抓好數學解題教學 促進解題能力提升

錢怡

[摘? 要] 解題課不僅在幫助學生鞏固基礎知識、強化基本技能上具有突出的價值，而且還可以有效幫助學生查缺補漏，讓學生更好地認識自己、發展自己;另外，借助解題課還能培養學生良好的思維品質，其在數學教學中具有不可估量的價值. 為了更好地發揮解題課的價值，教學中可以嘗試采用“學生先行、教師斷后”的教學模式，堅持“以生為主”，做好課前準備、課中探究和課后反思，從而有效發展學生的數學思維，促進學生解題能力提升.

[關鍵詞] 解題課;數學思維;解題能力

在傳統的教學中，大多數教師將知識、方法以“灌輸”的方式講完后，就會配以練習讓學生進行模仿和強化，借助練習讓學生理解相應的知識和方法，然這樣的練習較為機械. 雖然在章節練習中能夠取得較好的解題效果，然在綜合練習中，當學生面對新的問題、新的情境時往往就會感覺不適. 可見，傳統的教學方法存在一定的弊端，表面上學生能夠解決很多問題，然學生在學習上缺乏靈活性和深刻性，這樣只能將學生訓練成做題的“工具”，不利于學生長遠的發展. 為了改變這一現狀，教師有必要改變傳統的教學模式，在解題教學中側重發揮學生的主體價值，鼓勵學生通過獨立思考、合作交流的方式自主解決問題，采用“學生先行，教師斷后”的教學模式，給學生創設一定的空間去思考和探究，教師通過適時的引導，將思維引向深處，從而幫助學生認清問題的本質，總結和提煉出重要的思想方法，以此提升學生實際解決問題的能力. 筆者在教學“點到直線的距離公式的推導及應用”時，采用了“學生先行，教師斷后”的教學模式，取得了較好的教學效果，現將其分享出來，以期共鑒.

[?]教學實錄

1. 交流與探究

師：我們知道，點P（x，y）到直線l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距離公式是d=，那么你們知道這個公式是如何推導出來的嗎？現在請各小組合作探究，嘗試從幾何、三角、函數、向量、不等式等不同角度進行證明.

設計意圖：借助問題情境，指明探究方向，改變傳統的以教師講授為主的教學模式，鼓勵學生進行合作探究，嘗試應用以前所學知識來證明新的結論，以此既能實現舊知鞏固，又能借助多角度分析將相關的知識融合在一起，培養學生的綜合應用能力. 要知道，數學公式中往往蘊含著豐富的內容，若只是將公式拋給學生就進行簡單的強化訓練，那么學生將難以理解公式的真正內涵，抓不住問題的核心，這樣在解決問題時往往會出現思維障礙，因此教師要帶領學生參與到知識的生成過程中來，以此既能讓學生切身體會公式推導中蘊含的數學思想方法，培養思維的深刻性，又能讓學生在解題時可以靈活面對各種新的問題，培養思維的靈活性.

筆者給學生足夠的時間進行多角度探究，在巡視中對一些關鍵節點及時給予引導，課堂氣氛融洽，師生互動更深入.

師：大家都做得非常好，接下來請各小組展示一下你們合作探究的成果. （筆者讓每個小組派一名代表，選擇一個探究方向進行展示）

生1：如圖1所示，作PM∥x軸交直線l于點M（x，y），作PN∥y軸交直線l于點N（x，y），則x=，y=，所以PM=

. 根據等面積法可得PQ===.

師：非常好，從幾何的角度出發，利用“算兩次”的方法推導出了公式. 你們是不是也是這樣證明的呢？（學生紛紛點頭，表示與自己的證明方法相同）

生2：還可以這樣推導：如圖1所示，在Rt△PMQ中，PM=

，又直線l的斜率k=tanα=-，所以sinα=，所以PQ=PM·sinα=.

師：很好，利用斜率、傾斜角、同角三角函數等相關知識也可以完成證明. 我們一起來看看其他小組又是如何證明的.

生3：如圖1所示，設Q（x，y），根據題意可知Ax+By+C=0，

y-y）=0，但是列出方程組后卻解不出答案，難道這個方法行不通嗎？

生4：可以解，解得x=

生3：哦！這樣根據d2=PQ2=（x-x）2+（y-y）2繼續計算應該可以求解了.

師：該方法是解析幾何中的常用方法，不過對運算能力要求較高，想一想該過程能否進行優化呢. （因為該方法是解題的基本方法，筆者決定給學生充足的時間再思考）

生4：將方程Ax+By+C=0改為A（x-x）+B（y-y）=-（Ax+By+C），與方程B（x-x）-A（y-y）=0聯立，得

. （下略）

師：很好，將整體思想應用得淋漓盡致，方程變形后，使運算過程得到了有效的優化.

接下來在筆者的啟發下，學生又從函數、不等式、向量的角度進行了推導驗證，在推導驗證的過程中讓學生的思維能力和認知水平得到了提升. 多種推導方法的應用使許多看似不相關的知識點緊密地聯系在了一起，促進了知識的融合，有助于學生認知體系的完善和優化. 另外，整個教學過程以學生為主，學生在交流合作中實現了優勢互補，使課堂變得精彩紛呈.

2. 檢測與反饋

師：大家應用不同的方法進行了公式的推導，現在我們一起來驗證一下大家的掌握情況. （用PPT展示問題）

問題：已知曲線C是到點P

-，

和直線y=-距離相等的點的軌跡，l是過點Q（-1，0）的直線，M是C上但不在l上的動點;點A和點B在l上，MA⊥l，MB⊥x軸（如圖2所示）.

（1）求曲線C的方程;

（2）求直線l的方程，使得為常數.

第（1）問為基礎題，可設點N（x，y）為C上的點，則NP=，N到直線y=-的距離為

y+，根據題意易得曲線C的方程為y=（x2+x）. 對于第（2）問，學生因為經歷了前面公式的推導，思維更加靈活，解題時出現了多種方法：有的學生選擇求交點坐標解決問題;有的學生利用QA=求解;有的學生從整體入手，直接列出方程組求解;也有的學生利用的投影在直線l的方向向量上求解. 經過對比發現，較前屆學生，采用“學生先行，教師斷后”的教學模式，能有效地激發學生的潛能，使學生的思維更活躍，解法更多樣，解題效率有了明顯的提升.

[?]教學體會

解題課的教學模式多種多樣，不同的教師有不同的認識，教學中也會采用不同的教學方案，但無論應用何種教學模式都不能忽視學生的主體價值，要善于激發和調動學生的積極性，只有這樣才能讓學生真正學會思考、學會探究、學會解決問題.

與傳統教學模式相比，“學生先行，教師斷后”的教學模式有以下幾點作用：①既能充分暴露學生的問題，通過交流互動幫助學生查缺補漏，又能展示學生的新思路，培養思維的靈活性;②可以發揮個體思維差異的優勢，讓學生在互動交流中拓展思維，完善認知;③有助于幫助學生熟練解題方法，形成解題技能;④給學生獨立思考創設了良好的契機，有效擺脫教師思維定式的束縛，讓學生的思維擁有更為廣闊的發展空間. 該教學模式在培養學生獨立思考和合作探究能力等方面具有突出的優勢，其更易于觸發學生積極學習，更易于提高學生的數學素養.

當然，提倡“學生先行”給教師帶來了新的挑戰和新的壓力. 在傳統的教學中，學生的思路是跟著教師走的，教師只要課前做好充分準備，課中靈活呈現就能完成一節課的教學;而讓“學生先行”則課堂上勢必會出現新的問題，這也就為教學帶來了新的挑戰，教師不僅要通過巧妙的引導幫助學生自然地走上探究之路，而且在面對靈活的課堂生成性資源時要靈活調整教學策略，使教學活動更適合學生發展. 為了保證該教學模式能順利實施，首先，教師在課前要做好充分的準備，以“三個理解”為基礎設計高質量的問題，以此啟迪學生智慧的思維，激發學生的潛能;其次，在交流互動中，教師要融于其中，適當地引導學生，避免學生的思路“走偏”而影響到他們的探究信心和探究結果;最后，當學生展示交流結果后，教師應及時給予指導和評價，通過有效的拓展和延伸，構建完善的知識網絡，促進思維能力有效提升.

另外，解題教學中要充分發揮反思的力量，這是思維能力提升的前提和保障. 解題過程中有時會因審題不清、概念混淆、運算錯誤、忽視特例等情況而出現各種錯誤，那么有效反思可以規避錯解風險，提高解題準確率. 解題后要反思其他解題方法，對于同一個問題往往會有不同的解題方法，因此在平時練習時不要拘泥于一種解法，要引導學生多角度嘗試探究，這樣可以有效調動不同的認知，使學生的思維觸角伸向更深、更廣的層面，以此發展學生的思維能力. 同時，在反思過程中要引導學生進行總結和歸納，從而在解決一個問題的基礎上能夠掌握解決一類問題的思想方法，讓學生能夠從整體和全局上更好地理解并掌握新知，以此提升解題能力.

總之，在解題教學中要改變傳統的“就題論題”的講授模式，變“機械模仿”為“主動探究與合作交流”，讓學生真正地學起來，從而提高學生的解題能力.