核心素養視角下“勾股定理”教學設計重構與思考

陸燕 陳算榮

[摘 ?要] 勾股定理被視為幾何學的寶藏，是數學中聯系數與形的第一定理，在實際生活中應用廣泛. 為落實數學核心素養的發展，研究者結合核心素養的相關內涵，對勾股定理這一經典內容進行了教學設計重構，以期通過該定理的教學落實發展數學核心素養.

[關鍵詞] 勾股定理;數與形;數學核心素養

在新課改浪潮盛行的今天，“核心素養”一詞無疑成為課堂教學的“頭條新聞”，我們正在經歷從知識核心時代向素養核心時代的轉變，“知識本位”的教育將逐步退出歷史舞臺，“學生為本”的教育應運而生[1]. 但在今天的數學課堂中，許多教師簡單地將“核心素養”與“考高分”畫上了等號，存在著許多教學方法應用不當的消極現象，極大影響了學生對數學知識的理解.

核心素養視角下對課堂教學的?認識

基于核心素養視角的課堂教學，教師需要從以下三個方面去改進自己的數學課堂. 一是教師要改變重記憶、輕理解的教學方法，填鴨式的教學只會導致學生機械般地將知識運用于題目的解答中，對數學的認知浮于表面，學生的思維沒有得到真正的提高，更談不上核心素養的落實. 二是教師要改變重知識、輕能力的傳統教學理念，努力突破當前應試教育大環境所帶來的弊端，應將重心由對分數的一味追求向發展學生的核心素養轉變. 三是教師要改變重形式、輕實質的教學模式，部分教師在教學中雖有讓學生探究的意識，但只是為探究而探究，并沒有將探究落到實處，學生無法從探究活動中提高自己的能力[2].

勾股定理在中學數學中占有重要的地位，它是解直角三角形的依據，同時在生活中有著廣泛的應用，是中考數學必考知識點之一，更是落實和發展核心素養的重要課題素材. 基于此，對《勾股定理》這一經典內容進行教學設計重構，以期供一線教師探討. 勾股定理的重構設計重點突出直觀想象、合情推理和數學抽象三大數學核心素養的落實，采取問題串的形式，讓學生結合問題情境，由特殊到一般，進而歸納總結出直角三角形三邊之間的數量關系，體驗數學家們發現勾股定理的過程，燃起對數學學科的濃厚情感.

核心素養視角下勾股定理教學

設計重構

1. 生活情境導入

問題1：木棒能放進木箱嗎？

現有一根長40 cm的木棒，將其放入一個長、寬、高分別為30 cm、20 cm、10 cm的木箱，能否成功放入？

教學策略：（如圖1所示）大部分學生根據生活常識知道應按AB方向放置木棒，但運用已學知識無法求出AB的長. 在此情景下，教師就勢引出課題，求AB的長需要學習新的知識“勾股定理”.

設計意圖 ?從生活問題出發，創設教學情境，引出研究的對象，讓學生帶著問題有目的地去學習新知. 此外，借助長方體木箱這一立體圖形還有助于對學生幾何直觀能力的培養.

2. 問題導引探究

【活動一：追溯歷史，形成猜想】

問題導引：通過之前的學習，我們知道了任意一個三角形三邊之間的數量關系，并且研究了等腰、等邊三角形三邊之間的特殊數量關系，那么對于直角三角形，它的三邊之間是否也存在特殊的數量關系呢？

教學策略：用問題導引學生進入定理探究，該問題并不著急讓學生給出正確答案. 教師緊接著呈現問題情境2，引導學生從問題情境2中得到關于問題1的一些啟發.

問題2：畢達哥拉斯與“地磚”的美麗相遇.

在兩千多年前，畢達哥拉斯無意間發現朋友家地磚的圖案（如圖2所示）似乎蘊藏著某些特殊的規律，善于發現問題的他立馬聯想到“數”與“形”之間的聯系. 然后他便開始不斷地探索和求證自己的發現，最終得出了著名的畢達哥拉斯定理，這個定理就藏在圖3中，觀察圖3中深色部分的圖形，你能有所發現嗎？

教學策略：引導學生觀察深色部分中間的直角三角形的三條邊與正方形的關系，提示學生可以從三個正方形的面積與中間直角三角形三邊的關系出發，進而啟發學生發現這個圖中直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 在此過程中，為了方便學生觀察和研究，教師將生活中的地磚圖案抽象成數學圖形，如圖4所示.

設計意圖 ?通過融入數學史素材，讓學生體驗數學家發現勾股定理的過程. 有趣的歷史材料一方面為冰冷的數學定理教學注入滾燙的新鮮血液，另一方面可以鍛煉學生從幾何圖形中歸納出數量關系的能力，潛移默化地發展學生的幾何直觀和邏輯推理素養. 借助方格紙，學生很容易求出A和B的面積，至于C，它雖然是斜置的，但此時它占格規則，學生利用數方格的方法也極易求出它的面積.

問題3：我們觀察圖4會發現中間的三角形為等腰直角三角形，那當它是一般的直角三角形（如圖5所示）時，這一規律是否還成立呢？

教學策略：組織學生進行小組合作討論，然后讓小組代表有序匯報自己的發現. 學生會繼續采用數方格的方法，但隨即會發現此時C的占格不規則，無法準確求出C的面積，產生了認知沖突. 這時教師啟發：一個圖形的面積不能直接求，我們還有哪些間接的方法來求解？引導學生關聯已知，得出用割補法、旋轉法等去求C的面積.

設計意圖 ?遵循學生的認知發展規律，新知編排由簡到難，從特殊到一般，并以學生探究為主，有助于發展學生類比遷移的能力.

問題4：圖5中的直角三角形放在方格紙上，這些直角邊長都是正整數，它們的三邊之間已證明滿足“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”，那么，對于更一般的、三邊長為任意大小的直角三角形，其三邊是否還存在這個關系？

教學策略：在學生欲求而不得的情況下，教師及時輔以幾何畫板（如圖6所示），讓學生觀察：不同大小的直角三角形的三邊都存在著這樣的規律.

設計意圖 ?教師通過問題情境或問題導引逐層鋪墊，引導學生從特殊到一般，猜想和驗證勾股定理.

【活動二：合作探究，證明定理】

問題5：不利用網格和幾何畫板，還有其他方法證明勾股定理嗎？請同學們拿出提前準備好的4個完全相同的直角三角形，你能嘗試用拼圖的方式證明這個定理嗎？

教學策略：給學生足夠的時間嘗試，教師也深入小組一起探討和嘗試，并鼓勵學生得到一種拼法后，嘗試是否有其他的拼法. 教師選擇展示以下兩種能夠證明勾股定理的拼法（如圖7所示），引導學生類比之前“轉化”的啟示，發現可以采用面積法來證明勾股定理.

設計意圖 ?通過拼圖游戲讓學生自己經歷勾股定理的證明過程，將主動權交還給學生，滿足了他們探究的欲望，讓他們真正掌握數學知識背后的本質.

【活動三：觀看幾何畫板下的勾股樹，感受數學迭代之美】

在證明完勾股定理之后，教師利用幾何畫板軟件向學生演示一個美妙的動畫——勾股樹（如圖8所示）. 在驗證勾股定理的過程中，展現給學生勾股定理相關知識中蘊含的數學之美，讓他們體會到數學迭代的無窮魅力.

3. 育人價值挖掘

【活動四：史料介紹——《九章算術》中的勾股定理】

問題6：《九章算術》中有關勾股定理解題方法有以下描述：“勾股各自乘，并而開方除之，即弦. 又股自乘，以減弦自乘，其馀開方除之，即勾. 又勾自乘，以減弦自乘，其馀開方除之，即股. ”同學們能否嘗試用白話文或數學語言翻譯這段話的意思？

教學策略：教師鼓勵學生嘗試，并根據學生的回答進行提純或完善.

設計意圖 ?在課堂教學中穿插數學史，一方面讓學生感受到勾股定理所蘊含的豐富理論內涵，體會古人的偉大創新精神，激發學生的民族自豪感，對勾股定理的學習產生濃厚興趣;另一方面能夠加深學生對數學本質和數學思想的理解，從而更好地促進學生數學核心素養的生成.

4. 小結和課后拓展

【活動五：開放式小結】

問題7：請同學們回顧整節課. 發現和探究勾股定理證明的過程，你從中獲得了哪些定理學習的經驗和情感體驗？

教學策略：鼓勵學生積極表達.

設計意圖 ?幫助學生積累定理學習的活動經驗，領悟知識和技能學習之外的過程與方法、情感與態度等的學習價值.

課后拓展：勾股定理被視為幾何學中的寶藏之一，千百年來，人們提出了關于它的400多種證明方法，這其中包括普通的數學業余愛好者，著名的數學家，甚至有國家總統. 請同學們課后去查閱資料，了解更多的證明方法，并對這些方法進行歸納整理，寫一份勾股定理證明的總結報告.

設計意圖 ?引導課后學習，培養學生獲取信息和重組信息的能力，把課內學習自然延伸到課外.

核心素養視角下的數學教學設

計思考

1. 核心素養視角下的教學，教學問題的設計是關鍵

本節課以問題來貫穿整堂課的教學. 毫無疑問，問題教學法是調動學生好奇心，讓學生真正參與到課堂互動的一種有效方式. 以學生熟悉的生活問題引入，以所學的等腰、等邊三角形為基礎，逐步引導學生發現直角三角形的直角邊與斜邊的特殊數量關系，并進行大膽地猜想，問題的設計符合學生遞進式的思維. 從借助網格猜想勾股定理的內容到抽離網格驗證勾股定理的過程，逐步培養學生的數學抽象能力和幾何直觀能力. 最后，通過給學生留下一個主題作業，鼓勵他們去了解勾股定理更多的證明方法，不僅可以鍛煉學生獲取信息的能力，還可以訓練學生的語言文字表達能力，實現跨學科融合教育.

2. 核心素養視角下的教學，學生數學思維的發展是主線

對于勾股定理的教學，若直接給出定理的內容及其證明方法，學生會覺得冰冷無趣，但若采用教師引導啟發下的適度探究，不僅能大大增加學生的學習興趣，而且在問題導引下，不斷激發學生思考，使學生的思維得到不斷發展. 讓學生在教師的幫助下體驗數學家們發現勾股定理的過程，學生充分體驗了利用轉化的思想將直角三角形的邊長與正方形的面積關聯，整合運用已有知識，有效解決問題，達到有深度的學習.

3. 核心素養視角下的教學，數學文化的弘揚是精髓

探索勾股定理的過程中，本課例嘗試將數學史與課堂教學相融合，讓學生從畢達哥拉斯與地磚的美麗相遇中猜想勾股定理的內容，再到利用《九章算術》對勾股定理的描述，讓學生鞏固勾股定理的內容，感受古今中外數學家們努力鉆研的偉大創新精神，感悟數學文化的無窮魅力，并以此激發學生學習數學的興趣和學好數學的動力，落實立德樹人的根本任務.

4. 核心素養視角下的教學，學生核心素養的發展是最終目標

基于數學核心素養的課堂教學強調知識發生、發展的過程，強調學生探究新知的經歷[3]. 因此教師既要教會學生基本的知識和技能，更要關注對數學基本思想和方法的感悟，以及基本數學活動經驗的積累[4]. 當學生學完勾股定理后，學生不僅能利用勾股定理去解決相關的數學問題，而且能領悟到其中的數學思想方法，使“核心素養”在數學課堂教學中真正地落地生根.

參考文獻：

[1]周竹群. 談新課程視角下“以人為本”的數學教學[J]. 小學教學參考，2020（27）：23-24.

[2]陳算榮. 核心素養視角下數學教學實施的理論與實踐——基于《等比數列的前n項和》同課異構的比較與評價[J]. 教育研究與評論（中學教育教學），2019（05）：62-67.

[3]姜志敏. 基于學生數學核心素養培養的課堂教學探究[J]. 蘭州教育學院學報， 2018，34（05）：127-128.

[4]中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準[M]. 北京：人民教育出版社，2018.