米山國藏如是說數學的精神、思想和方法

張露露　代欽

【摘要】日本著名數學家和數學教育家米山國藏的著作《數學的精神、思想和方法》，在中國數學教育界盡人皆知.米山國藏基于數學發展史的觀點，結合數學基礎、數學悖論、數學素養、數學與自然科學、數學與文學創作等之間千絲萬縷的關系，深入地闡述了數學的精神、思想和方法.同時，在他的論著中蘊含著大眾數學思想、正確認識數學的學術形態和教育形態的辯證關系對數學教育產生積極作用等深刻思想.自1986年中文第一版至2019年中文第二版的三十多年中，《數學的精神、思想和方法》對中國的數學教育產生了積極影響.

【關鍵詞】米山國藏;數學精神;思想;方法;數學教育

在數學教育領域，當我們提到數學的精神、思想和方法時，就會想到日本著名數學家和數學教育家米山國藏的《數學的精神、思想和方法》一書，自從該書中文版于1986年出版，就成了中國數學教育界的“良師益友”，帶來了豐富的思想和觀點.僅在中國知網上可以查到參考米山國藏文獻的論文就超過了一千篇.從小論文到著作都參考該書，甚至數學課程標準中亦出現“數學精神”的表述，其非凡的學術造詣不言而喻.米山國藏數十載耕耘于數學之精神、思想與方法的鉆研之中，加之當時日本在很長一段時間以來，還沒有一本論述這方面的書籍，于是，他便著手編寫《數學的精神、思想和方法》.米山國藏站在跨學科的立場上，對從古至今滲透在數學領域的精神真諦、重要的數學思想和諸多應用于實際的研究方法與證明策略提出了獨到見解.與此同時，針對如何引導學生領悟這些精神、思想和方法，給予了諸多具有啟發性的建議.

自1968年《數學的精神、思想和方法》在日本出版以來，便被翻譯成多種文字出版，在中國就有兩種不同版本.盡管該書已成為中國數學教育者的備讀之書，但至今未出現對該書的評介.故寫作本文旨在對該書進行深刻剖析，追溯著名數學家、數學教育家米山國藏的學術精髓，并結合米山國藏的其他學術成果，加深對數學精神、數學思想和數學方法重要性的認識，進而認真思考如何在新時代有效運用和發展米山國藏的數學教育思想.這對當今數學的繼續發展以及教給學生數學本質、培養其核心素養有著重要意義.

1米山國藏生平簡介

米山國藏，日本著名數學家和數學教育家，1877年1月1日出生于神奈川縣平冢市的真壁家，1889年3月27日從神奈川縣師范學校畢業，經歷了中學教師工作之后，1903年畢業于東京高等師范學校，1908年獲京都大學數學系理學碩士學位，1910年6月，任該校數學教授.1918年獲東北帝國大學理學博士學位，他的博士論文《連續的集合論》對當時日本數學界產生了極大影響，具有劃時代的意義.米山國藏在從事數學教學工作之余，還十分關心教師教育.1922年創設福岡高等學校任該校教授，他還擔任九州帝國大學工程系教授.其微分方程和復變函數理論課程被稱為“對教育傾注熱情，被公認為名課”[1].米山國藏還兼任文部省視學委員、文部省中等教員講習會講師及培訓專家，積極參與教師教育.1926年學術訪問德國，并于1930—1931年留學德國.他不斷豐富教育經驗，逐漸形成了獨特的教育理念.1937年退休后兼任福岡高中數學教授.多篇論文發表在日本著名數學雜志《東北數學雜志》上，其位相幾何學系列論文多達240頁.1917—1918年間學術成果尤為突出，產生了國際性的影響，被多種論著引用.如被R.L.拉姆的“Theory of Set Points”“Enzyklopadie”等引用[2]. 另外，還著有《數學的精神、思想和方法》《數學基礎》（全3卷）、《實變量函教論》[3]等.他認為應改革當時日本的教學方法，分清數學的學術形態和教育形態之間的聯系與區別，例如將幾何學以嚴謹的學術型知識教給學生是困難的，要發揮教育上的優勢，使其變為適合學生思維發展的形式教授，并就社會動向闡述了教法改革的必要性.他于1968年9月1日卒于京都，享年91歲.

2數學的精神、思想和方法

《數學的精神、思想和方法》是米山國藏多年來數學教育實踐和研究的結晶.他從始至終堅信數學的精神、思想和方法是數學發展經久不衰、勇攀高峰的基石，也是教育教學的中流砥柱.出于對數學精髓的敏銳察覺，米山國藏著手寫作此書.該書自1968年出版以來，受到廣泛歡迎，在日本多次再版，八年印行了十次（圖1）.1986年《數學的精神、思想和方法》中譯本首次出版（圖2），第二版于2019年10月出版（圖3）.

《數學的精神、思想和方法》的內容，顧名思義，便是以數學之精神、思想和方法為基礎拓展開來，為說明其重要性，米山國藏還介紹了因為它們的存在而使得數學發展的情況，即現代數學的面貌.數學的精神、思想和方法得以經久不衰，得助于數學工作者和發現者，隨后便談及從事數學工作的人應該具有的素質.基于傳統數學和數學發展的關系，米山國藏著重介紹了數學進步的來源——數學基礎，數學就是伴隨著這些基礎問題的解決歷程而不斷發展和進步的.

2.1數學精神

1986年，“數學精神”一詞隨著《數學的精神、思想和方法》一書的中譯本首次傳入中國而備受關注.米山國藏并沒有給出數學精神的精確界定，但在描述數學精神活動時，米山國藏指出，如果我們能熟練地運用數學，它將對解決數學以外的問題非常有效.這一觀點與英國經驗主義哲學家和教育家洛克的觀點不謀而合，洛克指出：“在心智之中養成一種連貫推理的習慣.……學了數學的人遇到機會，就能把這種推理方法遷移到知識的其他部分中去.”[4]米山國藏闡述了七種主要的數學精神，為了更好地探究這些數學精神，筆者做了邏輯圖，如下圖4所示.

根據《數學的精神、思想和方法》，米山國藏從數學的本質、發展、性質、作用與優勢等方面將數學精神總結為七個方面.

應用化的精神使得數學得以產生并運用在生活的方方面面.數學從為數不多的公理開始，通過符合邏輯的組合、推導和證明導出更多的定理和公式而去解決問題.在人類、自然界、社會中的應用表現出其普遍的意義.數學向前發展，就需要不斷發現與創新，這便是致力于發明、發現的研究精神的體現.它在數學上必不可少，要靠后人不斷探索.其中蘊含著米山國藏對數學教育研究工作者的殷切希望.在學校數學教學中，米山國藏強調要將其植入于數學教科書等載體之中，由老師將其提煉出來，以增強學生敢于探索和勇于實踐的能力.

數學各部分內容與方法發展的主要方式體現出擴張化、一般化的精神和組織化、系統化的精神，它在數學發展的歷程中隨處可見.例如幾何學的建構過程，最初由不同的人獨立發現幾何學各種定理，通過歐幾里得首次整理，將幾何學組織起來并系統化，從而導致了一門科學的誕生.又如函數概念的一般化，函數基本概念通過七次擴張，最初由萊布尼茲引入“函數”一詞，經過約翰·伯努利、歐拉、傅里葉、柯西、黎曼、狄利克雷、維布倫及倫內等數學家地不斷更正與改造，由最初的定義、“解析函數”、重新規定對應關系、概念擴廣、自變量變域限制的取消、利用變量定義函數到由集合定義函數的擴張等一系列過程，時至今日已經演變為應用廣泛的函數概念.數學研究者和數學教育者的常態化奮斗精神對于數學甚至整個科學的發展具有舉足輕重的意義.整個數學大廈的發展展現了統一建設的精神，當我們以較高的觀點去審視數學，就能發現這種精神的廣泛性.小到初等數學，大到高等數學，這種精神隨處可見.當正自然數、零和負自然數被我們統一建立起來時，整數數系就應運而生了.解決代數和幾何應用題時，我們總是傾向于找出復雜情形中相對簡單的一般化思路將問題簡化.正是這種精神的助推，統一建設起來的數學才愈加牢固.毋庸置疑，數學是伴隨著正確的知識系統逐步發展與進步的.

作為一名現代數學家，米山國藏不僅對數學有較深的研究，而且還涉獵哲學、藝術和文學等廣泛的領域.數學講求人們思考問題時思維的經濟化，就是花最少的思維去解決問題.這不僅是數學的作用和優勢，更是數學作為一門基礎學科持續發展的動力.在大多數人看來，數學是難學的，因為如果不按照數學的邏輯一步一步地學習，你就會因為中途缺少的那幾步而使前進的道路困難重重.這里的“思想”，實指“思維”.然而，米山國藏用“思想的經濟化”的精神告訴人們，數學是好學的，數學講求思維的經濟化，它是由簡單明了的思維與邏輯推理的結合逐步構成的.只要踏踏實實地逐步理解，便可掌握數學的全部內容.循序漸進，才是學好數學的捷徑.數學思想的經濟化精神源在于奧地利哲學家恩斯特·馬赫（Ernst Mach，1838—1916）、法國數學家、哲學家昂利·彭加勒（Jules Henri Poincare，1854—1912）和法國數學家雅克 ？偊b 阿達馬（Jacques Solomon Hadamard，1865—1963）等人的思想.正如彭加勒所說：“著名的維也納哲學家馬赫曾經說過：科學的作用在于產生思維經濟，正像機器產生勞動力經濟一樣.”[5]馬赫曾經也說過：“一個精選的名詞就能使思維有多么經濟.……數學是把同一名稱給予不同事物的藝術.”[6]數學思想的經濟化精神，對數學研究和數學教學具有重要的啟發作用.

最后，我們將談到數學的嚴密化的精神.眾所周知，數學的發展不同于其他學科，不是通過推翻先前的理論而發展，而是通過在前人理論的基礎上不斷創新，具有邏輯的成長.而使數學大廈變得堅固不可動搖的，便是數學自古以來嚴密的性質.同時，米山國藏重視數學的學術形態與教育形態的關系.他指出，當數學作為一種教育材料時，我們應考慮適合學生心理發展水平的嚴密性，即教育的嚴密性.如我們所學的函數概念，就是隨著年級的增加而逐漸加深的.

2.2數學思想

米山國藏認為，數學工作者以嚴密偉大的精神開拓了無限深遠廣大的思想空間，他們在其中尋求自己信念的滿足和人間的真正幸福[7].書中論述了十種重要的數學思想，如圖5所示.

融通數學思想，鍛煉思維能力.數學思想是人們對成百上千年來數學發展歷程的分析總結得到的，它是使數學無止境地向前發展的精神動力.米山國藏建議數學教師在教學時向學生滲透數學思想，鍛煉學生的思維能力.數學的本質在于思考的充分自由，要多鼓勵學生勇于探索的精神，培養學生一題多解的能力和習慣，使他們的開放性思維得以提升.就像米山國藏對待傳統數學思想與數學進步的關系那樣，教師要引導學生正確對待傳統數學與數學進步的關系，傳統數學于數學的進步猶如雙刃劍，既是后者的來源和動力，又可能對數學的發展產生阻礙.對此，在尊重傳統數學的基礎上，不斷對它們去粗取精、去偽存真的加工提煉，使正確的部分得以進一步發展[7]81，才能使數學得以進步.他倡導中小學數學教師在教書時要意識到數學的極限思想，例如在利用“路程時間=速度”這一公式解題時，教師要清楚這里算出來的速度只是平均速度，想要弄清楚每時刻的確切速度，就需要微積分等極限工具.在講授用“數學歸納法”作為工具解題時，讓學生認識到數學公理的不證明性，體會“不定義的術語組”和“不證明的命題組”的思想，等等.

法國詩人諾瓦利斯認為，數學是一門科學，同時也是一門藝術.數學教學中最重要的是讓學生體驗數學的美，米山國藏贊同詩人諾瓦利斯的觀點——數學是科學，同時又是藝術，它是用美的法則形式，去表現其天才的活動的，而且它是靠理性去造就和改善自然[7]238.在教學中，教師的首要任務就是培養和陶冶學生對數學美的感受性和創造力，啟迪學生的數學直觀與直覺.數學美無時不刻都在體現：圖形之中的對稱美，在定理公式之中的簡潔美和整齊美，以及整個數學所體現的嚴密美等等.數學又是神秘的，因為它總能在千變萬化之中得到亙古不變的數學定律，而數學并不是唯美地追求美，而是在邏輯的真假判斷與實踐的價值判斷的統一中追求美[8].例如，就公理體系來說，19世紀以后，羅巴切夫斯基幾何學的創立及其后在數學中掀起的公理化運動.有的數學家就認為，只要任意改變幾條公理，就可以自由創造出新的公理系統、新的數學理論，數學就可以脫離實際而發展[9].這顯然是一種沒有實踐價值的理論，脫離了理論或者實踐任一方面，都無法體現數學的魅力.法國科學家龐加萊曾說過：“能夠作出數學發現的人，是具有感受數學中的秩序、和諧、對稱、整齊和神秘美等能力的人，而且只限于這種人”[7]105.所以，在數學教學的實踐操作中，要注意培養學生理論與實踐相結合探求真理的能力，感受到數學的神秘美和形態美，加深對數學的興趣.

2.3數學方法

數學方法作為數學精神和思想的延續，具有重要的實際意義.正如米山國藏所言，通過精神活動產生思想，為了實現思想而研究出方法，作為其結果，就得出了許多數學定理、法則和公式[7]135.這本書介紹了貫穿于整個數學中最廣泛的研究方法和證明方法，關注點不僅在上述方法所得的結果上，并且還詳細闡述了方法的內涵與具體應用，對如何學數學和教數學提供了有益的借鑒.

在學校的數學教學中，找出對學生所提出的問題的解決方法或證明方法的方針、方法[7]102.教師要明白所教內容蘊涵的原理，以及在其背后龐大的知識系統，做到胸有成竹.作為一名數學老師，看問題要舉一反三，了解與題目有關的定理法則，針對學生所提問題，給出全面的解答.例如諸種方程解法的發現就是運用了這種思想方法.

在解決一般問題之際，一般問題包含了多種情形時的解決方法[7]105.對于相對復雜的數學問題，就會包含很多種不同的情況.此時，首先需要從相對簡單的特殊情形出發，疏通問題的命脈，然后去解決一般情形以及整個問題.例如對復變量線性函數幾何意義的研究，就是通過第一個簡單情形Z=f（x）=z+b、第二個簡單情形Z=az與第三個簡單情形Z=1/z，將這三種簡單情形結合起來，就能推出一般的線性方程Z=az+b/cz+d，并對論證方法的本質與推理方法進行了說明.可見，這些常用的方法是推動數學勇攀高峰、蓬勃發展的指明燈.

3米山國藏的數學教育思想

米山國藏憑借數十載數學教學、和科學研究的深厚經驗和長期的深思熟慮，凝結成了這本非常有影響力的、不斷啟發后人的佳作——《數學的精神、思想和方法》，其中蘊含著其豐富而獨特的數學教育思想.

3.1理解數學之能，則易貫穿百家

米山國藏認為藝術家、科學家和數學家素質是具有一致性的. 這一點可從德國著名思想家、作家和科學家歌德（Johann Wolfgang von Goethe，1749—1832）的身上體現出來.作為偉大的藝術創作家，他在自然科學所做的貢獻同樣令人吃驚，他發現了上顎骨片、發現并使用了比較研究法和發生學研究法、研究了“色彩論”等，同時還在地質學、氣象學等方面造詣頗深.可以看到，發明與創造新事物的人，不僅在數學創造方面，而且在其它領域，其所具有的素質在本質上是相同的.正如當有人就科技工作者的必修學科向著名的X射線的發現者倫琴請教時，倫琴說了這樣一句話：“對科學工作者必不可少的，第一是數學，第二是數學，第三還是數學.”[7]13由此可見，于己于他，數學都發揮著不可替代的作用.所以，理解數學，感受數學之美，則易貫穿百家.米山國藏認為，在數學中運用、訓練并得到精煉的精神活動，同時亦是人類的精神活動，會滲透到其他事物中去.實際上，對解決數學以外的問題，若巧妙地應用數學，會非常奏效[7]3.正如米山國藏感慨：如果偉大的發明家愛迪生再有相當程度的數學知識和數學訓練的話，不難想象，這會給他的事業帶來非常多的好處[7]250.

數學的真諦在于思維的自由開闊，這是數學思維的的奠石之基，使人們打破眼前事物的束縛，調動自己的發現、發明的精神，推動著數學不斷發展，人類的精神活動和思維活動亦有了長足的進步，這種精神不斷激勵著數學家們，才使得他們建立起遠遠超越現實的思維能力.米山國藏堅信，這種思想，直到遙遠的未來，都將永遠促使數學與其他科學技術無止境地向前發展[7]69.

3.2培養數學素養，才能終生受益

總結多年的數學實踐經驗，米山國藏領悟到：“學生們接受的數學知識，畢業進入社會后幾乎沒有什么機會應用，所以通常出校門不到一兩年，很快就忘掉了.然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數學的精神、思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等（若培養了這方面的素質的話），卻隨時隨地發生作用，使他們受益終生.”[7]序而數學的精神、思想和方法，對于學生來說，即使今后不再學習和鉆研數學，對他們產生的潛移默化的影響也會長久存在，即培養了數學的素養.

米山國藏還在“數學的實驗的、直覺的和心理的基礎”章節中，通過數概念產生的不同觀點闡述自己對直覺與直觀的認識.他認為，在教育上看，那些認為數概念的構成與空間概念有密切關系者，就會成為直觀主義教授[7]339.這與當今中國培養學生直觀想象核心素養有著共通之處，《普通高中數學課程標準（2017年版）》在直觀想象核心素養中指出，要提升學生的數形結合的能力，發展幾何直觀和空間想象能力;增強運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識;形成數學直觀，在具體的情境中感悟事物的本質[10].研究米山國藏的數學教育思想對現今的數學教育仍然具有重要的借鑒作用.

在傳統的教學過程中，研究正面問題往往大大多于研究反面問題及其原因，米山國藏亦認識到了這一點.正如希臘大哲學家蘇格拉底“產婆術”講學方法，首先重視的就是讓受教育者察覺自己原來間接的錯誤或不足，從而使虛心受教育者能夠對事物得到正確的認識[11]那樣，米山國藏強調了數學悖論在數學中的重要地位，正是因為這些問題使數學家日積月累地開動腦筋去鉆研，進而促進了數學的發展.那么在教學中，教師要循著悖論在數學中產生和解決的歷史脈絡，意識到從反面的問題出發引導學生，進而提高學生的反思能力.

數學是鍛煉思維的體操，為教師將數學的思想、方法和法則傳授給青少年提供了無數良好的知識和材料.但是，如果只讓學生學會書上的知識點、理解課本上呈現的內容，那么，在一段時間之后，學生學到的數學知識將會被遺忘.如果學生頭腦中只是對數學有知識層面的認識，學生學到的則是微乎其微的東西.正如米山國藏強調：“若數學教師以及數學書的作者，不去把教材中潛藏的這種精神、這些方法提煉出來，使之表面化，那么，就不能發揮它們應有的效果.”[7]32因此，他建議數學教師將數學知識中蘊含的精神、思想和方法提取出來并加以整理，然后以恰當的方式教給學生，才能令學生受益終生.由此可見，對于教育工作者而言，重要的是多探求蘊含在數學知識之中的思想方法，只有自己先將它們弄清楚，才能夠正確地傳授給學生.要注重培養學生數學素養的策略，讓學生即使忘記了數學知識，但是數學的精神、思想和方法也將深深地銘刻在他們的腦海之中，這才是最好的教育.

3.3善于總結探索，促進與時俱進

從古至今，數學從被發現開始就馬不停蹄地向前發展，主要歸功于那些數學教育和研究工作者以及熱愛數學的人們，是他們發現新的數學定理，并將原有的概念不斷地補充和擴張，才有了現代數學的龐大體系.因此，他們擁有著怎樣的素質，成了米山國藏主要研究的內容.這種研究為今后數學的發展提供了強大助力.擴張法即數學發展的一般化方法，很多數學的基本概念都是通過一般化而得以擴張.例如我們熟悉的數的概念，從古至今，它從自然數開始，逐步拓展其范圍，從而發展到整數、有理數直到超復數，未來也許還會以同樣的步伐發展下去.發現法，就是發現原本未被發現的定理和概念等.就像函數概念的發展，傅里葉創造性地發現了關于函數的傳統觀點從根本上是錯誤的，經過他的修正，才使得函數的發展走上了正確的道路，為后人的繼續研究掃清了障礙.與此同時，要領悟數學發現的兩大理論要素——數學發現者的出發點和輔助學科的發展.做數學研究的人還要注意數學以及其它學科的研究動向，對其了然于心，必要時進行應用.

對于數學研究工作者，米山國藏強調了刻苦努力的重要性.只有努力探索，才能給予我們發現的靈感，并將發現歸結為“努力—靈感—努力”的過程.數學發展的與時俱進離不開數學研究者的努力.所以，善于總結數學發展的精神、思想和方法，并不斷探索新的發展領域，勇往直前，孜孜不倦，就顯得十分珍貴了.米山國藏建議數學工作者：“不要局限在過去唯一的幾何學、唯一的代數學的狹小范圍內，而是從今天無比廣闊的數學領域中，去挑選對自己的研究工作最方便的工具，借以建立起比過去更進步、水平更高的學說，創造出應用方面的偉大成果來.”[7]412

3.4尊重學術形態，認識教育形態

米山國藏于1925年之前，在討論純粹的學術性數學和大眾數學教育的基礎上，提出了數學的學術形態和教育形態的觀點，并系統地論述了兩者的區別與聯系，進而給出實現數學教育形態方面的建議.

他認為，要嚴格區分數學的兩種不同形態——純粹數學和學校數學.與數學家所研究的純粹數學相反，學校教數學的目的，不僅是培養數學研究者，更多的是培養具有數學素養的公民[12].由此可見，使數學大眾化更為重要，使數學大眾化就是將數學的學術抽象轉化為教育大眾化的問題.概其要義，是使數學的學術形態轉化為教育形態的問題.因此，他首次提出了數學學術形態的幾大優點：（1）從傳統數學和現代數學的發展看，要保持數學的絕對的嚴謹性;（2）學術的數學追求其基礎的牢固性;（3）學術的數學有著顯著的一般性;（4）學科之間的邏輯關系的明確性;（5）抽象的科學研究的結果，一個學科中定理之間的邏輯關系的明確性.這些優點在與現實發生關系時才能充分顯示.米山國藏用德國著名數學家F·克萊因（C·F·Klein，1849—1925）的觀點進一步論證了自己的見解.F·克萊因認為，數學的生命在于與現實社會的交流和其應用的豐富性中.抽象的數學猶如學問的枯骨那樣，將數學對象僅作為空洞的符號來研究，等于送葬枯骨的鐘聲那樣[12]329.

另一方面，米山國藏用西方的貴族政治和庶民政治的關系來比喻作為學術研究的純粹數學和民眾所使用的數學的關系.這種比喻不一定恰當，但是說明了學術的數學和非學術的數學并非勢不兩立，而是從它們的起源發展上看，他們彼此之間具有密不可分的關聯性.在他看來，現代數學是在歐幾里得千辛萬苦、殫精竭慮才建立起來并在《幾何原本》公理系統基礎上發展起來的，而且在兩千多年的歷史發展中，無數個數學家付出勞動和智慧才能形成的[12]338.因此把這種學術的知識原原本本地教授給青少年是不合適的，無論是在他們的心理、智力和時間等諸方面，都是不可能實現的[13].因此，基于大眾數學的觀點，將學術的數學內容進行改造，把數學教學方法進行改善，這樣才能有效地實施學校數學教育教學[14].換言之，進行大眾數學教育的根本在于教材的選擇與教授法的改善.

以上所述，是米山國藏的數學之學術形態和教育形態的梗概，他在其多部論著中不同程度地闡述了這一觀點.我們再另撰文介紹，茲不贅述.

4結語

米山國藏將自己的一生都獻給了數學教育事業，他刻苦研究，一心做教育，培養了無數優秀的數學教師，他的成就不言而喻.為了讓自己的數學教育思想指導后世，他留下了這本數學名著，書中包含了大量的數學教學建議與實例.雖然我們無法得到他的親自指點，但是通過品讀他的這本代表作，我們就能夠受益良多，他的諄諄教誨，體現出了對數學教育研究工作者和學生的殷切希望.書中對數學本質的論述、學生如何學好數學方法的闡明、數學教師正確教導學生的闡述等都具有重要的啟發作用.

（1）理論與實際結合教學，培養數學眼光.

純數學與數學教育不同，前者是理論研究，而后者則是教授數學知識，需要數學教師知識上的充實以及在實踐中的不斷探索.數學的教學要傳授知識，更要培養學生的應用數學的意識與能力.米山國藏強調數學教育中要理論和實踐兼顧，并區分數學的學術形態與教育形態的關系.正如米山國藏所言，日本的教育以實踐性教學著稱，他們善于發現生活中數學的應用，并在其教科書中體現出來.例如，在三角函數的圖象與性質課后延伸中展現了斜切蘿卜皮就會得到漂亮的正弦曲線[15]，十分生動，尤其能激發學生的動手制作的興趣.章末還展示了研究耳機消除噪音以及避免聲音泄露的方法，其中的核心技術就以三角函數為模型原理進行.基于此呈現數學與現代科技的密切關系，不失時機地培養學生愛科學、用數學的志趣，進一步啟發學生用數學眼光觀察世界，值得借鑒.

（2）由簡入繁講數學，培壅數學思維.

米山國藏突出教師在指導學生自己解決問題時的方法，對于抽象的問題，解決它是困難的，應該首先嘗試解決同類的簡單具體問題，這是研究問題最有效的途徑.例如在解決N邊形內角和問題時，先引導學生從三角形、四邊形、五邊形等的內角和開始研究，進而得出答案.在解決問題和發現事物時，從簡單推及復雜，從特殊推介一般是米山國藏特別重視的發現法則，也是學習數學的一種思維，通過這種方法更好地引導學生用數學的思維思考世界.

（3）從教育角度教書，體悟數學之美.

米山國藏著重論述了與其教授數學問題本身的知識，不妨利用教育的角度傳授給學生數學的精神、思想和方法.例如高中的弧度制，作為課程標準與教師和學生公認的重點內容，弧度制的作用不僅僅體現在作為度量角度的單位上，隨著數學學習的深入，因為有了弧度制，使得解決數學問題更加簡潔與自然，弧度制因此體現了數學簡潔美與自然美.同時作為難點內容，教師可以在弧度制課堂中滲透三角函數的數形結合思想，加強理論與實踐的結合.如為學生安排視覺觀察和探索的活動，讓學生注意到使用半徑作為長度單位沿圓的外側測量弧.使學生了解在雜亂的自然界中，存在著具有美感的數量關系，從而培養學生對數學的真正興趣.[7]10提高對數學學習的求知欲，才能向著課程標準中的使學生用數學語言表達世界的目標邁進.

《數學的精神、思想和方法》蘊含著豐富的數學思想，其內涵之豐富，對當今培養學生數學素養亦起到重要的指導性作用.米山國藏提出的獨到的數學思維道路網，并指出學習數學實則是學習數學所蘊含的精神、思想和方法，它們才是數學熾熱的靈魂，學到了就會受益終生.他是日本數學家，但他以勤勉嚴謹的治學精神和孜孜不倦的教學研究，為世界的數學教育做出了巨大的貢獻.我們要銘記米山國藏思想之精髓，并將其運用在教學之中，為數學的發展與進步奉獻出自己的一份力量.

參考文獻

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作者簡介張露露（1996—），通訊作者，女，內蒙古赤峰人，內蒙古師范大學科學技術史研究院博士研究生;主要從事數學史與數學教育研究.

代欽（1962—），男，內蒙古師范大學科學技術史研究院教授，博士生導師;主要從事數學教育、數學史和數學哲學教學與研究工作.