解讀分類討論思想在高中數學解題中的應用

杜佳星

數學思想是數學教育中的重點，能否掌握數學思想對于學生在數學領域的成長和未來發展有重要的影響。分類討論思想是解決高中數學各類數列、函數題目時應用頻率較高的一種數學思想，是學生解決數學問題的有力手段，應用分類討論思想可以為高中生解決數學問題提供一些思路和幫助。

相較于小學、初中階段的數學而言，高中階段的數學因為參數的增多、抽象性提高而表現出復雜的情況，如果還進行統一分析，很多學生很難理清復雜的題干關系。而分類討論思想之所以在高中數學教學和解題中受歡迎，是因為這種數學思想能夠幫助學生簡化題干關系，將一個問題分割成幾個小問題，這些小問題更容易理解和解決。

一、分類討論思想概述

分類討論思想是一種先分后合的數學分析思想，也是一種解決數學題目、完整回答問題的思路。在應用分類討論方法解決抽象的數學問題時，將一個復雜的大問題按照統一的標準劃分為幾個小問題，逐一解決這些小問題可有效化簡大問題，提高問題的解決質量和效率。

二、分類討論思想在高中數學中的舉例說明

（一）數列部分應用分類討論思想

數列部分是高中數學的重點之一，在數學考試中占據一定的分數比例。分類討論思想是高質量、高效率解決數列部分問題的有力方法，應用分類討論思想能夠幫助學生減小丟分的可能性。

例1.現有一等比數列，此數列中首項于題干中明確，但公比不確定設為系數a，求前N項的數值總和[1]。

這樣一個數列問題可以作為母本出N個數列題目，而學生可以從解決這個母本問題入手。現在，在沒有具體數列、首項的干擾下，分析這道數列問題。因題干中公比不確定，所以公比有兩種情況：一種是公比數值為1，另一種是公比數值不為1。當公比數值為1時，那么所求的前N項的數值總和就是前N項的乘積;當公比數值不為1時，那么所求的前N項的數值總和就是（首項+第N項）×N/2。數列問題本來并不困難，但很多學生在解題過程中會忽視第一種公比數值為1的情況，導致解題過程和答案不完整。如果學生能夠掌握分類討論的思想，將所遇到的問題按照統一的標準進行分類處理，就能夠有效降低回答不完整情況的概率。

（二）函數部分應用分類討論思想

函數是高中數學的一個大類別，也是很多高中生很頭疼的一部分。單純的函數最值、極值、單調性等問題的解決已經讓很多學生感到困難，如果函數中能夠有參數問題參與，那函數問題就會出現更加復雜的情況。關于這類問題，很多學生會運用分類討論思想對變化的因素進行分類討論，但對于“以誰為對象進行分類”“怎么分類”則把握不住，整個解題過程思路非常混亂，解題錯誤或不完整幾乎成為必然。學生在這樣混亂的解題中并未感受到解決數學問題的快樂，反而覺得處處都是陷阱，又怎么會喜歡學習數學呢。

這一層次的分類討論所討論的是二次項系數a在不同情況下函數的零點，然后做符號判斷確定單調性。首先，當二次項系數a=0時，函數被簡化為一次函數，零點、符號、單調性都迎刃而解;其次，當二次項系數a≠0時，需要進行二次項因式分解，從而出現兩個零點，學生需要考慮兩個零點的變化。到了這里學生遇到了第二層需要分類討論的情況，那就是二次函數的開口方向。這一層次的分類討論所需要討論的是a>0和a<0的兩種情況。然后，當兩個零點的大小關系不能確定的時候，學生還需要針對兩個零點的位置開展第三層分類討論，直至將這個函數的單調性問題討論清楚。在講解這類函數問題時，教師應將分類討論的思想和分類討論的過程講解清楚，讓學生明白這里為什么要進行分類討論，按照怎樣的標準進行分類，對哪個討論對象進行分類討論，讓學生明白我們是在逐層討論問題。

本人與不少高中階段數學學習困難的學生進行過深入的交談和分析，發現這些學生并不是對數學不感興趣，也不是上課不聽講，而是缺少正確的解題思路。當學生沒有具備分類討論的思想時，講再多試題，學生還是不明白。高中數學解題的突破關鍵在于讓學生明白，為什么在這里我們要用這種方法和這個公式。

參考文獻：

[1]王秋華.高中數學課堂教學中分類討論思想的應用初探[J].中國新通信，2020，22（11）：147.

[2]陳秀君.淺析分類討論思想在函數單調性討論中的應用[J].科學咨詢（教育科研），2021（4）：111-112.