巧用三角函數(shù)求最值

【摘要】本文針對(duì)求函數(shù)的最值，給出了利用三角函數(shù)變換求解的兩種方法，并給出教學(xué)建議.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)最值;三角函數(shù)變換;化歸思想;數(shù)形結(jié)合思想

高中數(shù)學(xué)中，求函數(shù)最值的方法有好多種，常見的方法有配方法、判別式法、基本不等式法、求導(dǎo)數(shù)法等等. 求導(dǎo)數(shù)的方法適用范圍廣，在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)以后，不少同學(xué)喜歡用導(dǎo)數(shù)的方法求最值，但是有不少函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式較為復(fù)雜，不適宜用求導(dǎo)法.對(duì)有些函數(shù)，通過(guò)分析函數(shù)的定義域與函數(shù)圖象的形狀等特征，可以選取合適的三角函數(shù)變換，把求函數(shù)的最值問(wèn)題歸結(jié)為求三角函數(shù)的最值問(wèn)題.關(guān)于三角函數(shù)及函數(shù)求最值的一些方法，可參見文獻(xiàn)[1，2，3]. 本文給出了利用三角函數(shù)變換求解函數(shù)最值的兩種方法.

1利用三角函數(shù)變換和三角函數(shù)圖象求解

函數(shù)都帶有某些特征，通過(guò)分析函數(shù)的定義域與函數(shù)圖象的形狀，可以選取合適的三角函數(shù)變換，利用化歸思想把求函數(shù)的極值問(wèn)題歸結(jié)為求三角函數(shù)的極值問(wèn)題.

2利用三角函數(shù)變換和單位圓求解

如果所給的函數(shù)具有某種三角函數(shù)形式，或者通過(guò)合適的變換可以化成這些形式，則可以結(jié)合一定的幾何意義如單位圓、直線與直線斜率等，給求最值帶來(lái)很大的方便.

2.1利用三角函數(shù)變換和單位圓求解

2.2拓展

3教學(xué)建議

3.1充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想方法的重要性，認(rèn)真落實(shí)到實(shí)際教學(xué)中

本文用到了化歸思想，將一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)新問(wèn)題，從而方便求解;也用到了數(shù)形結(jié)合思想，充分利用圖形的性質(zhì)極大地方便了題目求解，也減少了計(jì)算量.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是學(xué)生將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的重要媒介.數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)能本質(zhì)地整體提高學(xué)生的思維質(zhì)量和核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中起著至關(guān)重要的作用.教會(huì)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)教師的重要要求，作為教師，應(yīng)該自覺(jué)提升自己對(duì)數(shù)學(xué)思想方法重要性的認(rèn)識(shí)，在教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)該結(jié)合例子把數(shù)學(xué)思想方法充分解析，講實(shí)、講細(xì)、講透，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想方法的重要性，并學(xué)會(huì)、掌握和靈活運(yùn)用，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.2重視培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題能力

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是教育的重要要求，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力更是教育的重要培養(yǎng)目標(biāo)，學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題能力也是學(xué)生素養(yǎng)的綜合體現(xiàn)，因此教師實(shí)際教學(xué)中，要重視分析問(wèn)題解決問(wèn)題能力的培養(yǎng).分析問(wèn)題，就是審題，就是分析數(shù)學(xué)試題各項(xiàng)信息、各種特征、各種關(guān)系，并把一些隱含的信息、特征和關(guān)系等找出來(lái);解決問(wèn)題就是綜合利用數(shù)學(xué)思想方法、已有知識(shí)、自身素養(yǎng)能力等去找出問(wèn)題答案.比如有些函數(shù)問(wèn)題用最容易想到的方法即求導(dǎo)法過(guò)程復(fù)雜，計(jì)算量大，然而，通過(guò)分析試題特征，巧妙利用三角函數(shù)變換把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易解決的新的問(wèn)題，解題更容易，計(jì)算量也大大減少.教師教學(xué)中應(yīng)該教會(huì)學(xué)生如何分析這類數(shù)學(xué)題目特征，掌握解決這類問(wèn)題的思路、方法，把握解決這類問(wèn)題的規(guī)律，觸類旁通，從而，培養(yǎng)和提升學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.

參考文獻(xiàn)

[1]朱巖，傅榮強(qiáng). 高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)[M]，2006，7.

[2]章曉紅. 關(guān)于高中數(shù)學(xué)中最值問(wèn)題的幾點(diǎn)思考[J]，2017（20）.

[3]湯本思. 淺析高中數(shù)學(xué)函數(shù)最值問(wèn)題求解方法[J]，中學(xué)生數(shù)理化，2017（08）.

作者簡(jiǎn)介王翠麗（1975—），女，山東濰坊人，南京市第二十七中學(xué)教師，副高級(jí)職稱. 曾獲得南京市教學(xué)先進(jìn)個(gè)人，南京市教育先進(jìn)個(gè)人，南京市先進(jìn)班集體等榮譽(yù)稱號(hào).