基于GeoGebra的高中數(shù)學(xué)建模案例研究

【摘要】在高中數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)實(shí)踐中，充分應(yīng)用GeoGebra能有效推動高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的真正實(shí)施，是提高數(shù)學(xué)建模教學(xué)效果的新途徑.以具體的案例為例，感受GeoGebra應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)建模的技術(shù)優(yōu)勢，體會具體操作的技術(shù)路徑;從研究教材內(nèi)容適切點(diǎn)、構(gòu)建教學(xué)范式、學(xué)生主動實(shí)踐方面，闡述如何在日常建模教學(xué)中提升師生使用GeoGebra的能力.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模;GeoGebra;課堂教學(xué)

隨著國家一系列提升教育現(xiàn)代化水平政策的出臺，信息技術(shù)與教育教學(xué)融合的發(fā)展經(jīng)歷了起步階段、應(yīng)用階段，逐步步入整合階段和創(chuàng)新階段[1].GeoGebra是一個(gè)集代數(shù)計(jì)算功能、圖形計(jì)算功能、幾何作圖功能、概率統(tǒng)計(jì)功能于一體的免費(fèi)數(shù)學(xué)信息技術(shù)工具.它具有適用于多種操作系統(tǒng)、數(shù)學(xué)功能完整、操作相對簡單、可以用中文輸入命令等優(yōu)點(diǎn)，延伸了學(xué)生的雙手和大腦，拓展了師生的視野和能力.因此，在高中數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)實(shí)踐中，充分應(yīng)用GeoGebra，能有效推動高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的真正實(shí)施，是提高數(shù)學(xué)建模教學(xué)效果的新途徑.

1GeoGebra應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)建模的技術(shù)優(yōu)勢

1.1函數(shù)模型——代數(shù)運(yùn)算和數(shù)形結(jié)合

GeoGebra計(jì)算區(qū)具有數(shù)值計(jì)算、因式分解、方程求解、求導(dǎo)求積分等功能;繪圖區(qū)有點(diǎn)、直線、曲線、多邊形、圓、圓錐曲線、角度、滑動條等多種繪圖及繪圖輔助功能，此外命令輸入功能讓繪圖和計(jì)算功能更加靈活.這些功能應(yīng)用在數(shù)學(xué)建模的函數(shù)模型教學(xué)中能幫助學(xué)生直觀觀察函數(shù)圖象，歸納函數(shù)的性質(zhì)，近而通過邏輯推理進(jìn)行證明.

如在人口增長模型的教學(xué)中，可以用GeoGebra繪制三種函數(shù)對應(yīng)的圖象，根據(jù)實(shí)際問題，理性的選擇相應(yīng)的函數(shù)進(jìn)行擬合（見圖1）.

1.2幾何模型——直觀可視

GeoGebra的動態(tài)幾何功能應(yīng)用最為廣泛，它不僅可以作出規(guī)則圖形、函數(shù)圖象等二維幾何圖形，3D作圖區(qū)還可以用于繪制三維圖形，用戶可以根據(jù)數(shù)學(xué)建模基礎(chǔ)知識和GeoGebra豐富的命令功能繪制三維動態(tài)圖形.這一功能為數(shù)學(xué)建模課程中幾何模型的教學(xué)提供了直觀可視的教學(xué)體驗(yàn)，通過可視化的呈現(xiàn)形式突出問題要點(diǎn)、克服理解難點(diǎn).例如在地月模型的教學(xué)中，可以通過GeoGebra展現(xiàn)出地球與月球的動態(tài)幾何抽象模型，幫助學(xué)生理解幾何模型形成的過程（見圖2）.

1.3概率模型——仿真模擬

GeoGebra還有強(qiáng)大的仿真模擬功能，能對一些常用的概率模型進(jìn)行3D仿真試驗(yàn)，用仿真試驗(yàn)代替真實(shí)試驗(yàn)，既能直觀展示又能規(guī)避實(shí)際操作的諸多困難與不便.如人教A版必修二教材中例題：從你所在的班級任意選出6名同學(xué)，調(diào)查他們的出生月份，假設(shè)出生在1月、2月……12月是等可能的，設(shè)事件A=“至少有兩人出生月份相同”，設(shè)計(jì)一種試驗(yàn)方法，模擬20次，估計(jì)事件A發(fā)生的概率.我們就可以用Geogebra概率功能進(jìn)行仿真模擬：輸入命令“序列[序列[random（1，12），i，1，6]，i，1，20]”，形成一個(gè)列表，列表內(nèi)是用于模擬6名同學(xué)的出生月份的1～12范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，以6個(gè)數(shù)字為一行，每一行為一組，共20組，相當(dāng)于模擬了20次.輸入命令“條件計(jì)數(shù)[長度[互異[p]]<6，p，m1]”，計(jì)算出20組隨機(jī)數(shù)中有相同數(shù)據(jù)的組數(shù)a，用于模擬事件A“至少有兩人出生月份相同”在20次模擬中出現(xiàn)的頻數(shù).輸入命令“a/20”即可計(jì)算出在1次仿真模擬試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率b.按F9可以快速重復(fù)本次的仿真模擬，得到多次仿真模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果（見圖3）.

事件A發(fā)生的頻率此外，我們還可以利用繪圖區(qū)按鈕編程中相應(yīng)的腳本功能，將多次仿真模擬所得頻率顯示在同一圖象中，通過CAS計(jì)算事件A發(fā)生的概率約為0.78，從而得到事件A在每次仿真模擬中的頻率穩(wěn)定在事件A發(fā)生的概率（約為0.78）附近（見圖4）.

1.4Geogebra的多變量分析功能用于模型擬合

Geogebra的多變量分析功能可以用于對有效數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、模型擬合和檢驗(yàn).如研究茶水溫度隨時(shí)間變化數(shù)據(jù)時(shí)，利用Geogebra雙變量分析功能對下表中的一組數(shù)據(jù)進(jìn)行模型擬合.

Geogebra表格區(qū)創(chuàng)建新表格，將時(shí)間和水溫?cái)?shù)據(jù)填入.選中時(shí)間和水溫?cái)?shù)據(jù)，點(diǎn)擊變量分析按鈕選擇雙變量分析，畫出散點(diǎn)圖.

Geogebra自帶豐富的回歸模型，如線性模型、對數(shù)模型、多項(xiàng)式模型、冪函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型、成長曲線模型、正弦函數(shù)模型以及邏輯模型，可以對數(shù)據(jù)進(jìn)行直接擬合，如下圖為指數(shù)函數(shù)回歸模型：

這些模型均會出現(xiàn)隨著時(shí)間增加，茶水降至負(fù)值的現(xiàn)象，顯然與事實(shí)不符.因此，在進(jìn)行擬合操作時(shí)僅服從數(shù)據(jù)是不夠的，還需要結(jié)合生活實(shí)際修正模型，考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實(shí)，可以選擇函數(shù)y=kat+25（k∈R，0

選中A列、D列，利用雙變量分析功能進(jìn)行線性擬合，得到lna≈-0.0791，lnk≈4.0784，從而得出

a≈e^-0.0791≈0.9239，k≈e^4.0784≈59.0509.

根據(jù)實(shí)際情況可知，當(dāng)t=0，y=85，可直接得到k=60，因此上述過程可進(jìn)一步優(yōu)化為ln（y-25）-ln60=tlna，再次進(jìn)行雙變量分析，得到的lna值差別不大.所以我們確定k=60，a=0.9239，就得到了一個(gè)模型y=60×0.9239t+25（t≥0）.

2反思與總結(jié)

通過信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)建模課程的深度融合，可以使學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián)，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)識到數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、社會、工程、技術(shù)等諸多領(lǐng)域的作用，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和科學(xué)精神.結(jié)合當(dāng)下高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)現(xiàn)狀，筆者提出以下三點(diǎn)建議：

2.1找準(zhǔn)信息技術(shù)與教材內(nèi)容的適切點(diǎn)，深入挖掘GeoGebra技術(shù)功能

GeoGebra雖然操作簡單，但要完成更加復(fù)雜的任務(wù)，需要教師進(jìn)一步學(xué)習(xí)以提高技術(shù)應(yīng)用手段.教師可以從GeoGebra的論文、著作及官方網(wǎng)站中獲取資源，或者從中國大學(xué)生MOOC等網(wǎng)站觀看視頻課程.新教材也更加重視用信息技術(shù)手段來發(fā)現(xiàn)、探究、解釋數(shù)學(xué)知識，教師可以找準(zhǔn) GeoGebra與教材的適切點(diǎn)，開發(fā)并記錄典型的基于GeoGebra的教學(xué)片段和案例，在此過程中對GeoGebra技術(shù)手段進(jìn)行深入挖掘以優(yōu)化教學(xué)效果，探究GeoGebra與高中數(shù)學(xué)建模課堂的最佳融合方式.

2.2構(gòu)建基于GeoGebra的教學(xué)范式，積極變革數(shù)學(xué)課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)

利用GeoGebra等信息技術(shù)可以實(shí)現(xiàn)循環(huán)證明，在探索—猜想—檢驗(yàn)—修正—證明的循環(huán)中，GeoGebra有利于實(shí)現(xiàn)其中的幾步或全部[2].因此，根據(jù)GeoGebra在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，開發(fā)基于GeoGebra的數(shù)學(xué)教學(xué)范式，以改變現(xiàn)有的數(shù)學(xué)課堂講授模式，達(dá)成多元表征的呈現(xiàn)和聯(lián)結(jié).

2.3從觀察參與到應(yīng)用實(shí)踐，讓學(xué)生逐漸成為GeoGebra的應(yīng)用主體

目前GeoGebra應(yīng)用于數(shù)學(xué)課堂一般都是教師展示，學(xué)生觀看學(xué)習(xí).為了提高學(xué)生的參與度，可在學(xué)習(xí)任務(wù)單中加入相應(yīng)的GeoGebra案例操作步驟，讓學(xué)生按照步驟進(jìn)行實(shí)踐，嘗試用GeoGebra探究、解釋數(shù)學(xué)問題;此外，還可以開發(fā)GeoGebra建模校本課程，讓學(xué)生對GeoGebra的更多基礎(chǔ)功能進(jìn)行系統(tǒng)學(xué)習(xí)，為學(xué)生提供一定的基礎(chǔ)建模題目進(jìn)行實(shí)踐，促使學(xué)生探索GeoGebra的高級應(yīng)用功能，讓學(xué)生成為GeoGebra的應(yīng)用主體.

參考文獻(xiàn)

[1]寧連華，崔皓翔.信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合研究評析[J].江蘇教育，2020（04）：19-23.

[2]劉怡軒.GeoGebra在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用與展望[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（05）：42-44，54.

作者簡介李現(xiàn)勇（1976—），男，山東青島人，正高級教師，青島市高中數(shù)學(xué)教研員，山東省特級教師，齊魯名師，蘇步青數(shù)學(xué)教育獎(jiǎng)獲得者，中國教育學(xué)會領(lǐng)航計(jì)劃專家，人民教育出版社高中數(shù)學(xué)新教材培訓(xùn)專家，人民教育出版社教材核心編寫者、《必修一教師教學(xué)用書》副主編;曾獲教育部基礎(chǔ)教育課程改革教學(xué)研究成果二等獎(jiǎng).