基于“問題鏈”學教模式下的教學設計及思考

鐘立權

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出，教師應該鼓勵學生積極參與教學活動，培養學生可以用數學的眼光觀察世界，用數學的思維來思考世界，用數學的語言表達世界，但是大多數過去枯燥無味的“滿堂灌”“一言堂”已被證明無法長久地吸引學生的注意力，更別談讓學生去經歷、體驗數學知識的產生及其發展過程了。因此，“問題鏈”教學模式由此而生了。

美國數學教育學家哈爾莫斯曾經說過，理論、定理、定義、證明、概念、公式、方法中的任何一個都不是數學的心臟，只有問題才是數學的心臟。所以，我們在課堂教學中應該積極創設合適的問題情境，通過問題鏈激發課堂的活力，讓課堂生動、活潑起來，讓學生的思維跳躍起來，使之積極參與數學發現與體會數學發展過程。

《禮記·學記》中所記載，“善問者如攻堅木：先其易者，后其節目;及其久也，相說以解。”這就要求我們在課堂教學中要把握事物發展的規律，從易到難、從簡單到復雜，解析問題，各個擊破，進而引導學生進行深度學習和研討，促進學生在解決數學問題時領略數學之美。本文以人教A版選修第二冊《導數的應用：導數與函數的單調性》探究活動課為例，闡述筆者基于“問題鏈”學教模式下的教學設計及思考。

《導數的應用：導數與函數的單調性》探究活動課實錄

本節內容取自人教A版選修第二冊5.3《導數在研究函數中的應用》，該節是在必修第一冊通過函數的圖象直觀，利用不等式、方程等知識，研究了函數的單調性、奇偶性、周期性以及最大（小）值等性質。而本章的前兩節也剛好學習了導數的概念、運算，讓學生接觸了導數是關于瞬時變化率的數學表達，它定量地刻畫了函數的局部變化情況，也知道了導數的幾何意義。那能否利用導數定性研究函數的性質呢？如果可以，那又如何來判斷呢？

在前面第一課時已經有一定基礎的情況下，筆者采用了問題鏈的形式來組織此節第二課時的課堂教學，讓知識的呈現得以層層深入，培養學生的數學思維，發展學生的邏輯推理、數學運算、直觀想象等學科素養，使得學生能夠把控整體、架構知識體系，同時也提高學生的分析解題能力。

根據函數的導數的幾何意義可知，若函數y = f（x）在區間

（a， b）內可導，則：

（1）若f '（x） > 0，則f（x）在區間（a， b）內是單調遞增函數;

（2）若f '（x） < 0，則f（x）在區間（a， b）內是單調遞減函數;

（3）若恒有f '（x） = 0，則f（x）在區間（a， b）內是常數函數。

切記：討論函數f（x） = x2 + 2x - 3lnx + 1單調性前務必先討論定義域。

例題1：討論函數f（x） = x2 + 2x - 3lnx + 1的單調性。

知情分析：學生在前面的基礎上已經掌握了基本的數學知識，可以由函數本身性質可知定義域為{x|x > 0}，且在定義域上的圖象是個連續不斷的曲線，因此可以利用導數的正負來判斷函數的單調性。

解析：由題意可知，f '（x） = x + 2 -? = ，

令f '（x） = 0，由于x > 0則x2 + 2x - 3 = 0，解得x = 1或

-3。當x∈ （0， 1）時，f '（x） < 0，則f（x）為減函數;當x∈ （1， +∞）時，f '（x） > 0，函數f（x）為增函數。

∴ 函數f（x）的單調增區間為（1， +∞），單調減區間為（0， 1）。

思考：在討論函數的單調性時，常常回歸到解不等式的問題，而解不等式又要依賴于相應的函數的性質和對應的方程的根的求解問題。

進一步思考：從剛剛的結論可以發現，函數的單調性常常因為定義域的限制而受到限制。（上題中對應方程的根是-3被舍去，討論單調區間也是從x > 0開始）

因此，我們拋出：

問題鏈1：若條件改為：討論函數f（x） = x2 - 3x + 2lnx + m （m∈R）的單調性。

設計意圖：同樣是求單調性，求導后也不含有參數，但是創設這樣的數學情境，有助于學生進一步掌握數學的本質，學會用發展的數學眼光來看待問題，培養學生的數學思維能力，讓其可以“跳一跳”，也“摸得著”，進一步嘗試用數學思維思考問題，這對培養學生的直觀想象、數形結合、數學運算和邏輯推理有極大的好處。

思考：這里雖然提到了參數m，但是對函數求導后發現與參數m的具體取值并無關系，這是因為參數m放在常數位置上，求導后為0，這也為后面的討論埋下了伏筆。

問題鏈2：若條件增加了“x > 3”，這樣單調性又當如何？

再次思考，我們就會發現得到一個可導函數的單調性時，常常借助導數在對應區間的正負零來判斷，而這些區間就是等待我們師生共同去發現的。

問題鏈3：討論函數f（x） = x2 - 3x + 2mlnx + 1 （m∈R）的單調性。

設計意圖：與上面不同的是，多了參數m，定義域不變，學生馬上討論起來，結果發現求導后同樣是討論分子的正負零，但是含有參數后，根的情況馬上變得復雜起來。在學生為主體的情況下，深挖題目潛藏的數學本質，使得學生積極參與課堂，成為數學活動經驗的感知者和體會者。

問題鏈4：如果條件增加為當x > 1結論又有什么變化？

從問題鏈3的探討中可以發現，師生都應該從上述的結論當中得到經驗和活動體驗，很快就可以發現，對應方程要是沒有實根，單調性很明顯;如果有實根時，那需要界定兩根與1的大小關系，這就極大地鍛煉了學生邏輯推理和數學運算的能力，培養學生了學生分類討論、函數與方程的思想以及數形結合的數學技能，促使學生數學學科素養的形成。

問題鏈5：如果條件增加為當x > m （m>0）結論又有什么變化？

與此同時，我們應該讓學生來提出問題，使得數學知識的呈現更加具有創新性和主動性，促進學生學習數學的興趣，也讓學生在問題鏈的設置中發現知識與能力環環相扣，主動參與教學活動，獲取數學經驗，達到理解數學的應用性，嘗試得出相應的數學技能的通性通法，強調數學的本質，把學生推向更高的層次，學生得到了鼓舞和推動，躍躍欲試，把課堂氣氛逐漸推向高潮。然后，我們引導學生觀察，發現如果再次改變參數m的位置，我們又當如何去討論單調性呢？

問題鏈6：討論函數f（x） = x2 - 3mx + 2lnx + 1 （m∈R）的單調性。

設計意圖：同前面類似，我們需要知道這個可導函數在某區間的正負來確定單調性，但是改變了參數m的具體問題，引導學生注意參數引起了根的變化。

參數m的位置改變后，學生可以發現，求導后的對應的二次的函數的開口方向是固定的，但是零點需要進一步來探討，這樣我們探討函數的單調性就觸及了學生的“最近發展區”，促使學生的深度學習，數學知識的內在聯系得以呈現、規律得以總結，而數學的學科素養得以養成。

通過上面的問題鏈發現，如果再次改變參數m的取值范圍的話，單調區間又會有怎樣的變化呢？

問題鏈7：討論函數f（x） = x2 - 3mx + 2lnx + 1 （m∈R）的單調性。（同樣地，把主動權交給學生，請同學們提出問題，設置參數m的取值范圍，并求單調區間）。

例如：將條件“m∈R”改為“m ≤ 4”，結論又當如何？

學生很快就可以發現：參數m的大小使得問題的討論更加細膩、更加深入，這樣我們可以抓住學生對數學的理性認識，在內容的理解上、在現在的課堂的內容的呈現上做到深挖和細耕，這樣為教學“果實”的豐收埋下伏筆。

問題鏈8：結合上述的討論，這個時候再次請同學們設置定義域的取值范圍，結論又有什么變化？

生：例如：補充條件x > 3，結論又當如何？

美籍德國數學家魏爾說過，數學是關于無限的科學。陜西師范大學羅增儒教授說，數學思想是對數學知識內容及其使用的方法的本質認識。古人亦有云，不憤不啟，不悱不發。此時的舉一反三，充分發揮了教育教學的德育功能，使得我們對數學的認識從有限到無限、從特殊到一般，充分理解并掌握此種蘊含的數學思想，貫徹落實“立德樹人”的人生觀、世界觀和價值觀的培養。

問題鏈9：從上面的討論繼續出發，如果同時改變定義域和參數m的取值范圍，結論是不是又有什么變化呢？同學們自發提出問題、研究問題、嘗試探究，最后師生共同完善相關的結論。

生：例如：補充條件x > 3，并將條件“m∈R”改為“m > 4”結論又當如何？結論是顯然的。

到了這里，再點一把火，燃起學生求知欲的熊熊大火，學生急切地渴望著更多的成就。老師再次提出改變參數m的位置，結論又會發生什么樣的變化呢？

問題鏈10：討論函數f（x） = mx2 - 3x + 2lnx + 1 （m∈R）的單調性。

可以發現令導數為0時，參數m被放在了二次項系數上，這個時候需要討論它是否為一元二次方程以及相關的根的問題。

至此，細心的同學可能又會發現，如同上述的問題鏈很相似，改變參數m的大小是否馬上得到函數的單調性呢？

問題鏈11：主動權交在學生手里，生：將條件“m∈R”改為

“m ≥ 4”，結論又當如何？

從問題鏈10的討論中很快可以得出結果。

這樣又衍生出一個新的問題，如果僅僅改變定義域，結論又當有如何變化？

問題鏈12：生問：在原來問題鏈10的基礎上，增加條件“定義域為（1，+∞）”。

思考：改變定義域后，問題就復雜多了，原因是除了需要考慮根與1的大小關系，還要考慮對應函數的開口方向。

那問題來了，如果同時改變了定義域和參數m的取值范圍，單調性又有何變化呢？請同學們繼續提出問題，思考“節點”，處理“轉折點”，并加以研究和探討。

問題鏈13：生問：在原來問題鏈10的基礎上，增加條件“定義域為（3，+∞）”和m < 1。當學生提出這個問題時，師生其實都發現了一個規律，我們只需要注意Δ>0時，根與3來比較即可。

因此，本節課通過一系列的問題鏈來帶動函數單調性進行深入的探討，倡導學生深度學習，發掘數學本質，積極地用數學眼光來觀察，用數學思維來思考，領悟數學思想方法，總結出分類討論、數形結合、函數與方程的思想等在此中的作用和意義，數學學科的核心素養自然而然得到了落實。

因此，一個好的問題鏈的設計應該目標明確、系統連貫、難度適度、啟迪創新;一個好的問題鏈設計決定了學生思維的深度和廣度，而這節課充分突顯了問題鏈的優勢，使得數學課堂學教高效而又深刻。

回顧與反思

整節課的設計是圍繞求函數的單調性來展開的，問題鏈的設計從簡單到復雜，從特殊到一般，從定義域和參數的變化入手，由淺入深，逐層分析，層層深入，由此及彼，循序漸進，從學生的“最近發展區”到“有思維深度的問題設計”，有效地沿襲由單元向主題發展的主線，進一步激發學生的學習興趣、熱情以及潛能，觸發學生思維的火花，使得學生更加全面、更加深入地理解數學本質，感知數學之美，課堂更加生動有趣，教學效果更加顯著，與此同時改變了以往高中數學課堂給人們單調、枯燥的印象，優化了課堂教學，提高了效率。

至此，“柳暗花明又一村”，只要學生有想法，敢想敢為，“眾人拾柴火焰高”“守住初心，方得始終”，可以把含參數的函數的單調性的探討如絲紗般一層一層地剝開，窺探數學之美，而這結果的形成，依賴于“問題鏈”的牽引。問題鏈的深度設計，使得數學學科知識的呈現有為有度、層層深入、環環相扣，促使學生理解數學知識的發展與變化及其延伸、深化數學知識內涵、掌握相應的數學技能技巧、領悟數學思想方法，使得學生能夠積極參與數學活動并獲取相關經驗，而數學學科核心素養的培養在課堂教學中也就得到了落實。