近15年國內數學學習遷移研究綜述

【摘要】本文以“數學學習遷移（Transfer of mathematics learning）”為主題，限期為2008年至2021年，檢索中國知網（CNKI）期刊數據庫，論文來源限于核心期刊，共檢索到中文文獻60篇. 通過CiteSpace5.8.R4可視化文獻分析軟件，對60篇知網核心文獻的關鍵詞、主要作者、研究機構進行知識圖譜分析. 從研究內容來看，研究者主要圍繞數學學習遷移的理論研究、知識學習中的遷移與問題解決中的遷移的實證研究，遷移理論在教學中的應用等方面展開. “類比遷移”“數學知識”“核心素養”成為數學學習遷移領域研究的前沿問題.

【關鍵詞】數學學習;遷移;知識圖譜

喻平、連四清等著名學者編著的《中國數學教育心理研究30年》，系統地整理了1987～2008年30年間我國數學教育心理學領域的相關研究. 在對數學學習遷移問題的主要研究內容進行概括的基礎上作出了較為全面的分析[1]. 為了填補近15來國內關于數學學習遷移問題綜述的空白，本文對近15年國內關于數學學習遷移研究文獻進行梳理，采用文獻計量法與內容分析法，通過CiteSpace 軟件可視化的特點[2]，對中國知網（CNKI）2008～2021年刊載的數學學習遷移研究的核心期刊文獻進行定量分析，然后對主要研究內容作了質性分析，旨在便于更好地開展有關數學學習遷移的研究.

1數據來源與研究方法

1.1數據來源

文獻數據源于中國知網（CNKI）期刊數據庫，在期刊頁面中的高級檢索界面使用檢索詞“數學學習遷移”進行精確檢索;檢索時間限制為2008年1月1日至2021年11月11日. 文獻類別限制為CSSCI及核心期刊，共檢索獲得129篇文獻. 所有檢索到的文獻均采用人工篩選，排除會議、報告等非研究性論文以及涉及材料、化工、人口等非教育類別的研究文獻，最后得到了60篇核心文獻，確定為有效數據.

1.2研究方法

本文主要以CiteSpace5.8.R4可視化論文分析軟件為主要研究工具，通過文獻計量法與內容分析法相結合的方式，對已檢索到的60篇論文展開數據分析. 通過對文獻查閱以及對知識圖譜的解讀，梳理了近15年來我國數學學習遷移領域的主要研究內容.

2數學學習遷移研究的計量學及知識圖譜分析

2.1年度發文量

圖1是基于過去15年發表的數學學習遷移主題的論文數量而繪制的折線圖. 圖1顯示，2008～2021年，數學學習遷移論文發表量波動較大，在2018年出現了高峰，發文數量多達11篇，其原因在于2018年，教育部出臺的《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出了“教師要善于根據不同的內容和學習任務采用不同的教學方式，優化教學，抓住關鍵的教學與學習環節，增強實效. ”[3]面對新課標提出的新要求，研究者的目光聚焦于如何將數學學習遷移理論應用到數學教學的具體實踐中，在不同教學內容中發現數學知識的內在邏輯關系，從而能夠幫助學生從整體上建構數學知識結構，培養數學思維，進而提高學生的數學學科核心素養.

2.2期刊分布情況

文章中60篇中文期刊文獻，全部選自于核心期刊，根據期刊載文量由高到低排序，依次為《教學與管理》《數學教育學報》《數學通報》，占比和約為總量的55%. 期刊分布情況如圖2所示.

2.3核心研究作者

在CiteSpace中，將節點類型設置為作者，時區劃分設置為2008年至2021年，時間切片為一年，將閾值設定為2，可以獲得作者共現的網絡知識圖譜.

繪制圖譜得到作者81位，連線63條，圖中作者名字字體越大，就意味著該名作者的發文量越多，名字間連線越粗，合作強度就越高，不同顏色的線條表示不同年份的合作. 由圖3可知，國內從事數學遷移研究的研究者較多， 但高產作者少. 發文量在2篇以上的作者寥寥無幾，由此看出近年來數學學習遷移的研究尚未引起教育界的廣泛重視. 在作者合作關系方面，圖譜顯示該領域連四清和張令偉等合作關系最緊密，形成了1個聚集度最大的研究團體，并且這一研究團體發文量較多.

2.4核心研究機構

為考察在數學學習遷移領域的高發文機構并厘清這些機構之間的合作關系，在CiteSpace軟件中將“機構”設置為節點類型，文獻限制閾值為1，可以得到數學學習遷移領域的機構分布以及機構間合作關系的圖譜.

分析圖譜可以發現，研究機構類型主要為高等師范院校的數學學院及教育學院、各級各類教研部門和中小學. 從整體來看，中小學聚集了較多一線教育工作者，而高等師范類院校則聚集了較多的數學教育領域的研究人員. 因此，高等師范類院校成為數學學習遷移研究領域的主力軍. 從合作空間來看，有較多的研究機構群體，但機構間基本沒有合作，研究基本都是獨立進行的.

2.5研究的關鍵詞

關鍵詞是一篇論文的核心和內容的精細化表達，通過關鍵詞和頻數分析可以確定某一領域當前研究的熱點，使用CiteSpace 軟件描繪關鍵詞的知識圖譜.

結果顯示Q值為0.86（>0.3），S值為0.97（>0.5），可以認為聚類結果合理. 將共被引頻次大于3的關鍵詞定為熱點詞. 分析圖譜可以發現，數學學習遷移主題較為零散，但存在數學知識、類比遷移、遷移等熱點詞.

3研究的主要內容分析

將相關文獻的研究主題分為數學學習遷移的理論研究、數學學習遷移的實證研究、遷移理論在教學的應用三個方面展開分析.

3.1數學學習遷移的理論研究

遷移是數學學習中一個非常常見的現象，學生利用遷移結合所學的知識進而解決數學問題. 近年來研究者主要是從兩個方面對數學學習遷移展開理論研究.

一方面，研究者從心理學出發，探討一般遷移規律在數學學科中的應用. 例如，張琳霓提出，訓練工作記憶可以將效果遷移到未經訓練的認知功能上[4]. 如果將工作記憶視為資源有限的注意力控制和處理系統，通過訓練該領域的通用功能系統，可以提高數學計算、模式識別、策略選擇等功能，這將為未來提高數學學困生的認知加工效率從而提高數學學業成就發揮重要作用[5]. 劉偉則從現代遷移理論出發，探索致力于知識遷移的深度學習的路徑. 并指出深度學習是為進行知識遷移的必要方法與根本手段;知識遷移的規模與質量反映出深度學習的效果[6].

另一方面，隨著認知心理學在數學教育領域的應用，研究者更多地聚焦于研究數學學科中的遷移問題. 例如李淑文把數學問題分為同質問題和相似問題，從樣本問題中獲得的知識分為“求解方法”和“壓縮求解方法”從而提出“壓縮求解方法”能夠促進類似題目的遷移[7]. 唐劍嵐指出：對不同的教學內容，引導學生深度參與學習會產生不同程度的遷移[8]. 促進遷移的產生不僅要考慮樣例設計，還需要考慮學生的認知負荷以及非認知因素等等[9]. 劉洪超從慢教育素養心理學出發，提出了數學課程的內驅系統與數學方法、數學思維、數理才能和審美數學品質之間具有內在關系一致性. 對遷移綜合監控心理屬性的探究，有利于提高學生的遷移能力，最終促進學生數學核心素養體系的空間建立[10].

3.2數學學習遷移的實證研究

隨著研究者對數學學習遷移領域研究的深入，研究方法逐漸多元化，不僅關注于理論思辨研究，也展開了大量的實證研究. 歸納起來，研究者主要是圍繞知識學習中的遷移與問題解決中的遷移兩個方面來展開實證研究.

3.2.1知識學習中的遷移研究

數學知識學習中的遷移在培養學生數學思維方面具有重要作用，通過數學知識的遷移，可以幫助學生在原有基礎上掌握新知識，發展新技能，逐漸將數學知識轉化為數學能力. 杜雪嬌等人的實驗證明，通過用學生已知的算符和運算規則在運算樣例中“解釋”新算符的運算含義和新運算規則來設計運算樣例，遷移成績明顯高于學習普通樣例的遷移成績. 因此該種解釋方法有利于學習者對新算符以及代數運算規則的理解應用，有助于培養學生的抽象邏輯思維以及對數學語言的理解能力[11]. 任金杰等人以平均數差異檢驗為學習材料，通過實驗證明自我解釋有利于被試更好地概括出與樣例各步驟相關的概念原理信息，引起學生的深度思考，從而能有效地促進概念原理的掌握和對數學知識的遷移. 激發學習者進行自我解釋不但能幫助被試掌握并靈活使用學習方法，還能提高遷移的穩定性[12].

3.2.2問題解決中的遷移研究

在認知心理學領域，研究者已經對數學問題解決進行了比較系統的研究，數學問題解決是使某個數學問題得以解決的思維活動. 數學樣例是數學問題和這一問題解答方法的結合，既能解釋數學問題的內在原理，又能對解決同類數學問題起到示范作用[13]. 近15年來有大量研究者對數學樣例在數學問題解決中的遷移展開實證研究，主要關注于以下兩個部分：

其一，為促進遷移如何設計樣例. 數學符號、公式等抽象知識往往不易被學習者直接掌握，而用數學樣例來表達相應的數學規則，則更容易被學習者掌握[14]. 但就這一問題，研究者中出現了兩種相悖的意見：一些研究者認為數學樣例提供了標準的解題方法，可以方便學習者仿照樣例進行學習，從而促進學習者對方法原理的學習[15];而另外一些研究者則認為，學習者從樣例中獲得的通常都是固化的知識，一旦題目發生變化，學習者就很難將習得的規則遷移到新的問題上[16]. 因此研究者將目光聚焦于如何設計樣例才能促進學生進行有效地遷移. 相關研究主要有以下兩個方面：第一是設計多樣的樣例來激發學習者對樣例的自我解釋，便于學習者理解樣例并促進遷移[17]. 例如，喻平運用實驗方法證明被試在處理完關于子圖的問題后，通過將子圖置于更復雜的圖形中的方式，會產生通過子圖構造母圖和從母圖中分解子圖的觀念和意識，從而實現了提高對靶題和源題共性意識水平的目的，并形成遷移. 由此認為在幾何教學中，教師應當引導學生對基本圖形的理解，并由基本圖形構造的問題出發設計樣例，從而訓練學生的空間想象能力[18]. 第二是設計能促進學習者掌握問題本質的樣例，進而推動學習者的問題解決遷移. 例如蔡晨等人通過實驗證明正、誤樣例的相似程度越高，遷移效果越好. 正、誤樣例中一些微小的差別更容易引起學習者的注意，從而有助于學習者對正、誤樣例分析對比，方便學習者發現錯誤樣例，分析錯誤原因，從而把握問題的本質特征，提高遷移成績. 因此在教學活動中，教師應當設計相似度較高的正誤樣例進行教學，以促進學生發現并改正錯誤，進而提高教學效率[19].

其二，影響樣例學習遷移的因素. 在數學教育領域，研究人員主要專注于在數學問題解決中研究影響樣例學習遷移的各種因素. 這些相關的研究對系統探討影響數學問題解決以及對數學概念、定理遷移的因素具有深刻意義.

（1）樣例影響數學學習遷移. 研究表明和知識遷移相比較，遷移在數學學習策略中存在著更大的范圍[20]. 除此之外，寧寧通過解題步驟來刻畫源問題和靶問題相似性的操作方法，即用解題步驟的相似性來衡量樣例變異水平的高低，結果表明：樣例的變異程度對近遷移的結果影響不大，但對遠遷移的影響程度卻是顯著的[21].

（2）樣例設計影響數學學習遷移. 樣例的設計主要包括展現樣例自身的有關內容以及如何對樣例進行練習. 莫雷認為：學習內容的表面概貌和內在原理以及他們的交互作用都對遷移具有不同程度的影響[22].杜雪嬌等人設計了三種樣例呈現方式（將解釋全部呈現給學生;按學生需求，若學生沒看懂則可點擊呈現解釋;按照學生填寫正誤，若回答錯誤則呈現解釋）并提出相比于全部呈現，按需求呈現減少了樣例學習時間并增加了實際應用成果，但卻不能增加遷移成果;而按正誤呈現則同樣減少了樣例學習時間，并且同時增加了實際應用和遷移成果[23]. 但有些研究則發現樣例的設計對數學學習遷移并沒有顯著影響，譬如郭凱路、張令偉的研究表明，對于余弦定理這一教學內容來說，不同的樣例呈現方式對其遷移沒有顯著差異[24].

（3）學習者本身影響數學學習遷移. 遷移不僅受到學習任務的難易、所學各種材料的相似性等各種因素的影響，還受到學習者自身因素的影響. 學生的原有認知結構是遷移產生的最根本因素，它決定著學生是否能夠熟練靈活地學習和運用知識. 張令偉、連四清在探究余弦定理解題遷移的問題中，通過實證的方法證明對于示范性高中的學生來說，樣例的表現方法對余弦定理的解題遷移沒有顯著影響，而學生類型和遷移水平則對遷移有顯著影響. 而對于普通高中的學生來說，采用不同的樣例呈現方式以及學生的類型會對余弦定理的解題遷移造成怎樣的影響，有待于進一步的研究[25].? 羅蓉等人的研究表明，源、靶問題的表面相似性是影響遷移的主要因素，不同年級的被試解決數學問題的成績差異顯著，隨年級的增長，通過學習導致的知識水平和能力不斷增長，進而推動了遷移水平的提高;學習者在解決數學問題時，對某題是否容易、熟悉、有把握地解決的主觀評判結果和該題分數呈現出顯著的相關，體現出學習者解決問題時的元認知監控能力是影響在問題解決中成績遷移的一項關鍵因素[26].

3.3遷移理論在教學中的應用

提高數學課堂效率，培養學生數學學科核心素養是數學教育研究的一項根本任務，因此探究學習遷移規律在數學教學中的應用是近15年來大多數數學教育研究者關注的焦點. 例如，陳健提出教師在展示數學教材時，除了縱向遵循從普遍到個體的原則外，還應該從橫向進行全面整合，以加強數學概念和數學思想方法間的聯系[27]. 沈俊指出要突破教學局限，從而引導學生從更廣闊的視角去理解概念間的聯系，整合已有的經驗，把以前看似不相關的概念聯系起來，從而形成數學知識體系[28]. 童曉芳提出在選擇“兩位數乘兩位數”豎式計算數據上，應避免負遷移，從而使學生真正地掌握計算方法，培養數學計算的能力[29]. 于正軍認為數學方法的遷移本質是思維的遷移. 只有思維產生遷移，才能在分析定量關系的過程中抓住解決數學問題的思維支點，領悟數學思想[30]. 陸光洲從情景出發，提出“數學源于生活又用于生活”這一觀點，教師在日常教學中要注重聯系數學知識和實際生活，推動學生從生活常識向數學知識的遷移[31].

3.4數學學習遷移研究述評

近15年來，盡管我國學者對數學學習遷移開展了大量的研究，但通過分析這些研究可以發現，仍存在著一些不足. 首先研究主題依舊不夠深入，上述研究的研究者大多聚焦于如何運用遷移本身的規律性，改善數學教學效果，體現數學學科學習特征的遷移研究不足. 且對數學學習遷移的研究集中在數學知識和技能的遷移，而忽略了在數學知識中所涵蓋的數學文化和思想、情感的遷移. 其次，實證研究的內容與深度不夠. 盡管研究者對數學學習遷移這一問題開展了大量的實證研究，但研究主題大多停留在探討數學樣例在數學問題解決中的遷移，且研究內容關注于數學知識體系中的某一個內容展開，缺乏更深入的研究，使得這些研究對于數學基礎課程和教育教學實踐并沒有更廣泛的指導價值. 再次，國內外的研究并沒有完全接軌. 隨著科技的進步和知識理論的不斷完善，國外研究者開始探討學習遷移的機制和規律并產生了現代學習遷移理論. 國內有關數學學習遷移的研究是在國外相關遷移理論的基礎上進行的，主要集中在數學學習遷移的影響因素和培養策略兩個方面，與國外研究并沒有完全接軌. 因此上述問題都必須借助于更現代的科學研究方法進行更加深入的研究.

4研究展望

本文系統地介紹了近15年數學學習遷移的研究成果，揭示了近年來數學學習遷移主要的研究主題和內容. 目前，雖然學術界對數學學習遷移從遷移機制、培養策略、影響因素等方面做了較為系統的研究，但由于數學學科抽象性、邏輯性等特點，在該領域仍然留下了許多需要進一步研究的方向. 在未來的研究中，應重點關注以下幾個方面：

（1）開展與數學課程改革密切相關的學習遷移研究. 隨著新課改的不斷深入，“數學核心素養”已成為當今數學教育研究的熱點問題. 盡管目前已有大量的研究關注數學核心素養和數學學習遷移，但是很少有研究將二者結合起來. 因此基于數學核心素養背景下，如何提升學生的數學遷移能力是今后的一個研究方向.

（2）突出數學學科學習特征的遷移研究. 數學學習遷移是數學思維活動的表現形式，不僅要實現在數學學科內部的遷移，還要實現數學思維在其他學科以及學習者的日常生活中的遷移. 因此，建立數學知識的內在聯系，開展突出數學學科學習特征的遷移研究，探究在數學學科中的遷移機制，對提高教學質量，提升學生的遷移能力有著重要的意義.

（3）開展有創意的實證研究. 近年來，許多學者對數學學習遷移開展了實證研究，該方法不僅契合當下研究主流，且具有一定的前瞻性，是對先前方法的有效補充，更大程度上對研究的信度和效度進行了佐證，使研究體系更具有系統性和完整性. 但是，在實驗設計方面缺乏創新，許多研究都是沿用傳統方法，今后的研究要提倡在方法上的創新.

（4）開展與教學實踐密切相關的問題研究. 賈德提出遷移的概括化學說，指出二種學習之間所具有的一致性要素是遷移產生的必要前提條件. 如果進行概括，那么兩種情景間就可能發生遷移. 把該原則運用到數學課堂上，同樣的教學內容采取不同的教學方法，產生的遷移效果是不一樣的. 所以針對不同的學習問題，開展與教學實踐密切相關的問題研究，促進正遷移的產生，減少負遷移的產生，提高學生的遷移能力也是數學學習遷移的一項重要研討問題.

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作者簡介周雅萱（1998—），女，河北石家莊人;南京師范大學數學科學學院2020級碩士研究生;主要研究數學教育.