怎樣求解與三角形有關的問題

陳燁

與三角形有關的問題經常出現在解三角形、三角函數、解析幾何試題中，其常見的命題形式是根據已知條件求三角形的邊和角的大小、判斷三角形的形狀、求三角形的面積及其最值.解答與三角形有關的問題，通常要靈活運用正余弦定理、勾股定理、三角函數的定義、誘導公式、輔助角公式以及三角函數的圖象、性質.下面結合實例，談一談與三角形有關的三類問題的解法.

一、求三角形邊、角的大小

求三角形的邊、角大小問題在解三角形中比較常見，通常要求根據已知的邊、角及其關系，或某個角的三角函數值求三角形的邊長、角的大小.在解題時，需根據題意，利用正余弦定理進行邊角互化，或結合圖形添加合適的輔助線，構造出規則的三角形，如正三角形、等腰三角形、直角三角形，再根據三角函數的定義、誘導公式進行求解.

本題是一類創新題，可從三個條件中任選兩個進行求解.若選條件①②，則需根據已知條件，利用正弦定理將題目中邊的關系轉化為角的關系，并使其向特殊角靠攏，這樣，就可以根據特殊角的三角函數值求得三角形的三個角的大小，進而求得 b，c 的大小.

求三角形邊角的大小，除了要靈活運用正余弦定理，還需借助三角函數知識.同時還要注意挖掘隱含條件：（1）三角形的內角和為180o ;（2）三角形中的大角對大邊，小角對小邊.

二、判斷三角形的形狀

常見的三角形有直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、銳角三角形、鈍角三角形.在判斷三角形的形狀時，往往要借助正弦、余弦定理，將題目中的邊角關系統一為邊的關系式或角的關系式，然后根據三角函數的定義、輔助角公式求得三個角的大小或關系式，從而明確三角形的三個角、三條邊之間的關系，以便判斷出三角形的形狀.

解答本題，需先將根據已知關系和余弦定理，求得 cosC 的表達式，然后借助基本不等式求得 cosC 的取值范圍，進而確定角 C 的最大值，求得三角形中三個角的大小，這樣，便可根據三個角之間的關系和正三角形的特點判斷出該三角形的形狀.

由于已知條件中給出了三角形的三個角之間的關系，所以要判斷△ ABC 的形狀，需重點研究角之間的關系.根據兩角和的正弦公式和特殊角的值sin0=0，判斷出 A = B ，即可判斷出三角形的形狀.判斷三角形的形狀，必須明確各種三角形的特點，如直角三角形中有一個角為直角，等邊三角形的三邊相等，等腰三角形的兩腰相等，銳角三角形的三個角為銳角，鈍角三角形中有一個角為鈍角.

三、求三角形的面積

求三角形的面積問題比較常見，通常要用到三角形面積公式 S =1 2 ah 或 S =1 2 ab sin C .若容易求得三角形的高和底邊長，則可根據公式 S =1 2 ah 求三角形的面積;若容易求得一個角的三角函數，則可根據公式 S =1 2 ab sin C 求解.無論運用哪種公式來求三角形的面積，都需靈活運用正余弦定理、勾股定理、三角函數的定義來求出三角形的邊或角的關系式.

根據已知關系式和正弦定理可快速求得角 B 以及 a、b 的關系式，便可根據余弦定理求得 a 的大小，最后根據公式 S =1 2 acsin B 求得△ ABC 的面積.

由于已知三角形的兩個角的三角函數值，所以可考慮運用公式 S△ABC =1 2 acsin B 來求三角形的面積.根據誘導公式以及兩角和的正弦公式求得角 B 的正弦值和 a 的大小，將其代入面積公式即可解題.

由此可見，解答與三角形有關的問題，不僅要靈活運用正余弦定理、勾股定理進行邊角互化，還需靈活運用三角函數中的基本公式進行三角恒等變換.這就要求我們熟練掌握解三角形、三角函數的有關知識，靈活運用數形結合思想、轉化思想.