初中數(shù)學規(guī)律性問題的分類研究

李杰梅

[摘 要]規(guī)律性問題是初中數(shù)學常考的一類問題，研究規(guī)律性問題的類型及其解法能提高學生分析問題和解決問題的能力。

[關鍵詞]初中數(shù)學;規(guī)律性問題;分類

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）11-0007-03

筆者將規(guī)律性問題劃分為數(shù)字變化類、算式變化類、坐標變化類、圖形變化類四種類型。這四種類型問題涉及的背景不同，解題時需要學生在深刻理解題意的基礎上進行合理的歸納和推理，盡快地找到隱含在題干中的規(guī)律。教學中，為了使學生更好地破解這四類問題，教師應為學生做好解題示范，使學生更好地掌握解題的技巧。

一、數(shù)字變化類

學生對數(shù)字變化類問題并不陌生，該類問題通常給出一組按照某一規(guī)律排列的數(shù)字，要求學生求出某一項數(shù)字的具體值。解答該類問題時需要從給出的已知條件出發(fā)，找到其潛在規(guī)律。如果題目中給出的數(shù)字是具體的，應認真觀察數(shù)字，認真分析數(shù)字對應位數(shù)、前后項的變化情況，找到變化的值與對應序數(shù)之間的關系。如果題目中給出的數(shù)字是按照某一式子變化的，則需要運用歸納法進行分析。解題時一般寫出數(shù)字的前面幾項，相關的規(guī)律便會顯現(xiàn)出來。學生若能掌握解題方法與技巧，積累解題經(jīng)驗，就能在解題中少走彎路。教師應做好經(jīng)典例題的篩選與講解，通過解題過程的板書，引導學生認真揣摩與反思解題過程，把握解題的關鍵。

[例1]已知在一列數(shù)[x1]，[x2]，[x3]，…中，[x1=1]，當[k≥2]時，[xk=xk-1+1-4k-14-k-24]（取整符號[a]表示不超過[a]的最大整數(shù)），則[x2014]的值為（ ）。

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解析：該題的已知條件并不復雜，解題的關鍵在于從給出的等式關系中找到潛在規(guī)律。觀察要求解的問題可知，其項數(shù)較大，一定存在周期。對此，可結合給出的等式關系以及對[a]含義的理解，算出前面的幾個數(shù)，歸納出周期。

當[k=2]時，[x2=x1+1-414-0=1+1-4×0=2];

當[k=3]時，[x3=x2+1-424-14=2+1-4×0=3];

當[k=4]時，[x4=x3+1-434-24=3+1-4×0=4];

當[k=5]時，[x5=x4+1-41-34=4+1-4×1=1];

當[k=6]時，[x6=x5+1-454-1=1+1-4×0=2];

……

可知其每隔4個數(shù)循環(huán)一次，其周期為4，則[2014=503×4+2]，∴[x2014=x2=2]，故選B。

點評：解答數(shù)字變化類問題時應注重分析題干，凡是要求解項數(shù)較大的具體數(shù)字時均具有一定的周期性，因此應將解題的重點放在歸納、推理其周期上。

二、算式變化類

算式變化類問題一般指運算法則按照一定規(guī)則變化的問題。解答該類問題的常規(guī)思路：審題，吃透題意→按照運算法則計算出結果→分析結果，尋找規(guī)律。其中“分析結果，尋找規(guī)律”對學生的觀察、分析能力要求較高。對此，教師應引導學生牢記常規(guī)解法，認真審題，按照給出的運算法則認真計算，并通過觀察結果的形式、各數(shù)字所處的位置，分析數(shù)字的變化規(guī)律，寫出符合所有結果的通式。

[例2]某計算機程序如圖1所示，每次運算均是將一個數(shù)先乘以2，再除以它與1的和，多次重復進行這種運算的過程如下：

若將[π]輸入進去，則[y10]的值為（ ）。

A. [256π255π+1] B. [512π511π+1]

C. [1024π1023π+1] D. [2048π2047π+1]

解析：要想求出[y10]的具體值還應根據(jù)給出的程序分別寫出[y1]，[y2]，[y3]，[y4]，認真觀察結果的構成，看能否找到所得結果的規(guī)律。

第1次，[y1=2ππ+1];

第2次，[y2=4ππ+12ππ+1+1=4π3π+1];

第3次，[y3=8π3π+14π3π+1+1=8π7π+1];

第4次，[y4=16π7π+18π7π+1+1=16π15π+1];

……

可得出[yn=2nπ（2n-1）π+1]，將[n=10]代入得到[y10=210π（210-1）π+1=1024π1023π+1]，故選C。

點評：該題計算較為復雜，但是只要找到正確的解題方向和規(guī)律，便不難解答。需要注意的是，得出計算結果后應注重化簡，分析分子、分母和計算次數(shù)之間的關系。

三、坐標變化類

坐標變化類問題通常和函數(shù)圖像結合在一起，解答該類問題，需要學生在明確求解問題的基礎上，運用函數(shù)、幾何圖形的性質分析坐標間的關系，以及應用函數(shù)圖像的平移規(guī)律、規(guī)則圖形的相關性質、三角形全等、三角形相似的判定等。不僅如此，還需要結合具體的情境作出輔助線，以更好地計算相關坐標。

[例3]如圖2，[△OA1B1]，[△A1A2B2]，[△A2A3B3]…是以[B1]，[B2]，[B3]…為直角頂點，斜邊在[x]軸正半軸上的等腰直角三角形，直角頂點[B1（x1， y1）]，[B2（x2 ， y2）]，[B3（x3 ， y3）]，…均在反比例函數(shù)[y=4x] [（x>0）]的圖像上，則[y1+y2+…+y10]的值為（ ）。

A. 2[10] B. 6 C. 4[2] D. 2[7]

解析：該題是等腰直角三角形和反比例函數(shù)相結合的綜合性問題，較為抽象，而且已知條件中未直接給出對應點的坐標。可設計如下問題引導學生思考：（1）怎樣求直角頂點的坐標？（2）等腰直角三角形有什么性質？（3）相加計算時應注意哪些細節(jié)？

顯然，需要作出對應的輔助線。等腰直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半，運用給出的反比例函數(shù)，可分別求出[y1]，[y2]，[y3]，…，[y10]，而后進行相加運算。為降低運算的復雜度，求和時應注重相關規(guī)律的應用。

如圖3，分別由[B1]，[B2]，[B3]，…向[x]軸正半軸作垂線，垂足分別為[D1]，[D2]，[D3]，…對于[△OA1B1]，因其為等腰直角三角形，容易得出[OD1=D1B1]，因為[B1]在反比例函數(shù)[y=4x（x>0）]的圖像上，所以[B1]的坐標為[（2， 2）]。設[A1D2=a]，則[B2（4+a， a）]，代入[y=4x（x>0）]，解得[a=22-2]，即[y2=22-2];同理，[y3=23-22]……[所以y1+y2+…+y10=2+22-2+23-22+…+210-29=210]，故選A。

點評：解答坐標變化類問題時應具備靈活的思維，注重幾何知識的靈活應用，同時在計算時應注意觀察，掌握相關的計算規(guī)律。

四、圖形變化類

圖形變化類問題要求學生根據(jù)圖形的變化求解圖形的角度、圖形的線段長度、周長以及面積等。突破該類問題的關鍵在于找到圖形變化前后的規(guī)律。該類問題創(chuàng)設的情境復雜多變，部分習題難度較大，因此教師應多給學生提供不同的情境，多與學生互動，避免其走進解題的誤區(qū)。同時，注重運用多媒體技術為學生動態(tài)展示相關圖形的變化，使學生能夠清晰地看到圖形變化過程中角度、線段長度等的變化，幫助其更好地找到解題的思路。

[例4]如圖4，已知[△ABC]的面積為1，第一次操作：分別延長[AB]，[BC]，[CA]至[A1]，[B1]，[C1]，使得[A1B=AB]，[B1C=BC]，[C1A=CA]，順次連接[A1]，[B1]，[C1]得到[△A1B1C1];第二次操作延長[A1B1]，[B1C1]，[C1A1]至[A2]、[B2]、[C2]，使得[A2B1=A1B1]，[B2C1=B1C1]，[C2A1=C1A1]，順次連接[A2]，[B2]，[C2]，得到[△A2B2C2]，按照此規(guī)律進行下去，若使得到的三角形的面積超過2019，則至少需要經(jīng)過（ ）次操作。

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

解析：該題文字敘述較多，難度較大，只有充分理解題意，挖掘潛在的變化規(guī)律，才能順利地求解。教師應引導學生作出相關的圖形，并通過認真地對比、分析，挖掘題干中的隱含信息，找到操作后得到的三角形與原三角形面積之間的關系。

連接[BC1]，則其為[△A1AC1]的中線，則[S△ABC=S△BAC1=S△A1AC1=1]，則第一次操作后得到的三角形面積為[2×3+1=7]。同理，第二次操作后，[△A2B2C2]的面積為[△A1B1C1]的7倍，為[7×7=49]，以此類推，第三次、第四次操作后得到的三角形的面積分別為[49×7=343]、[343×7=2401]，若要想滿足題意則至少需要進行4次操作，故選A。

點評：解答圖形變化類問題時應注重把握變與不變的量，分析變量是怎樣變化的，而后進行有規(guī)律的計算。

為了提高學生解答規(guī)律性問題的能力，教師應結合學生的實際情況，制訂明確的教學目標與教學計劃，既要注重相關解題技巧的教學，又要對習題分門別類地整理，優(yōu)選精講經(jīng)典例題，更好地拓展學生視野，使其掌握解題規(guī)律。同時，及時組織學生的開展專題訓練活動，趁熱打鐵，使學生將學到的知識內化為解題能力，靈活地解答各類問題。

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（責任編輯 黃桂堅）