高中生數學問題提出和問題解決能力間的關系研究

【摘要】本研究選擇上海市某市屬重點中學高一年級學生進行調查，使用相同情境不同要求的3對任務組成數學問題提出和數學問題解決測試卷，測量學生的數學問題提出和問題解決表現.研究發現，學生數學問題提出表現整體一般，提出了一定數量的合理性問題，但提出的拓展性問題較少;學生問題解決表現整體良好;學生問題提出和問題解決表現具有一定相關性.

【關鍵詞】問題提出;問題解決;問題提出和問題解決間的關系;高中生

1引言

愛因斯坦（Einstein）曾說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要”.作為數學教育界的兩大研究熱點，數學問題提出和問題解決兩者相互聯系、相互作用，二者之間關系的研究也受到學者們的關注，蔡金法總結了問題提出領域的十大研究主題，其中第五個主題就是“問題提出和問題解決有何關系”[1]，但是數學問題提出和問題解決間的關系目前尚無定論，需要結合具體情境具體分析[2].

本研究主要圍繞以下三個問題：高中生數學問題提出能力的表現如何？高中生數學問題解決能力的表現如何？高中生數學問題提出和問題解決能力間的關系如何？嘗試測量學生數學問題提出和問題解決的表現，并進一步深入挖掘兩者之間的關系，以期為未來的研究與實踐提供一定的參考與啟示.

2研究設計

2.1研究對象

本研究選擇上海市市級重點高中Y中學高中一年級學生作為研究對象.具體選取2個平行班（記作A班和B班）和1個文科實驗班（記作C班）進行了正式測試，其中高一A班有效被試包括男生11人，女生15人，高一B班男生12人，女生15人，高一C班男生16人，女生18人.

2.2研究工具

本研究設計了相同情境不同要求的3對任務組成高中生數學問題提出測試卷、數學問題解決測試卷作為研究工具.其中問題提出測試卷要求學生根據問題情境提出難度較低、中等、較高的三個問題;問題解決測試卷要求學生根據問題情境回答三個難度不同的數學問題.為減少問題提出對問題解決的影響，問題解決測試在問題提出測試之后兩周進行.

本研究所選擇的自由、半結構化、結構化三種情境，皆參考改編于已有的成熟研究，這些情境經歷多次學生測試，本身可靠性較高，具體見表1.

2.3數據編碼與分析

如圖1，參考以往的分析框架[3，4]，將學生提出的數學問題分為非合理性問題和合理性問題，合理性問題分為拓展性問題和非拓展性問題，其中非拓展性問題包括記憶與操作、理解與聯系兩個水平，分別賦值1分與2分，拓展性問題包括反思與拓展水平，賦值3分.

對于學生的問題解決評價，借鑒QUASAR項目上計算得分的方法[5-6]，對學生問題解決的整體過程進行評估，按照學生的思維過程和綜合表現進行賦分，而不是單指某個踩分點，每道題目分為5個得分等級，具體評價標準見表2.

3研究結果

3.1問題提出表現分析

3.1.1問題提出合理性表現

由圖2可見，全體學生提出了一定數量的合理性問題（75.30%），約占提出全部問題的四分之三.究其原因，本研究所選擇的研究對象其數學基礎較好，上海市基礎教育水平處于全國教育的高地，Y中學為上海市市級重點高中，辦學成績優異，通過與Y中學多名班主任和數學任課教師的交流，該學校學生興趣愛好廣泛，思維活躍，并開設多門數學拓展類課程，具有較為良好的數學基礎，因此提出了較多的合理性問題.

全體學生在半結構化情境“鈴聲任務”中問題提出合理性的表現明顯好于其它兩個情境，具有統計學意義上的顯著差異（x²=68.495，p<0.05）.結構化程度過高或者過低都會對學生的問題提出的合理性產生一定的限制，題目結構化程度過低學生會無法補充合適的條件，導致無問題可以提出;題目結構化程度過高學生會受已有完整題目結構的限制，導致學生無問題可以提出或提出與原有題目結構相沖突的錯誤問題.

由圖3可見，無論是全體學生還是具體到各個班級，男生提出問題合理性的占比都高于女生，尤其高一A班最為顯著.使用SPSS對學生問題提出合理性表現和性別進行卡方檢驗，得到全體學生x²=11.391，p<0.05;高一A班x²=15.423，p<0.05;高一C班x²=6.459，p<0.05，不同性別學生提出合理性問題的表現存在統計學意義上的顯著差異，而高一B班x²=0.187，p=0.665>0.05不存在.

3.1.2問題提出拓展性表現

由圖4可見，學生提出的拓展性問題較少，全體學生提出的拓展性問題，約占提出全部問題的五分之一，約占提出合理問題的四分之一，學生所提出合理性問題大部分為非拓展性問題.

由圖5可見，全體學生在自由情境中提出拓展性問題無論是占總問題還是占拓展性問題的比例明顯高于其它兩個情境，學生在自由情境、半結構化情境、結構化情境三個情境中提出拓展性問題在總問題中的占比分別為21.4%、14.0%、13.0%，拓展性問題在合理性問題中的占比分別為32.2%、15.0%、19.9%.使用SPSS對在總問題中的問題提出拓展性表現和班級進行卡方檢驗，得到x²=6.048，p<0.05，對在合理問題中的問題提出拓展性表現和班級進行卡方檢驗，得到x²=19.902，p<0.05，可見不同情境中學生提出拓展性問題的能力存在不同，具有統計學意義上的顯著差異.

究其原因，自由情境是開放性的，雖然所提供的信息并不充足，并不包含一個完整的問題結構，但是給學生提供了非常大的自由空間，學生可以在進行數學問題提出時展開豐富的聯想，對情境中的信息進行適當的補充與拓展，從而提出更多的拓展性問題.

由圖6可見，無論是全體學生還是具體到各個班級，男生提出問題拓展性的占比都高于女生，尤其高一A班最為顯著，其中男生提出問題拓展性的占比為32.4%，女生提出問題拓展性的占比只有8.3%.使用SPSS對全體學生及各個班級學生的問題提出拓展性表現和性別進行卡方檢驗，得到全體學生x²=11.879，p<0.05;高一A班x²=18.359，p<0.05;高一B班x²=2.134，p=0.144>0.05;高一C班x²=2.753，p=0.097>0.05，可見高一A班男女學生提出合理性數學問題的能力存在不同，且具有統計學意義上的顯著差異，而高一B班和高一C班不同性別學生提出合理性數學問題的能力并不具有統計學意義上的顯著差異.

與問題提出合理性與是否有性別上的差異一樣，不同性別學生提出拓展性問題的能力是否具有差異并沒有統一結論，隨著研究對象的不同研究結果可能存在差異.

3.2問題解決表現分析

由表2可見，學生的問題解決表現整體良好.全體學生在整張問題解決測試卷的平均分為25.09分，學生完整且正確解答一道題目得分為4分，平均每位學生完全作對6道題目.具體到每道題目，隨著問題難度的上升，學生在每道題目上的平均分相應降低，學生在難度較高的拓展性問題上表現相對較差.

對不同班級在每道題目上的平均分進行F檢驗，結果發現，三個班級在9道題目的平均分都未存在顯著性差異.究其原因，根據已有的經驗，學生的問題解決表現與其學業成績相關性最大，即數學學業成績好的班級其問題解決表現應當更好.如研究設計中所介紹，高一A、B兩班為普通班，兩個班級數學學科由同一教師任教，C班為文科實驗班，三個班級數學學業成績未呈現顯著差異，因此三個班級的問題解決得分未出現顯著差異.

對不同性別學生在各題目上的平均分進行獨立樣本t檢驗，檢驗結果顯示，不同性別學生在各個題目上的得分表現不存在顯著差異.

3.3問題提出和問題解決之間的關系

使用SPSS對全體學生和不同班級學生問題提出得分和問題解決得分做Pearson相關性分析，得到結果如表3.全體學生數學問題提出成績和問題解決成績的Pearson相關系數為0.616，在P<0.01水平上呈顯著相關，說明學生問題提出能力與問題解決能力是正相關的，統計學上具有顯著意義.

換言之，問題解決能力強的學生往往提出更多的合理拓展的數學問題，問題提出能力強的學生其問題解決表現往往也更好，這個結論支持了大多數問題提出和問題解決間關系研究的結論，進一步拓展了該主題的研究.

具體到各個班級，高一A班、B班、C班學生數學問題提出和問題解決得分的Pearson相關系數分別為0.674、0.766、0.481，都在P<0.01水平上呈顯著相關性，說明三個班學生問題提出能力和問題解決能力都是正相關的，具有統計學意義上的顯著相關性.

另外，對三個班級數學問題提出得分和問題解決得分的Pearson相關系數進行比較可以發現，高一C班學生Pearson相關系數明顯低于其它兩個班級，表明文科實驗班C班學生數學問題提出能力與問題解決能力的相關性較其它兩個班級相對較弱.

使用SPSS對全體學生在不同情境中的問題提出得分和問題解決得分做Pearson相關性分析，得到結果如表4.

由表可見，學生在自由情境、半結構化情境、結構化情境中數學問題提出得分和問題解決得分之間的Pearson相關系數分別為0.447、0.304、0.614，都在P<0.01水平上相關性顯著，說明學生無論是在自由情境、半結構化情境還是結構化情境中，問題提出和問題解決能力都是正相關的.

另外，通過對三個情境數學問題提出和問題解決得分的Pearson相關系數進行比較可以發現，結構化情境其Pearson相關系數最高，說明學生在結構化情境中數學問題提出與問題解決能力展現出較強的相關性，而在半結構化情境和自由情境中問題提出和問題解決間的相關性會相對較弱.

無論全部班級還是具體到各個班級，不同性別學生問題提出得分和問題解決得分都呈正相關性.使用SPSS對不同性別學生問題提出得分和問題解決得分做Pearson相關性分析，得到男生問題提出和問題解決得分之間的Person相關系數為0.635，在0.01水平上顯著相關，女生問題提出和問題解決得分之間的Person相關系數為0.628，在0.01水平上顯著相關.

4結論與建議

整體來看，學生數學問題提出能力一般，研究對象提出了一定數量的合理性問題，但提出的合理性問題大部分為非拓展性問題;學生數學問題提出表現存在情境上的差異，研究對象在半結構化情境中提出了更多的合理性問題，在自由情境中提出了更多的拓展性問題.

學生數學問題解決能力整體良好，在解決拓展性問題上的表現較差.學生數學問題解決能力未發現具有性別、班級上的顯著差異.不同性別、班級的學生，無論是在總分還是具體到各個題目的平均分并不具有統計學意義上的顯著差異.三個班級數學學業成績不存在顯著差異是三個班級問題解決得分未出現顯著差異的原因.

學生數學問題提出和問題解決能力具有一定的相關性，數學問題提出表現好的學生，其數學問題解決能力往往更強，數學問題解決能力強的學生，其數學問題提出表現往往更好.

參考文獻

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作者簡介朱樹金（1997—），男，山東濱州人，華東師范大學教師教育學院碩士研究生，杭州高級中學錢塘學校教師;主要從事數學課程與教學論研究.