“課程思政+線上線下混合式教學模式”下初等數論教學改革初探

石艷 韋師 王春勇

[摘? ? ? ? ? ?要]? 基于初等數論課程的教學實踐，結合現有文獻和相關文件，首先，設計了“課程思政+線上線下混合式教學模式”下初等數論課程教學實施流程圖，并對流程圖進行說明;其次，以同余的概念及其基本性質為例分析如何在初等數論課程中開展“課程思政+線上線下混合式教學模式”教學;最后，對全文進行總結。

[關? ? 鍵? ?詞]? 課程思政;線上線下混合式教學;初等數論;同余

[中圖分類號]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文章編號]? 2096-0603（2022）35-0038-04

一、背景分析

2020年5月，教育部印發《高等學校課程思政建設指導綱要》（以下簡稱《綱要》），明確提出：全面推進課程思政建設是落實立德樹人根本任務的戰略舉措，是全面提高人才培養質量的重要任務;專業課程是課程思政建設的基本載體，要深入梳理專業課教學內容，結合不同課程特點、思維方法和價值理念，深入挖掘課程思政元素，有機融入課程教學，達到潤物無聲的育人效果。針對理學類專業課程，《綱要》指出要注重科學思維方法的訓練和科學倫理的教育，培養學生探索未知、追求真理、勇攀科學高峰的責任感和使命感[1]。線上線下混合式教學模式是指在傳統教學模式的基礎上，融合互聯網而產生的教學模式，適應時代發展和人才培養的需要，彌補了單純線上教學或單純線下教學的不足，線上線下混合式教學模式是目前各個高校進行教學的重要手段[2]。初等數論是高校數學與應用數學專業的一門必修課，是中小學數學教師必須掌握的內容，是數學思維能力培養的重要載體，其具有豐富的歷史資料和科學家故事，在計算機科學、密碼學、信息安全、組合數學、代數編碼等領域均有廣泛的應用。在初等數論課程開展“課程思政+線上線下混合式教學模式”，其可行性為：初等數論課程歷史悠久，有豐富的歷史資料和科學家故事，在課前向學生介紹相關知識點的歷史背景和科學家故事，有助于提高學生的學習興趣，增強學生的文化自信;必要性為：初等數論其章節之間連貫性不強，大部分知識點對于學生來說比較陌生，因此有必要在課前通過線上視頻、PPT等資料讓學生先熟悉相關知識的歷史背景、應用、難點問題剖析，讓學生對整節課有整體把握，更加充滿自信、帶著疑惑上課，提高課堂學習的效率。

隨著課程思政相關文件的相繼出臺，一些學者探討了課程思政背景下初等數論的教學設計等問題。如張四保[3]基于HPM視角探討了初等數論的教學設計問題;趙宇等[4]從課程元素的挖掘和思政教育的實施兩方面闡述如何在初等數論專業課教學中開展課程思政教育;王麗和金晶[5]以初等數論課程教學為例，從課程思政的教學切入點出發，結合教學實踐，對專業課程的教學改革進行了探討;蔣紅梅[6]從融入思政教育的內容、層次及方式三個方面研究初等數論課程教學中融入課程思政的教學路徑。

近幾年線上教學全面推廣，高校教師尋找各種線上資源以滿足停課不停學的要求。但是，經過一段時間的線上教學實踐后發現線上教學模式的弊端逐漸顯露，特別是對于數學類課程，單純的線上教學會導致學生對知識點的掌握不夠熟練、計算能力出現下降等。為了提高課堂效率，“線上線下混合式教學模式”逐漸在高校推廣，一些學者也基于該教學模式的實踐撰寫了相關的教學改革論文。如張智豐等[7]研究了線上線下混合式教學模式在數值分析課程中實施的具體步驟;吳萬青和杜瑞忠[8]基于MyCOS網絡教學平臺，探討了線上線下混合式教學法的效果評價問題;衛莉莉和李琳[9]探討了線上線下混合式教學法在離散數學課程中的應用實踐;羅輝等[10]以惠州學院為例探討了基于OBE理念的高等數學課程線上線下混合式教學模式的設計問題。

本文基于初等數論課程的教學實踐，結合現有文獻和相關文件，設計了“課程思政+線上線下混合式教學模式”下初等數論課程教學實施框架，以同余的概念及其基本性質為例分析如何在初等數論課程中開展“課程思政+線上線下混合式教學模式”教學。

二、“課程思政+線上線下混合式教學模式”下初等數論課程教學實施基本框架

根據初等數論課程的特點，設計“課程思政+線上線下混合式教學模式”下初等數論課程教學實施基本框架圖（文末圖1），作為每章內容教學的基本框架和總體思路。基本框架包括三部分：學生進行課前線上預習、課中線下講授和課后線上線下評價、答疑。三部分具體內容如下：

課前線上預習部分：教師通過網絡教學平臺如超星學習通等平臺發布相關預習資料。初等數論相對其他課程來說比較難理解，定理、引理等較多，內容章節之間較獨立，學生相關內容之前接觸得比較少，學習的積極性和主動性不高。課前線上預習部分能很好地解決這些問題，通過PPT等形式讓學生清楚章節的學習目標;通過短視頻讓學生了解相關章節的歷史背景、科學家故事等，提高學生學習的積極性，實現立德樹人的思政目標;通過對核心概念的解析、難點問題的剖析，減輕學生的學習負擔;最后通過問題單的解答方式檢驗學生預習的學習成效。

課中線下講授部分：首先，以小組的形式讓學生進行課前預習的展示，提高預習的效果，通過學生預習反饋，更有針對性地進行教學;其次，教師對知識點進行講授，理順相關的內容，實現知識、思政等目標;再次，通過對典型任務的探討與成果展示，使學生理解章節的重難點內容，培養學生自主學習、合作交流的能力;最后，進行答疑解惑，增強學生學習的自信心。

課后線上線下評價、答疑部分：首先，通過布置分層作業、發布問卷調查、讓學生進行他評與自評等多種評價方式，了解學生對該章節內容的掌握程度，方便教師根據學生的學習效果及時調整上課方式等不足之處;其次，通過QQ、微信、網絡教學平臺等對學生的疑惑進行解答，進一步增強學生的學習自信心，提高學生對該門課程的學習興趣。

三、“課程思政+線上線下混合式教學模式”下同余的概念及其基本性質教學設計分析

同余的概念及其基本性質是閔嗣鶴和嚴士健編寫的《初等數論》教材第三章“同余”第1節的內容。

（一）課前線上預習部分

1.短視頻展示同余的歷史發展背景、科學家故事，融入課程思政元素

因為本節是第三章“同余”的第一節內容，因此有必要通過視頻展示同余相關的歷史背景，通過PPT展示本章的學習目標。

（1）同余相關理論發展的歷史背景

同余概念的引入簡化了數論中的許多問題，同余理論是初等數論的核心內容之一，其中蘊含著大量的數論所特有的思想、概念和方法，它的出現是數論成為一個獨立的數學分支的標志。同余概念的引入使得無限的整數被劃分為有限類，在一定意義下，一個特殊類中所有的數本質上是一樣的，因為它們在被模除時有同樣的余數。中國剩余定理、費馬小定理、二次互反律構成了同余理論的基本框架。費馬小定理是初等數論的基本定理，在定理的證明中有著核心地位;二次互反律反映了二次剩余特征的奇妙性質，對它的研究引發出許多重要成果;同余關系滿足反身性、對稱性、傳遞性，是第一個在今天的代數中無處不在的等價關系的例子。

中國剩余定理：《孫子算經》有記載“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”后被西方人稱為“中國剩余定理”。中國剩余定理產生于公元13世紀，比西方早500多年，除了可以用來解一次同余式組，還在許多領域都有應用，如歷法編算、計算機設計、環論等方面。

費馬小定理：費馬小定理是費馬于1640年提出的，略有遺憾的是費馬并沒給出此定理的證明;歐拉于1736年首次證明了費馬小定理。

（2）科學家故事

費馬：法國數學家，其在數論、解析幾何、概率論等多個方面都有突出貢獻。費馬對數論尤其感興趣，證明或提出了很多命題，提出了費馬大定理、費馬小定理，對數論的發展起到奠基作用。

歐拉：瑞士著名數學家，于1736年首次證明了費馬小定理，并于1760年證明了更具一般性的歐拉定理。歐拉定理是同余的一個性質，該定理被認為是數學世界中最美妙的定理之一。歐拉定理蘊含著豐富的數學思想方法，在經濟學、密碼學等方面有著重要的應用。歐拉畢生從事數學研究工作，撰寫了幾何、分析、變分法等方面的數學經典書籍，他晚年不幸雙目失明，在失明后的17年時間里，以口述的方式繼續從事數學研究。

課程思政切入點1：培養學生的學科素養。通過視頻講述同余理論的作用和發展，不斷培養學生的學科素養，指出初等數論課程在數學專業課程中的地位和作用。

課程思政切入點2：增強文化自信。通過引入《孫子算經》內容，讓學生感受中國數學家的創新和鉆研精神，進一步指出中國剩余定理產生于公元13世紀，比西方早500多年，增強學生的文化自信。

課程思政切入點3：感受數學家鍥而不舍的鉆研精神和創新意識。通過引入與章節內容相關的數學家故事，讓學生感受數學家鍥而不舍的鉆研精神，進一步培養學生的創新意識。

2.PPT展示章節教學目標、內容

課程思政切入點：通過對章節教學目標的了解及預習本節的內容，培養學生自主學習的習慣。

3.核心概念剖析

同余的概念：給定一個正整數m，把它叫作模。如果用m去除任意兩個整數a與b所得的余數相同，我們就說a，b對模m同余，記作a≡b（modm）。如果余數不同，我們就說a，b對模m不同余，記作a[≡] b（modm）。

同余的概念剖析：（1）同余概念中涉及的a，b和m都要求是整數，其他則不成立。（2）同余的概念以第一章第1節定理4（帶余除法）為基礎，同余表示兩個整數a，b同除以m所得到的余數一樣，稱為a，b對模m同余。（3）同余與相等不同。表示的意思與記法均不同，同余中涉及的三個整數，其中一個發生變化都有可能導致它們之間的同余關系發生變化。

課程思政切入點：透過現象看本質，細心觀察，總結歸納。通過對核心概念的剖析，培養學生透過現象看本質的思維，同時培養學生善于細心觀察，提高總結歸納的能力。

4.難點剖析

定理1 整數a，b對模m同余的充分必要條件是m|（a-b），即a=b+mt，t是整數。

證明：必要性：根據帶余除法分別求出整數a，b除以模m的余數，即a=mq1+r1，b=mq2+r2，0≤r1≤m，0≤r2≤m。

因為整數a，b對模m同余，所以有r1=r2，因此a-b=m（q1-q2），即m|（a-b），a=b+mt成立。定理的必要性

獲證。

充分性：若m|（a-b），則m|[m（q1-q2）+（r1-r2）]。因此，m|（r1-r2），由于r1-r2

課程思政切入點：嚴謹的邏輯思維和聯想思維。通過對定理的證明，培養學生嚴謹的邏輯思維。由同余的概念聯想到帶余除法，培養學生的聯想思維。

5.設計問題單

由于上課伊始已經將全班學生分為10個學習小組，因此問題單一般由小組討論后上課進行展示。

問題單：（1）小組討論并證明性質丁—性質癸，其中第1小組討論并證明性質丁;第2小組討論并證明性質戊;第3小組討論并證明性質己;第4小組討論并證明性質庚;第5小組討論并證明性質辛;第6小組討論并證明性質壬;第7小組討論并證明性質癸。第8、9、10小組做補充說明。

（2）感興趣的同學思考并回答：9月1日是星期四，請問9月30日是星期幾？

課程思政切入點：培養學生的自主學習能力、協作能力和應用能力。學生通過課后小組討論，培養他們自主學習的能力和團隊協作的能力。通過對生活問題的思考與回答，培養學生學以致用的意識，提高學生的學習興趣。

（二）課中線下講授部分

環節1：播放視頻，教師線下再次講解視頻內容，加深學生對同余的歷史發展背景、科學家故事的印象。進一步鞏固課程思政理念，達到立德樹人的目標。

課程思政切入點：通過線下播放視頻，教師口頭陳述與補充，進一步培養學生的學科素養，增強他們的文化自信，體會數學家鍥而不舍的鉆研精神和創新意識。

環節2：線下講解同余的概念，強調注意事項，即同余概念剖析中的三點，并給出概念辨析。

練習題：判斷正誤。

（1）9與16同余。（? ）

（2）9與16對模7同余。（? ）

（3）101與80對模7同余。（? ）

（4）101與80對模5同余。（? ）

課程思政切入點：培養學生辯證唯物主義觀。進一步對概念進行解釋與辨析，使學生能深刻理解核心概念的真正內涵，培養學生的辯證唯物主義觀。

環節3：線下再現重難點剖析，即定理1。定理1講解后教師進一步指出：同余概念的三個等價式子：a≡b（modm）?m|（a-b）?a=b+mt。三個等價式子是下面性質證明的重要工具。

課程思政切入點：等價轉化的思想。通過對同余概念的三條等價轉化公式的講解，培養學生等價轉化的意識。

環節4：12條性質的探討，采取小組上臺演示、線下討論，教師評價、補充和延伸知識點形式。

課程思政切入點：增強學生學習初等數論課程的自信心，突出以學生為主體、教師為主導的課堂。

（三）課后線上線下評價、答疑部分

1.教師在平臺上發布問卷調查，調查學生對本節課的掌握程度，一般設計10個問題。

①你喜歡這節課的授課方式嗎？②線上線下混合式教學方法是否能提高你對知識點的理解？③你理解同余的概念嗎？④你是否理解定理1并能應用其對性質進行證明？⑤你會證明性質丁—性質癸中的幾個性質？⑥你對哪個性質印象最深刻？⑦你認為你自己對這節課的掌握程度有多少？⑧你認為你的組員對這節課的掌握程度有多少？⑨通過這節課，你對學習數學題是否更加自信？⑩教師是否能營造積極的課堂氛圍？

設計說明：①②主要為了解學生是否能適應這樣的授課模式;③④⑤⑥⑦主要了解學生自身對知識點的掌握情況;⑧組員之間進行評價，即從他評的角度了解學生對該知識點的掌握程度;⑨主要了解課程思政教育的效果;⑩從學生的角度對教師授課進行評價。

2.布置課后作業。

3.線上線下答疑。

四、總結

通過采用“課程思政+線上線下混合式教學模式”進行授課，極大地提高了學生學習初等數論課程的積極性，通過課前線上預習，學生了解了該章節的教學目標、相關知識點的歷史背景、科學家故事，核心概念的剖析、重難點的分析，并做相應的問題單等，使學生對課堂學習更加充滿自信和興趣，全身心投入課堂學習中，極大地提高了課堂的效率。通過線下學生小組展示和激烈探討，教師補充講解，達到了以學生為主體、教師為主導的教育理念。最后通過問卷、作業和課后答疑等方式了解學生對本節課的掌握程度。課程思政貫穿課前、課中、課后全過程，真正落實了立德樹人的根本任務。

參考文獻：

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