絕對值概念及其應用的教學思考

赫秀輝

[摘 ?要] 絕對值作為初中數(shù)學的基本概念之一，在數(shù)學中具有廣泛的應用. 作為初中數(shù)學起始章節(jié)的重要內(nèi)容，是教學的難點. 文章從概念本質和概念應用兩個角度來闡述對這部分內(nèi)容的教學思考.

[關鍵詞] 絕對值;概念;教學;解題

絕對值是初中數(shù)學中最基本的概念之一，它是以數(shù)軸作為橋梁，利用“距離”這個基本的幾何量來定義的. 絕對值的概念是有理數(shù)一章中教學的難點，同時也是學生學習的難點，因此教師有必要圍繞概念的教學進行深入的考量，從概念的理解與應用兩個方面有效實施教學.

對絕對值概念的理解

1. 從定義看概念的教學

在教材中，絕對值是以數(shù)在數(shù)軸上的點與原點的距離來定義的，即用“距離”來定義絕對值，這體現(xiàn)了絕對值的本質. 對學生而言，借助數(shù)軸理解絕對值的定義，是直觀而容易的. 然而，教材配置的練習中缺少用絕對值的幾何意義解決問題的題目. 既然是從幾何角度定義的，應該讓學生通過解決問題充分體會這一本質.

教材對于絕對值的代數(shù)意義 ， 只用“由絕對值的定義可知” ， 并且分為三類情況來表述，形式上使用了分類思想. 事實上，一個數(shù)的絕對值仍然是一個數(shù)，只是依據(jù)數(shù)的不同屬性得到不同的值，它應是一個完整的數(shù). 因此，用一個式子來表達更準確，即應該表示為a=a

（a>0），

0（a=0），

-a（

a<0）， 這樣的表達有利于學生完整理解概念，并且整個表達形式與高中相關問題的表達形式是一致的.

值得注意的是，絕對值的代數(shù)意義既是從代數(shù)的角度表達絕對值，把絕對值作為一個完整的“數(shù)”來理解，也給出了求一個數(shù)絕對值的具體方法. 它是學生在解題中常用的方法，因此不能忽視它.

2. 從定義看知識的完善

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：對數(shù)學基礎知識的教學，不但要注重知識，還要注重知識的“生長點”和“延伸點”，注重知識間的邏輯聯(lián)系，使學生會把局部數(shù)學知識置于整體知識體系中，從而加強對數(shù)學的整體把握和宏觀認識. 絕對值作為一個數(shù)學概念，不是孤立的，它是數(shù)學概念中的一個有機部分，也是學習理解其他數(shù)學知識的工具. 在教學中，教師要引導學生聯(lián)系前面的內(nèi)容，幫助學生建立知識間的聯(lián)系.

絕對值的概念是建立在數(shù)軸和相反數(shù)的基礎上的. 一個數(shù)和它的絕對值具有確定的對應關系：一個數(shù)確定了，它的絕對值是唯一確定的數(shù). 反之則不然，a確定了，對應的數(shù)a也是確定的，但可能不唯一.具體地說，若絕對值是正數(shù)，對應的數(shù)a有互為相反數(shù)的兩個值. 若絕對值是零，對應的數(shù)a是零. 有的學生對于“一個正數(shù)的絕對值是它本身，一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0”記得很熟，但是往往在已知絕對值求字母的取值時漏掉一種情況，缺乏對這種對應關系的理解. 在教學中，應該注意強化學生這種對應的理解.

教學中要引導學生在絕對值的學習中進一步理解有理數(shù)的意義，即利用絕對值來說明正數(shù)、負數(shù)的意義. 一個數(shù)由符號和絕對值構成，例如-3，“-”號表示這個數(shù)的屬性，即表示一個負數(shù)，而3表示這個數(shù)的絕對值. 從數(shù)軸上看，“-”號表示這個數(shù)的位置在原點的左側，3表明它與原點的距離是3個單位長度. 這樣的理解有助于學生對于一個數(shù)形成完整的認識，也有助于建立知識之間的內(nèi)在聯(lián)系. 此外，絕對值符號a中的a既可以是一個具體的數(shù)，也可以是一個代數(shù)式. 在后面學習整式、方程以及不等式的相關內(nèi)容中，也需要注意深化對a的理解和應用.

絕對值概念的應用

促進深度思維的數(shù)學概念教學，關鍵在于深層理解概念并能遷移運用其解決問題. 絕對值的定義是概念，也是方法，而且非常明顯的具有代數(shù)和幾何兩種意義. 絕對值綜合問題的解決應緊緊圍繞概念進行.

1. 代數(shù)意義的理解

為了加深對概念本身的理解，化簡含有幾個絕對值符號的代數(shù)式，是常見的題目，解決這類問題的常用方法是利用絕對值的代數(shù)意義，將絕對值符號化去，將其轉化為不含絕對值的問題.

例1 ?（化簡絕對值） 已知a，b，c三個數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：a-b+a+c+c-b.

解答 ?由 a，b，c在數(shù)軸上的位置可知 a<0，b<0，c>0，且a

上面的問題是利用數(shù)軸上數(shù)的位置確定了數(shù)的正負，然后再利用絕對值的代數(shù)意義去掉絕對值符號，屬于概念的直接應用. 對于含有字母的問題，僅從數(shù)的角度去理解即可.

從概念可以得出，一個非零數(shù)和它的絕對值或是相等或是互為相反數(shù)，因此它們的商等于1或者是-1. 據(jù)此可以設計下面的問題.

例2如果abc<0，求++的所有可能值.

解答 ?因為abc<0，所以a，b，c中有兩個大于0，一個小于0或三個都小于0. 所以原式 =-3或1.

2. 幾何意義的應用

從絕對值的定義我們知道，a的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離. 相應地，x-a的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點與表示數(shù)a的點之間的距離. 在這個意義下，某些問題很容易得到解決.

例3已知x-2=1，求x的值.

解答 ?（從幾何意義去理解）方程x-2=1表示在數(shù)軸上表示數(shù)x的點與表示數(shù)2的點之間的距離是1，于是容易求出數(shù)x的值為1或3.

當然，此題也可以把x-2看作一個數(shù)，再根據(jù)絕對值的意義直接得到關于x的一元一次方程，這種方法可以在后面方程學習中得以深化. 此題看似是方程問題 ，但是在第一章中的學習中，用絕對值的幾何意義去解決更符合學生認知，是對概念的進一步深化. 按照這個思路，求x-2>1或是x-2<1中未知數(shù)x的取值范圍，對學生而言也不是難事.

例4求y=x-2+x+3的最小值.

解答 ?方法一（利用絕對值的幾何意義），x-2的幾何意義是數(shù)軸上表示x的點M與表示2的點A之間的距離. x+3的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點M與表示數(shù)-3的點B之間的距離. 要求y的最小值，其實就是求這兩個距離之和的最小值. 顯然，當點M在點A與點B之間時，這個和最小，且最小值為5.

方法二（依據(jù)絕對值的代數(shù)意義，使用“零點分段法”化簡x-2+x+3，得到一個分段函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的性質得到最小值），因為當x=2時，x-2=0，當x=-3時，x+3=0，于是我們可以用-3和2將x的取值分為三段，得到分段函數(shù)y=-2x-1（x≤-3），

5

（-3

2x+1（x≥2），于是可求出這個函數(shù)的最小值為5.

上述兩種方法都是依據(jù)絕對值的意義，顯然幾何意義對于解決此類問題更簡捷. 更能體現(xiàn)出概念本質. 根據(jù)絕對值的幾何意義容易得到：

當且僅當a≤x≤b時，y=x-a+x-b（a≤b）取得最小值. 進一步推廣：

當a≤x≤a時，

y=

x-a+

x-a+

x-a+…+

x-a（n為正整數(shù)，a≤a≤…≤a）取得最小值，即當零點個數(shù)為偶數(shù)時，x取最中間兩個零點間的任何一個數(shù)時，y都可取得最小值.

當x=a時，y=

x-a+

x-a+

x-a+…+

x-a（n為正整數(shù)，a≤a≤…≤a）取得最小值. 即當零點個數(shù)為奇數(shù)時，x取最中間零點時，原函數(shù)可取得最小值.

利用上面的結論可以解決下面的問題.

例5求y=x-1+2x-1+3x-1的最小值.

解答 ?將等式右邊化為：

x-1+2x-1+3x-1=x-1+

x-+

x-+

x-+

x-+

x-，

根據(jù)上面的結論，當≤x≤時，y取得最小值1.

絕對值作為數(shù)學中的重要概念，在教學中應引起重視，其代數(shù)意義和幾何意義作為解決問題的一種重要方法，在不同階段強化不同. 在初中階段，應強化幾何意義的應用，讓學生深刻理解絕對值的“距離”本質，這也是絕對值概念的核心.