面臨時間緊任務重的矛盾，教師在設計講評課中需要兼顧進度和效率. 在符合一定特點的條件下重視輔助圓的教學不僅可以畫出圖形，以形助數找到解題切入點進行不重不漏的分類討論，還能夠了解變與不變的辯證統一，體會數學思想，促進理性思考.

[關鍵詞] 數形結合;分類討論;轉化思想

原題呈現

（2020年上海市崇明一模數學卷第18題）如圖1所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，D是AC的中點，點E在邊AB上，將△ADE沿DE翻折，使得點A落在點A′處. 當A′E⊥AB時，A′A的長為______.

思路點撥

我們不妨過點D作DH⊥AB，垂足為H，連接AA′.

解：當點A′在AB的左邊時，如圖2所示，過點D作DH⊥AB，垂足為H，連接AA′. 由三角形的翻折不變性可知∠AED=∠A′ED ==45°. 在Rt△ADH中，sin∠DAH=，所以DH=，同理可得AH=.

在等腰直角三角形EDH中，DH=EH=，所以AE=AH+EH=.

最后在等腰直角三角形E AA′中，A′E=AE=，所以AA′=.

另一種情況，如圖3所示，當點A′在AB的右側時，AE=AH-EH=，AA′=.

教學分析

考生在考場上面對這道填空壓軸題感到困難，原因有二：一是此題是一道三角形翻折的問題，屬于圖形三種基本運動之一，將翻折運動理解為軸對稱問題，本身存在一定的難度;二是因為對稱軸DE經過的點D是AD邊上的中點，屬于位置確定的點，雖然需要翻折的△ADE中的點A和點D的位置確定，但是點E卻是斜邊AB上的動點，由于點E的位置不確定，所以對稱軸DE也一直處于運動變化的狀態，無法確定點A′的位置造成了第二層難度. 由于兩層難度的疊加讓學生無從下筆.

1. 輔助圓有利于畫出準確的圖形

由于圓具有美妙的對稱性，圓中的相關元素會產生豐富的數量關系，可以幫助我們尋找各種角度的數量關系和線段之間的聯系. 因此圓是各地區中考的必考內容，主要考查圓的有關性質、有關計算以及點與圓、線與圓和圓與圓的位置關系. 每年的各地中考都會考查圓的相關證明以及求線段長度或者角度的問題，有時也以閱讀理解、條件開放、結論開放探索題作為新的題型. 在中考數學有關圓的眾多題型中，有一類頻繁出現的題但是有的題目從給出條件上來看跟圓沒有一點兒關聯，但是在分析問題的過程中若能依據問題的條件，運用輔助圓的思想來進行問題分析就能夠很快畫出恰當的圖形，然后結合圓的定義和特征，從而啟發分析問題的思路.

需要用到隱形圓的問題大致分為三類：一是動點到定點的距離等于定長，也就是說在題目中遇到共頂點的相等線段，可以根據圓的定義添加輔助圓來凸顯線段、角之間的關系. 二是定弦定角，也稱定邊對定角，基本作圖方法是作三角形的外接圓. 三是四點共圓的相關問題，其特殊情況是幾個直角三角形若有公共的斜邊，那么這些直角三角形的頂點共圓. 它的本質其實是直角三角形的頂點到斜邊中線的距離都相等，依然是利用圓的定義構造輔助圓.

本題就屬于第一類：動點到定點的距離等于定長. 根據題目的已知條件中特殊點條件“點D是AC的中點”可知DC=DA，以及翻折條件“將△ADE沿DE翻折，使得點A落在點A′處”可知DA=DA′，所以可以確定定點D以及定長CD=4，于是以點D為圓心、CD的長為半徑作出輔助圓.

由于D是AC的中點，我們注意到在點E的運動變化過程中，DA=DC=DA′=4，看到這3條線段有一個公共點D，而且這3條線段的長度相等，此時我們可以將隱藏在共端點的3條相等線段背后的圓畫出來，這個圓就是以點D為圓心，4為半徑的圓D，也就是說點A′的運動軌跡就是圓D. 所以在這道題目的畫圖過程中，第一個輔助圓相對比較容易確定. 但是如圖4所示，構造出第一個輔助圓后，只能確定點A′一定在☉D上，但是僅憑這個條件依然無法確定點A′的位置. 從翻折運動的角度來分析這個問題，點A′的位置不確定是因為對稱軸DE的位置不確定，而對稱軸DE的位置不確定是因為點E的位置不確定，于是關鍵是需要確定點E的位置. 根據題目條件中出現的“當A′E⊥AB時”，我們將兩條線段互相垂直的位置關系轉化成角度的數量關系，即∠A′EA=90°. 同時我們注意到翻折運動的本質是翻折前和翻折后的圖形成軸對稱. 翻折前后的對應線段相等，對應角相等，這樣一來，就可以明確∠A′ED=∠AED =45°. 在△ADE的六個元素中，存在三個確定的元素：邊AD、∠AED和∠A. 通過解三角形ADE求出線段AE的長度后，就可以求出線段AA′的長度. 觀察△ADE的結構特征，顯然它不是一個直角三角形，所以過點D作DH⊥AB，垂足為H，將一個鈍角三角形通過添高轉化成兩個直角三角形來分析、研究. 所以接下來過點D作DH⊥AB，垂足為H，再以點H為圓心、DH的長為半徑作第二個輔助圓，如圖5所示，第二個輔助圓☉H與AB邊的交點就是點E，確定了點E的位置后再連接DE，最后過點E作EA′⊥AB，交☉D于點A′，連接DA′ 和AA′，也就是說，通過作出點A關于直線DE的對稱點就確定了點A′的位置.

2. 輔助圓有利于找到解題的切入點

圖形對于解題思路的建構發揮著輔助和催化作用. 幾何圖形承載了線段、角度等圖形元素位置關系和數量關系之間的因果關系，變化的幾何圖形又能夠體現圖形元素之間的變化與不變的對立統一關系. 在圖形運動的題目中，與運動有關的角度大小或者線段的位置往往不確定，解題思路難以形成. 根據本題題目的條件構造兩個輔助圓，就能夠將隱性條件轉化為顯性條件，就能夠起到化難為易，刪繁就簡的解題效果. 在確定圖形之后，本著“以形導數”和“以形助數”的數形結合的基本思想，觀察圖形、分析條件、尋找解題的切入點，運用圓的性質特點對于角度和線段進行計算. 豐富畫圖經驗和清晰的直觀過程將學生引向明確. 輔助圓的產生不僅有利于學生簡化思考過程、迅速找到解題切入點，而且有利于培養學生的數學核心素養——幾何直觀.

講解這道題時，教師應注意引導學生從審題開始，將題目條件中的文字語言和數字語言轉化為圖形語言，培養學生逐步養成見文字想圖形的數形結合思維習慣. 分析問題的過程中，教師應引導學生將給定的圖形與基本圖形進行對比，在數形結合和圖形的分解中發現DA=DC=DA′，尋找基本圖形——動點到定點的距離等于定長，于是構造第一個輔助圓，找到解決問題的切入點. 這為這道題的順利解答提供了思維路徑. 教師還應引導學生從確定的已知條件出發，積極參與到解題活動中，鼓勵他們盡可能地找到幾何圖形中線段和角度的各種特征，并且通過觀察、描述，歸納出符合這類輔助圓的模型的共同特征——共端點的3條線段相等. 此時，學生能夠體會和感悟到輔助圓的妙用.

在新授課中，某些定理適時縱深拓展，能夠引導學生發現圖形中蘊含的大量其他相關結論，這有利于學生發展聯想思維，能增強知識之間的溝通. 正如新授課中重視對圖形的進一步研究，在確定本題的第一輔助圓之后繼續分析問題，我們發現只知道一個點A′的運動軌跡是無法確定點A′的具體位置的，于是根據題目的條件先確定對稱軸DE中點E的位置，連接DE后才能繼續根據軸對稱性進一步順利地確定點A′的位置. 教師引導學生根據添加第一個輔助圓的學習經驗，繼續運用第二個輔助圓來幫助解題. 建議課堂教學進行到這里，教師引導學生進行回顧與反思，通過2次使用輔助圓的對比和歸納，學生對輔助圓會有一個初步的認識，這能讓他們體會到運用輔助圓解決問題所帶來的優越性. 這樣，學生便學會了解題時要將圖形和數字巧妙結合，理解了使用輔助圓的數學原理，弄明白了其中的數量關系，總結出了使用輔助圓的題目特征，可見，他們將教師點撥和同學分享的知識和技巧不斷內化和固化，大力提升了自身的數學思維水平. 在分析問題的過程中，如果學生能夠分散難點、解決問題，逐步達到將輔助圓作為一個思維單元運用到其他的解題過程中時，今后他們就能運用輔助圓解決類似的問題.

雖然填空壓軸題的切入點很多，但是將圖形與數據結合起來找到變化中的不變量，往往是最突出、最有效的一個切入點，接著尋找或者構造平時幾何學習中歸納出的基本圖形，順藤摸瓜認真分析、研究下去，基本可以順利解決問題.

3. 輔助圓有利于不遺漏討論的分類

“會而不對，對而不全”，這是許多同學在解題時無法避免而又屢犯不止的錯誤，提高解題嚴密性，避免漏解的奧秘在于學會分類討論. 分類討論就是按照一定的標準，把研究對象分成幾個部分或幾種情況，然后逐個加以解決，最后予以總結，得出結論的思想方法，也就是化整為零、各個擊破的轉化策略. 什么題目需要進行分類呢？一般來說，當問題包含的因素發生變化，問題結果也相應發生變化，我們就需要對這一關鍵因素分類討論. 為什么需要分類討論呢？人的思維一般從感性開始，經過不斷地發展、實踐、檢驗和深化，最終得出概念清晰、邏輯嚴謹的確定性結論，從而形成理性思維. 初中生的數學思維很大程度上屬于經驗型思維，感性經驗直接影響著邏輯思維. 分類討論是提升理性思維的良好載體. 怎樣進行正確分類？分類的基本要求是不重復、不遺漏，每次分類必須保持同一的分類標準，多級討論，逐級進行.

通過深度閱讀題目和充分挖掘已知條件，從△AED的角度來看待這個問題其實就是一個三角形的形內高和形外高的問題. 三角形的高的位置不像中線和角平分線那么“安分”，后兩者無論三角形的形狀如何發生變化肯定在三角形的內部，而高的位置可以在三角形內部、外部甚至于在三角形上. 所以圖形中出現垂直于邊AB的線段DH時，我們要從DH是△AED的形內高或者形外高兩種不同的情況來進行分類討論.

用圖形分解與組合的觀點來看待這個問題其實是將具有公共邊線段DH的兩個直角三角形——△EDH與△ADH進行兩個三角形共一條邊（邊DH）進行拼接組合的問題. 那么△EDH與△ADH可以組合在線段DH的同側，也可以組合在線段DH的兩側.

從解△AED的角度來分析這個問題，結合剛才對三角形的形內高和形外高的分析，我們可以通過形內高DH將△AED切割成高DH兩側的Rt△EDH與Rt△ADH（如圖6所示），還可以通過形外高DH將△AED看成高DH同側的Rt△E′DH與Rt△ADH（如圖7所示）.

從圖形運動的角度來看待這個問題，我們還可以理解為將△EDH沿著線段DH在△ABC所在的平面內翻折的問題. 那么△EDH沿著線段DH可以翻折到△AHD的內部，也可以翻折到△AHD的外部.

無論從什么角度來分析這個問題，第二個輔助圓☉H的產生對于解決確定這個問題的答案都有關鍵性的作用. 正如本題分析過程中所表現出來的☉H和線段AB有兩個交點，所以決定對稱軸DE具體位置的點E有兩個，相應符合題意的點A′也有兩個. 如果通過作出以點H為圓心，以線段DH的長度為半徑的圓與線段AB只有一個交點，那么決定對稱軸DE具體位置的點E有一個，相應符合題意的點A′也有一個. 如果通過作出以點H為圓心，以線段DH的長度為半徑的圓與線段AB沒有交點，那么不存在對稱軸DE具體位置的點E，也不存在符合題意的點A′.

教學反思

1. 增設變式題組，感受變與不變

學生的數學學習內容應該是現實、有意義、富有挑戰性的，這些內容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜想、驗證、推理與交流等活動. 數學教學的過程不僅是課本知識的傳授，更重要的是對學生數學能力的訓練和數學觀點的培養. 課堂教學中的例題無論選自教材上的例題和習題，還是試卷上的題目，在就題論題的講解和思想方法的歸納之后建議教師抓住幾個關鍵點，嘗試恰當改編，拓展追問，不斷豐富例題的教學價值，不斷增強例題的教學功能，促使學生的思維向多層次、多方向發散，有效提高課堂效果. 本著面向全體、潤物無聲、鼓勵挑戰的原則，教師結合題目的改編讓學生感受和領悟常見變式的策略：變條件、變結論、變解答過程以及復合式變式等類型編制變式訓練題，對提高學生分析問題和解決問題的能力大有裨益.

變式1 ? 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，D是AC的中點，點E在邊AB上，將△ADE沿DE翻折，使得點A落在點A′處. 當A′E⊥AB時，求A′A的長.

變式2 ?在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，點D是AC的三等分點，點E在邊AB上，將△ADE沿DE翻折，使得點A落在點A′處，當A′E⊥AB時，求A′A的長.

變式3 ?在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，D是AC的中點，點E在邊AB上，將△ADE沿DE翻折，使得點A落在點A′處. 當A′E⊥AB時，求翻折后重合部分圖形的面積.

變式4 ?如圖8所示，在△ABC中.∠ACB=90°，AC=4，BC=，點D在AB上，將△ACD沿CD折疊，點A落在點A1處，A1C與AB交于點E. 若A1D∥BC，求A1E的長.

變式5 ?如圖9所示，在△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，點D在BC邊上，把△ABC沿AD翻折使AB與AC重合，得△AB′D，求△ABC與△AB′D重疊部分的面積.

變與不變是世界永恒的規律，一方面：變是必然的，不變是不可能的;另一個方面：變是必需的，不變就不可能存在. 在眾多變式題組中變化的是背景三角形的形狀，不變的是背景三角形的邊和角的關系都能夠確定;變化的是各種結論要求，不變的是沿三角形內某直線翻折;變化的是點D的位置，不變的是點D始終在背景△ABC的邊上;變化的是翻折后產生的新的線段與原有線段的位置關系，不變的是根據線段的位置關系均可推導角度關系. 當然翻折的背景還可以改變成其他三角形或者平行四邊形，翻折的折痕可以使圖形內一條特殊線段，也可以是幾何圖形本身的邊，探索的問題可以是線段長度、角度大小，也可以是指定圖形的面積或周長等. 學生觀察這種題目的變化感受“變與不變”，方能體悟到變化和不變的關系;學生通過解題逐漸領悟在變化的題目中找到不變的方法，方能感知變式訓練和歸納小結的重要性，也更能體會數學學習讓自己的學習能力更具生機活力的重要性.

2. 重視數學思想，提高教學立意

在數學學習的過程中，通過觀察、分析、類比、聯想等思維過程，選擇運用恰當的數學方法進行變換，將原問題轉化為一個新問題，通過新問題的求解，達到解決原問題的目的，這一思想方法我們稱之為“化歸與轉化”的思想方法. 化歸與轉化思想的核心，是以數學的觀點對所要解決的問題進行變形，就是在解決數學問題時，不是對問題進行直接分析，而是通過變形把要解決的問題，化歸為某個已經解決的問題，從而求得原問題的解決. 它的基本形式有：化未知為已知，化難為易，化繁為簡，化曲為直等等. 轉化與化歸思想在數學學習中占有十分重要的地位，數學問題的解決，總離不開轉化與化歸，如未知向已知的轉化、新知識向舊知識的轉化、復雜問題向簡單問題的轉化、不同數學問題之間的互相轉化、實際問題向數學問題轉化等. 各種變換、具體解題方法都是轉化的手段，數學思想中符號化就是將文字問題轉化為數學符號，數形結合其實就是“數”與“形”的互相轉化，類比思想其實就是用“舊能力”轉化為“新能力”，建模思想和應用意識是數學問題與實際生活問題的互相轉化，創新意識是現在向未來轉化. 轉化的思想方法不僅貫穿了所有的數學教學內容和解題過程，而且直接影響學生的數學觀和學習觀.

在圓這一章的學習過程中，學生感受到最基本的解題策略就是“化曲為直”，將圓的相關問題轉化成三角形和四邊形問題. 然而這道崇明一模卷的第18題所代表的動點翻折問題中添加輔助圓，就將三角形問題轉化成圓來研究. 構造輔助圓的解題關鍵要善于發現隱藏在條件中與圓有關的信息，抓住題目特征，拓寬解題思路. 由于特殊的圖形背景呈現的條件，學生對于輔助圓從看不見到看見隱約閃現的圓，從看見隱約閃現的圓到看見直線型圖形背后自帶圓形光環. 通過添加輔助圓可以增強直線型和圓形的內在聯系，通過圓的有關性質找到解題途徑. 所以如圖10所示，這種轉化無疑是為圓以及其他曲線型到三角形以及其他直線型的轉化建立了平等關系、形成閉環，拓寬了轉化渠道，豐富了轉化方向，開闊了解題視野，推進了培養數學核心素養的進程.

輔助圓的出現不僅有利于幫助學生畫出準確的圖形，迅速找到解題的切入點，有利于養成數形結合的數學思想，而且能夠引導學生不重復不遺漏的解決復雜圖形中動點的存在性問題. 所以，大膽聯想構造出與題目相關的輔助圓，通過輔助圓讓幾何圖形中的特殊數量關系與位置關系顯性化，將直線性問題轉化為曲線型問題來解決，不失為一種特殊而行之有效的解題方法. 數學是理性的學科，數學教育以理性思維育人. 每一個例題都有著不可替代的教學價值，在教學設計中挖掘其中的育人元素，在課堂教學中關注學生的學習進程，在提問追問中引發學生的理性思考！