自組織理論視域下的高中數學教學研究

方曉燕

[摘? 要] 概述自組織理論的思想淵源與自組織理論在教學領域的基本觀點，以“二項式定理”教學為例，提出了自組織理論視域下的高中數學教學路徑，以使學生在自我經歷中實現自我適應、自我改造和自我完善，真正實現學生的可持續發展.

[關鍵詞] 自組織;二項式定理;高中數學

自組織指的是事物內部的各部分都是為了其他部分和整體而存在，各部分之間會發生相互作用而構成一個有機的整體. 自組織理論強調系統內部各個要素自發地進行非線性作用，注重各要素的自行組織和自行發展，系統之外的外界條件只能影響而不能主導系統的發展. 將自組織理論引入教學領域，對教學系統各要素的自組織現象進行探究，對于進一步豐富教育教學理論、彌補傳統課堂的缺陷具有重要作用.

[?]自組織理論概述

1. 自組織理論的思想淵源

自組織理論產生于20世紀60年代，但自組織理論的思想根源卻源遠流長. 我國古代著作《周易·序卦》中記載“有天地，然后萬物生焉”，其中就蘊含著樸素的自組織思想;道家的代表作《道德經》中記載“道生一，一生二，二生三，三生萬物”，這也是自組織思想的哲學觀念. 以上觀點都認為，萬事萬物的產生和發展是在一個沒有外界特殊干擾的情況下發生的自組織過程. 在古代西方，也孕育出了樸素的自組織思想. 古希臘哲學家泰勒斯認為，萬物由水產生，最后又復歸于水，也體現出了樸素的自組織思維意識. 康德最早從哲學的角度提出了自組織的概念，他做過這樣的比喻：鐘表雖然有組織但并不是自組織的系統，它不能自創生、自演化、自修復，需要鐘表匠這種外力的作用. 1900年，法國青年物理學家貝納德在其論文中首次闡釋了自組織現象;20世紀60年代后，隨著耗散結構理論、突變論、協同論的誕生和發展，自組織理論體系最終確立起來. 由此可見，自組織理論是一個理論群，并非單一理論[1].

2. 自組織理論在教學領域的基本觀點

自組織理論認為，真正意義上的學習應該是學生的自主學習. 自主學習、合作學習和探究性學習才是教學本源的回歸. 高效的教學有時并不在于教師的設計有多么精細、教師的分析有多么透徹，也不在于教學的方法有多么精湛，而在于學生是否真正參與到了學習的過程當中、學習活動究竟有沒有實際發生. 如果教學設計不能使學生真正實現思維和情感上的參與，那么無論學習材料多么重要，也與學生無多大關聯. 因此，在自組織理論視域下，教學過程應該是教師、教材、學生和環境相互協同、相互作用的過程，是學生在掌握知識的同時，認知系統由無序走向有序、由被組織走向自組織的過程. 正是基于上述認識，我們必須認識到，學生是學習活動的主體，掌握知識、發展思維、提升能力和素養，終究是學生與外部環境相互作用的過程. 所以，教師進行教學設計時，必須充分考慮學生的自組織特性，為學生自組織提供外部條件，從而促進學生的發展[2].

[?]自組織理論運用于高中數學教學的研究

自組織理論的提出為我們更好地實現數學教育的價值提供了嶄新的思路和愿景. 筆者現以“二項式定理”教學為例闡釋自組織理論在高中數學教學中的運用，以饗同仁.

1. 創設教學情境，引發認知沖突

自組織理論認為，形成自組織的系統必須遠離平衡狀態，因為處于平衡狀態的系統不可能與外界有物質、能量和信息的交換，也就難以有新的發展. 而要打破系統內部的平衡狀態，就需要引發學生的認知沖突. 創設情境是引發學生認知沖突的有效路徑，教學中教師可以通過創設情境，引發學生認知沖突，將學生置于一種“心求通而未達，口欲言而未能”的不平衡狀態.

師：《道德經》中說道：“合抱之木，生于毫末;九層之臺，起于壘土;千里之行，始于足下.”這句話啟示我們，無論做什么事情，都應該從最基本的做起，經過長期的積累和堅持，才能有所成就. 同學們，如果我們每天都能進步一點點，哪怕是0.01，一年后我們也會取得很大的進步;相反，如果我們每天退步一點點，哪怕是0.01，一年后我們也會在不知不覺中有較大的退步. 你能用數學語言或者數學符號來表達這樣的事實嗎？

（學生討論）

生1：我們可以用（1+0.01）365和（1-0.01）365來描述上述事實.

師：在不借助計算器的情況下，我們怎樣才能快速計算出它們的大小呢？

（學生討論并嘗試寫出兩個式子的展開式）

生2：我們只能寫出（a+b）2和（a+b）3的展開式，根據現有知識，我們還無法計算（1+0.01）365和（1-0.01）365的大小.

師：要解決上述問題，就要用到二項式定理的相關知識.

教學中，教師創設生活化的教學情境，引導學生用數學的視角看世界，揭示探究二項式定理的必要性，引發學生認知沖突，激發學生的學習興趣.

2. 以問題為“抓手”，搭建思維的階梯

自組織理論認為，教學過程是教師、學生、教材與環境相互作用、相互協同的過程[3]. 如何實現這種“相互作用、相互協同”呢？筆者認為，當教師能夠切中要害不斷向學生提出問題并得到學生積極回應時，那么教師就已經在不斷地接近自己的目標了. 盡管自組織理論強調各個要素的自然發展，但是其用意并非要讓教師被動地追隨學生自然發展的進程，而是要求教師瞄準學生的最近發展區，向學生提出具有一定挑戰性的問題，從而為學生搭建思維的階梯，使學生在問題的引導下逐步加深對知識的理解，使學生的思維經歷一個緩慢爬坡的過程，最終做到“跳一跳就能夠摘到桃子”.

比如，教學中教師為學生設計了以下問題：

問題1：你是怎樣得到（a+b）2，（a+b）3的展開式的？

設計意圖：問題1意在激活學生已有的知識儲備和認知經驗，使學生思考組合數的由來，引導學生通過對較為簡單的特殊情況的分析，得出具有普遍性的基本規律，通過這種從特殊到一般的分析過程提高學生的歸納推理能力.

問題2：展開式中的項是怎樣確定的？

設計意圖：問題2意在引導學生建立起多項式乘法法則和推導二項式定理的聯系.

問題3：你能嘗試寫出（a+b）4的展開式嗎？

設計意圖：問題3意在引導學生根據多項式乘法法則探求展開式中每一項的構成及項數.

問題4：如何用組合數表示上述展開式中的系數？二項式系數的本質是什么？系數的本質又是什么？

設計意圖：問題4既是對以上問題的總結歸納，也為解決問題5、問題6鋪墊了道路.

問題5：你能根據以上三個式子，猜想出（a+b）n的展開式嗎？

設計意圖：問題5意在使學生經歷觀察、歸納和猜想的數學思維過程，讓學生參與到數學知識探究當中，感受知識產生的真實過程，積累數學思考的基本經驗.

問題6：二項式定理有哪些重要特征？

設計意圖：問題6是對以上問題的總結和深化，意在引導學生用數學語言描述數學本質，提升學生的數學理解能力和表達能力.

在自組織理論的指導下，教師以問題為“抓手”，讓學生經歷發現、交流和反思的過程，體驗數學的發生和發展過程，真正實現既“知其然”，又“知其所以然”.

3. 注重分析梳理，實現知識內化

“編筐編簍，重在收口.”梳理總結、建構體系既是一個知識內化的過程，也是一個學生對所學知識自組織的過程. 教師引導學生梳理知識線索，既能促進學生對所學知識的理解，還能讓學生的思維更有條理，培養學生的學習能力，提升學生的科學素養，實現學生的自適應、自改造、自完善.

比如，教師可以引導學生自主對二項式定理從展開式的結構（項數、指數、系數和二項式系數）等方面進行回顧和梳理，從而使學生實現對知識精準、深刻的理解;教師還可以引導學生自主對本節課所用到的“從具體到抽象，從特殊到一般”的思想方法進行梳理和總結，使學生真正看到知識背后的本質，把握數學思想方法;除此以外，教師還可以對課堂初始創設的情境進行回應——讓學生估算（1+0.01）365和（1-0.01）365的數值，得（1+0.01）365≈37.8，（1-0.01）365≈0.026. 此時，學生一定會感到非常驚訝，感悟到“積少成多，集腋成裘”的數學和哲學意蘊，數學教育的人文價值頓時顯現.

以學生為主體的分析梳理過程，是由“他組織”到“自組織”轉變的重要途徑. 通過梳理，學生形成了思維體系，將新知識納入原有認知體系，由此實現知識的同化與順應.

運用自組織理論指導高中數學教學是一個嶄新的課題. 它要求教師轉變教學理念，從強調以外部力量來改造學生的“他組織”教學理念轉變為順應學生需要、培養學生自主求知的“自組織”教學理念，讓學生在自我經歷中實現自我適應、自我改造和自我完善，真正實現學生的可持續發展！

參考文獻：

[1]? 李忠貴，郭建華. “自組織”理論下的數學解題教學的實踐與思考[J].中小學數學（高中版），2021（05）：54-58.

[2]? 李善良. 自組織理論視域下的數學教學過程[J]. 江蘇教育，2020（51）：22-24.

[3]? 沈俊. “序”與“續”：自組織理論的教學意蘊[J]. 中小學教師培訓，2020（05）：51-57.