基于“慢”生成、“深”理解的概念教學設計與實踐

梁錦連

[摘? 要] 概念教學是數學學科新課教學的重要環節，是課程教學的重點. 理解概念要重視概念的導入方式，概念的導出過程的重點在于“慢”，讓學生在學習新知的過程中能自我探究、發現和解決問題，培養學生觀察、類比、歸納、總結、創新等思維.

[關鍵詞] 理解概念;“慢”生成;“深”理解;解決問題

[?]發現問題

理解概念的深度對學生能否打好數學基礎有很大的影響，沒有把概念理解清楚，原因有很多，可能是教師本身在課堂上對概念的講解不夠重視，因為教學進度而對概念輕描淡寫;或者講解的深度不夠，學生還沒有真正理解概念就進入了下一環節;或者學生只是按照教師設置的思路去思考問題，缺乏自主發現問題、探究問題、概括和歸納概念的過程，因此掌握得不夠透徹.

其實，教學目的就是讓學生在掌握新知識的過程中學會數學思考，培養學生自主發現問題、研究問題和解決問題的能力，學會獨立思考是最大的收獲. 因此，在講授新知識新概念的過程中，要注意以下幾個方面：

一是概念的導入方式要有吸引力.學生學習數學普遍存在著這樣一種感覺：數學難學，而且枯燥，甚至學了在生活中好像也用不上. 因此，在導入新課時，需要準備與生活比較貼切的情境，讓學生明白生活中有問題需要用數學知識去解決，提高學生學習的積極性，讓學生愿意參與課堂活動，渴望去掌握新知.

二是概念的導出過程的重點在于“慢”.在學生對引例比較感興趣的情況下，讓學生自主發現問題，經過自主研究（或者小組討論）后解決問題，給學生足夠的時間去思考、去探究，允許學生犯錯，并舍得時間去糾錯. 這樣，即使學生最后沒有歸納出概念，但在這個過程中對學生數學思維的鍛煉還是有較大幫助的.如果學生能自己歸納出概念，那么對學生學習數學的積極性與信心都有很大的提高.

三是概念的講解過程要抓住關鍵字詞. 從教多年，發現學生對待書中的概念，要么是粗略地讀一遍，要么是拿紅筆在概念下面畫橫線（表示自己已經掌握了），但是忽略了概念中的關鍵字詞，對概念的理解也是不夠深刻的. 比如，在講解等差數列的概念時，關鍵字詞是“從第二項起”和“同一個常數”，這兩個條件缺一不可！如果學生沒有注意到，那么判斷一個數列是否為等差數列時可能就會出錯，此時教師可以舉反例讓學生去體會關鍵字詞的作用.

四是對概念的理解要有深度.概念的理解過程中，僅抓住關鍵字詞還不夠，關鍵字詞只是形成概念的一種條件，對概念內涵的理解還沒有達到目的. 比如，上面提到的等差數列的概念，部分學生對“每一項減去它的前一項”的理解只停留在他們所接觸的等差數列的特殊形式中（如a-a，a-a），而沒有把這個內容進行拓展，延伸到等差數列的一般情形中（如a-a，a-a），也沒有意識到其既可以代表有限項，也可以代表無限項. 如果對概念的理解有一定的深度，那么學生可以發揮自己的創新思維，歸納推理能力也會提高.

五是對概念的理解要做到及時鞏固. 對概念的理解做到及時鞏固，不僅能及時反饋學生是否掌握了本節課所學的新知識，也是學生思維能力提升的關鍵時刻. 另外，若在課堂練習中添加變式教學模式，對概念理解的效果能起到更好的作用.

概念教學是學生掌握新知識的重要環節，也是學生提升數學思維能力的關鍵時刻. 若要讓學生達到夯實基礎的目的，則在概念教學的過程中不能操之過急. 下面，筆者以“離散型隨機變量的均值”教學為例進行說明.

[?]課堂實錄

1. 問題情境，引入概念，開啟思維

師：同學們都知道，我們在每個學期中都會遇到各種各樣的測試. 例如，數學每周就有周測，還有月考以及期末考，成績的高低衡量我們所學知識的掌握程度.

師：若同學A平時的周測成績都在90分左右，可是他期末考試那天由于身體不舒服，結果只得了60分，因而他父母就認為他學習不夠努力，你們覺得這樣的評價對于同學A來說公平嗎？

師：若同學B平時的周測成績都在50分左右，可是他期末考試那天發力了，結果得了90分，你認同老師給他“優秀”等級嗎？

師：若讓你來評價這兩位同學的成績，你覺得應該怎么處理才是公平的？

生：我覺得應該按比例評價更公平，比如按照平時考試成績占65%、期末考試成績占35%的比例作評價.

師：你們能按照這種評價方法計算綜合成績嗎？（讓學生自己動手嘗試計算，體會這種計算模式）你的結論是什么？

生：我是這樣計算的：同學A的成績是90×65%+60×35%=79.5（分），同學B的成績是50×65%+90×35%=64（分）.

師：你們認為這種評價方法公平嗎？

生：公平，因為這樣更能反映他們的真實水平.

師：我們把65%和35%稱為“權”（權衡輕重的數值），算出來的79.5分和64分稱為“加權平均”（計算若干數量的平均數時，考慮到每個數量在總量中所具有的重要性不同，分別給予不同的權數）.

設計意圖：針對上面兩位學生的情況作評價，使學生有較大的感觸，認為單一地從期末考試成績評價這兩位同學有點不公平，所以學生會綜合他們平時的考試成績以及期末的考試成績作出相應的調整，給出了權重這種衡量方式，求出加權平均值后綜合評價他們的真實水平，讓學生意識到平時學習新知識的重要性，對這節課后面的學習做了很好的鋪墊.

2. 激學導思，形成概念，交流思維

師：若某商場要將單價分別為18元/kg、24元/kg、36元/kg的3種糖果按3∶2∶1的比例混合銷售，混合糖果中每一粒糖果的質量都相等，如何對混合糖果定價才合理？

師：如果將價格定為18元/kg會怎樣？

生：低了，商家會虧本！

師：如果將價格定為36元/kg又會怎樣？

生：高了，可能會賣不出去，商家還是會虧本！

師：你認為以算術平均數==26來定價合理嗎？

生：（沉思后回答）感覺不太合理.

師：你認為該怎樣定這個價格更好？

生：我認為應該用權重這種方法來定價更好，即18×+24×+36×=23.

師：你能解釋該問題中權數代表的實際含義嗎？

生：我認為權數代表每種糖果在總量中占有的比例.

師：在樣本中任取一顆糖果，權數代表抽到的糖果是對應價格的概率.

在混合糖果中任取一顆，它的實際價格用X表示，X的分布列為：

合理價格=18×+24×+36×=23，即合理價格=18×P（X=18）+24×P（X=24）+36×P（X=36）=23.

我們把這種計量方式稱為“離散型隨機變量的均值”.

設計意圖：從身邊的實際例子出發，引起學生的興趣，讓學生自己試著給混合糖果定價，學生會想盡辦法讓混合糖果的價位更合理. 通過這個過程，讓學生理解權數的運用，初步領悟概念“離散型隨機變量的均值”.

定義“離散型隨機變量的均值”：

一般地，若離散型隨機變量X的概率分布列為：

則稱E（X）=xp+xp+…+xipi+…+xnpn為隨機變量X的均值或數學期望. 它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.

師：你能概括一下求離散型隨機變量均值的步驟嗎？

生：先明確離散型隨機變量可能取的值，再求這些值所對應的概率，然后再按照這個公式進行計算.

歸納求離散型隨機變量均值的步驟：①確定離散型隨機變量所有可能取的值;②寫出分布列;③求出均值.

設計意圖：先熟悉離散型隨機變量均值的概念，再明確求離散型隨機變量均值的步驟，讓學生對所學知識有概括歸納的鍛煉;然后聯系學習過的知識，引導學生進一步理解離散型隨機變量均值的含義，以及理解用其解決實際問題的原理.

師：根據氣象預報，某地區近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01.該地區某工地上有一臺大型設備，遇到大洪水時要損失60000元，遇到小洪水時要損失10000元.為保護設備，有以下3種方案：

方案1：運走設備，搬運費為3800元.

方案2：建設保護圍墻，建設費為2000元. 但圍墻只能防小洪水.

方案3：不采取任何措施，希望洪水不發生.

試比較哪一種方案好.

師：你會通過什么方式對比這幾種方案呢？

生：看哪個方案的損失最小.

師：我們要通過怎樣的計算來比較3個方案損失的大小？生：可以嘗試求隨機變量的均值. 用X，X和X分別表示3種方案的損失：

采用方案1，無論有無洪水，都會損失3800元，即X=3800.

采用方案2，有大洪水時，損失2000+60000=62000（元）;沒有大洪水時，損失2000元，即X=62000，有大洪水;

2000，無大洪水.

采用方案3，則X=60000，有大洪水;

10000，有小洪水;

0，無洪水.

師：你能寫出它們各自的分布列并求出隨機變量的均值嗎？

生：X的分布列為

則E（X）=3800，E（X）=62000×0.01+2000×（1-0.01）=2600，E（X）=60000×0.01+10000×0.25+0×0.74=3100. 采取方案2的平均損失最小，所以可以選擇方案2.

師：值得注意的是，上述結論是通過比較“平均損失”而得出的. 一般地，我們可以這樣來理解“平均損失”：假設問題中的氣象情況多次發生，那么采用方案2可使損失減到最小.

師：我們選擇方案2一定是最好的嗎？為什么？

生：不一定. 概率只表示可能發生，不一定就是發生或者不發生.

師：由于洪水是否發生以及洪水發生的大小都是隨機的，所以對于個別的一次決策，采用方案2也不一定是最好的.

設計意圖：這個例題相對較難，學生不一定能夠想到通過求3種方案各自的平均損失進行比較，教師一定要作相關提醒，讓學生自己動手，嘗試一個個突破. 如果在教師的引導下能夠求出最佳方案，那么對學生學習的自信心會有較大的鼓舞.

[?]教學反思

本節課使用的是“問題串”教學方式，在教師的引導下，學生通過類比、猜想、歸納、概括等思維活動，逐漸理解和掌握所學知識，基于“慢”生成，達到教學目的.

在本節課的課堂實錄中，主要體現了以下幾個優點：①課堂學習內容源于生活實例，讓學生充分體會數學的應用價值，激發學生學習的興趣以及探究的積極性;②本節課的教學重點是突出邏輯推理能力和數學運算能力，關注學生思維層次的提升.當然，不足之處也得加以改正，有以下幾個地方：①課堂內容信息量有點大，需要掌握的知識點較多，基礎薄弱的學生容易被教師帶著走，不能做到自主學習的目的，因此課后要更多關注這些學生的掌握情況，要及時進行疏導和強化;②學習內容與前面知識的關聯較大，要求學生掌握的必備知識較多，對課堂教學質量有一定影響，需要注意課后作業的反饋，及時查漏補缺，達到預期教學目標;③課堂小結應結合數學核心素養而歸納總結，讓學生明確這節課的學習目的，理清自己是否掌握到相關能力.

概念教學的過程中，要滲透數學思想方法，培養學生的數學能力不能一蹴而就，急于求成，要關注學生的思維形成過程，在“慢”生成、“深”理解中達到高效課堂的目的.