利用MATLAB線性代數課程的混合式教學實踐研究

丁文文 劉子涵 王昌會 冷平

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?基于《教育信息化“十三五”規劃》中提出的要通過推進信息技術對教育教學保駕護航，探討將MATLAB運用于線性代數課程的實踐效果，結合MATLAB推動工程問題的計算機化，運用科學的方法推動信息技術與課程融合，促進課程改革的創新發展。

[關 ? ?鍵 ? 詞] ?MATLAB程序設計;線性代數;混合式教學

[中圖分類號] ?G642 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼] ?A ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文章編號] ?2096-0603（2022）28-0061-03

線性代數是代數學的一個分支，主要處理線性關系問題。基于線性代數在工程技術方面的廣泛應用性，應該賦予它一項重要使命——推動工程問題的計算機化。要做到這一點，必須讓學生學會用計算機求解高階復雜的矩陣模型，學會理解計算機給出的答案，而不是讓學生花很多學時用手工去推演求解低階線性方程組的解。然而傳統的線性代數教學只見定義、定理和推導，越來越形式化，造成很多工科生把線性代數看作是一門行列式求值和矩陣運算技巧訓練課，卻不理解計算的原理，感覺不到線性代數的應用性[1]。用計算機和數學軟件代替筆算，節省了學生時間，使他們把更多注意力放到線性代數的應用上。MATLAB是美國的一款商業數學軟件，是matrix和laboratory兩個詞的組合，稱為矩陣實驗室。MATLAB可以將矩陣計算、數值分析和數學建模等很多強大的功能以簡單方便的操作來實現，使得用戶特別是大學生認為數學的計算不再繁雜，減少對數學的恐懼，提高學習數學的興趣，實現學生的自我發展和科學創新[2]。

一、國內線性代數教學存在的難題

線性代數是一門非常抽象而又很難掌握的學科。由于教學計劃的限制，課時少，導致學生知識體系的不完整性，這與工科數學教學“以應用為目的，以必需夠用為度”的原則是不相符的。

在大數據時代，線性代數的重要性由于與計算機結合而日益提高，它是組織海量高維度數據進行科學計算和相關性分析的重要工具。學生除了學習線性代數基本知識外，還要學會把這些知識應用于自己的專業，這個特點對學生及教師的要求就提高了。比如，在計算機院校中，希望學生能利用矩陣特征值和特征向量進行彩色圖像的壓縮;利用矩陣分解來幫助學生為新的數據集選擇適合它的算法和參數等等。在財經類院校中，希望學生能利用線性方程組和逆矩陣的計算建立列昂惕夫投入產出模型;利用矩陣特征值與特征向量解決發展與環境問題;利用二次型在優化中的應用分析價格彈性等等。這些都需要對線性代數知識能熟練地掌握并具備較高的應用技巧。由于實際問題涉及變量較多，建立其相關矩陣規模較大，使用手算無法完成。由于這一局限性，計算量龐大的問題不能通過教學來完成，因此割裂了實際問題建模和線性代數教學之間的關系。

計算思維是運用計算機科學的思維方式進行問題求解、系統設計以及人類行為理解等一系列思維活動。編程是實現計算思維的具體語言和數據的運算方式。以往線性代數課堂教學中，學生每個階段積累的感性認識不足以支撐上升到該階段我們所期望的理性認識高度——計算思維。在很多學生計算機基礎很薄弱的條件下，采用何種不同尋常的教學手段和教學方法，用有限的課時促使我們突破學生之瓶頸，讓學生更好地掌握計算思維來解決線性代數的問題？學生沒有意識到計算機科學的基本思想和重要方法對自己“計算思維能力”培養的重要性，認為會使用幾種編程語言就具備了“計算思維能力”。探索線性代數學科的數學思維與計算思維的聯系，樹立基于線性代數的知識點進行計算思維學習設計的觀念，可以減少計算思維在學習中的不確定性。通過改進教學方法引導學生體會同樣一個問題，使用數學思維怎樣處理，使用計算思維怎樣實現，讓學生體會知識背后所蘊含的計算思維的規律和特點。

二、借助MATLAB，建立以工程應用為目的的實驗教學

如今科學技術變化迅速、信息高度發達，需要注重培養學生把實際問題轉化為數學問題然后對其求解，并加以處理解決。在新工科背景下，教學不僅要注重解釋線性代數的基本概念、基本理論和基本方法，同時還要介紹新的科技成果，比如神經網絡的前向傳導與線性代數中連續對于向量的線性變換過程極其相似，只是在層與層之間多了非線性激活函數。而這些概念的介紹僅僅通過算式的推導、計算是極其乏味的。如果能將MATLAB引入到線性代數課堂教學中，不僅可以有效地使學生從煩瑣、復雜的計算中解脫出來，還可以讓學生運用MATLAB來訓練神經網絡，以此觀察向量的線性變換過程，從而讓學生發現人腦思考的過程也可以用數學來描述[3]。

傳統的線性代數教學從高斯消元法到矩陣、行列式再到線性空間、二次型。而針對剛入學的一年級新生而言，他們從小一直以實用為導向，使用具體數學模型學習，這就存在一個數學思維方式的跨越問題[4]。線性代數可以從解析幾何開始講，從空間的仿射、旋轉變換引入矩陣，從定向體積引入行列式，通過這一幾何直觀進而引入線性代數的應用[5]（如文末圖1所示）。

利用MATLAB的直觀呈現功能，加深學生領悟矩陣概念、性質的能力，有效理解矩陣的特殊性和一般性，夯實矩陣運算的基礎，激發學生學習線性代數的興趣。比如，n階奇幻方陣是將1，2，3，...，n2共n2個自然數排成n行n列的正方形，使得每行、每列及對角線上的n個數之和都相等。對于低階的奇幻方陣，學生可能通過筆算還可以勉強算出，若階數大于5階以上，可以使用MATLAB的函數magic（n）來實現，并可以從中探索出構造成類似矩陣的規律[6]。當需要生成一組數據且符合正態分布時，可以使用函數randn（n）產生標準正態分布的隨機數的矩陣。線性代數可以幫助學生建立空間概念，但現有教法卻弱化三維，過分強調N維空間，全是公式，沒法畫圖，很不利于學生接受。通過MATLAB的函數randn（d1，d2，...，dN）隨機生成一個N維的張量，查看里面的數據，從而建立起N維空間的概念。

設x及y分別為n及m維向量，A為m × n矩陣，把方程Ax=y中的x看成輸入變量，y看作輸出變量，則這個矩陣A就執行了把x域內的向量組變成y域內向量組線性變換。這其實也實現了n維空間中圖形的線性變換[7]。比如在二維平面上，直線變換后仍然為直線，三角形變換后仍然為三角形。線性變換A對x平面上不同方向的向量產生的作用是不同的。可以取x平面上的一個單位向量，讓它漸漸轉動，看看變換后的y=Ax如何變化。MATLAB設計了這樣一個演示程序為eigshow，其輸入變元是二維矩陣A。鍵入eigshow（A）就出現了不同的變換效果，如文末圖1所示。通過這樣的變換效果，促使學生建立空間圖形的線性變換。

矩陣的奇異值分解（Singular Value ?Decomposition，SVD）是矩陣常用的一種分解方式，它來源于矩陣利用特征值和特征向量的特征分解。SVD用來提取矩陣的主要信息（主成分），從而通過比原矩陣少的數據量，還原跟原矩陣差不多的信息，目的是減少數據的冗余，以便能夠以有效的形式存儲或傳輸數據。比如一幅768×1024×3的圖像A，存儲需要2，359，296個像素。對矩陣A進行SVD分解，則A=U？鄱V，如果用R來表示取？鄱中特征值的個數，那么U就為1024×R的矩陣，S為R×R的矩陣，V為1024×R的矩陣。所以存儲的圖像需要1024*R+R*R+1024*R個像素，如果這個R比較小，那么存儲的空間就會小很多。如果在教學中想使用這個例子來讓學生理解特征值和特征向量的特征分解的話，如此大的數據使用板書呈現根本實現不了。利用MATLAB可以很方便展示圖像作為一個矩陣的分解以及利用主成分的提取來壓縮圖像的過程，代碼也非常方便實現，如下所示。

A = imread（′image.jpg′）;

R=input（′需要使用的特征值=′）;

for i=1 ∶ 3

[U，Sigma，V] = svd（double（A（：，：，i）））;

U（：，R+1：end） = 0; ?Sigma（：，R+1：end） = 0;

V（：，R+1：end） = 0;

B（：，：，i） = uint8（U*Sigma*V′）;

end

imshow（B）

r=（1024*R+R*R+1024*R）*3/2359296;

title（[′特征值= ′，num2str（R），′ ′，′存儲空間百分比=′，num2str（r）]）;

如圖2所示，當我們取前面50個最大的特征值，就可以基本上還原出圖像本身，但是存儲空間只用到了原來圖像存儲的13%。

三、結論

隨著教學理念的不斷更新，通過線上自學、線下實踐教學、線上回顧三階段的學習以及評價體系，線性代數的翻轉課堂教學模式在不斷改革和創新，不僅強化了學生學習的自主性，而且突出了學生在學習過程中的主體位置，最終將學習的主動權從教師手里轉移給學生。

參考文獻：

[1]劉錫平，何常香，魏連鑫.新工科背景下線性代數課程教學改革的實踐與探索[J].黑龍江教育（高教研究與評估），2021（4）：35-36.

[2]楊威，高淑萍，陳懷琛，等.新工科背景下線性代數教學改革與探索：以國家精品在線開放課程《實用大眾線性代數》為例[J].高教學刊，2020（5）：8-12.

[3]孟小燕.MATLAB數學建模技術在工程數學中的應用[J].中國新通信，2019，21（16）：161.

[4]楊麗萍.基于Matlab的線性代數概念教學法的研究[J].高教學刊，2020（3）：98-100.

[5]寇娜.MATLAB在線性代數理論教學中應用的探索[J].教育教學論壇，2020（29）：306-307.

[6]孫健，王翠芳.應用型本科線性代數教學模式的探索：基于MATLAB在解方程組中應用實踐的分析[J].天津商務職業學院學報，2015，3（6）：71-73.

[7]何小年，彭瓊.“3E”背景下線性代數教材中引入Matlab輔助教學初探[J].科技創新導報，2018，15（30）： 130-131.

[8]楊威，高淑萍，陳懷琛.慕課背景下MATLAB與線性代數應用的融合：介紹國家精品在線開放課程“實用大眾線性代數（MATLAB版）”[J].高等數學研究，2019， 22（3）：60-62.

編輯 司 楠

①基金項目：安徽省質量工程教學研究項目（2020jyxm1671）;安徽省教學研究項目（2020jyxm1691）;安徽省省級教學師范課程（2020SJJXSFK2169）;淮北師范大學校級課程團隊建設項目（kctdj18043）;淮北師范大學教學研究校級重點項目（2018jyxm01）。

作者簡介：丁文文（1976—），女，漢族，安徽滁州人，博士，副教授，研究方向：智能信息處理、機器學習。

劉子涵（1997—），男，漢族，江蘇泗陽人，研究生在讀，研究方向：中學數學教學。

王昌會（1996—），女，布依族，貴州貞豐人，研究生在讀，研究方向：中學數學教學。

冷平（1980—），女，漢族，山東棗莊人，碩士研究生，講師，研究方向：數學教育技術。