數學教學要“講理”

齊鐵清

摘要：數學源于對現實世界的抽象，學習數學講究弄懂道理、明白算理、研究推理。小學生學習數學的特點是以具體形象思維為主，逐漸向抽象邏輯思維過渡，在小學數學學習中如何處理好抽象與形象之間的關系是解決教與學之間矛盾的關鍵?！读x務教育數學課程標準（2022年版）》關注這一矛盾，在考慮學生學習興趣和接受能力的同時，適時、適度地進行滲透、引導，從學生熟悉的情境入手，使學生在感受具體情境中、在親身參與的動手活動中去感悟數學原理。數學教師要及時關注這一變化，探索相應教學策略，在課堂上為學生營造良好的數學學習環境。

關鍵詞：課程標準;課堂教學;數學原理

數學本身是一門“講理”的學科。學生認識事物、學習數學的心理特征決定了小學數學教學應以形象思維、具體活動為主，但這不等于就“不講理”。從《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）的變化中我們可以看到，其在考慮學生學習興趣、接受能力的同時，盡量讓學生感悟、理解、表述數學道理，真正做到“逐步形成會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”?！爸v理”這一理念貫穿于整個新課標之中，在課程內容中的實例部分尤為突出，本文僅以認數、計算、推理三個實例來分析這一理念對小學數學課堂教學的影響。

一、認數講道理

“數與代數”是義務教育階段學生數學學習的重要領域。數的認識包括對整數、小數和分數的認識。在這部分內容的學習中，學生經歷由數量到數的形成過程，需要理解和掌握數的概念。對數的概念的建立，教師必須從基礎開始，讓學生明白道理。

（一）整數比較講對應

在學習整數的大小比較時，新課標要求了解符號[<]、=、[>]的含義，會比較萬以內數的大小;通過數的大小比較，感悟相等和不相等關系;通過數量多少的比較，理解數的大小關系。其設計了“通過對應理解大小關系”的實例：圖1中第（1）題是小華完成的，你能像他一樣完成其他兩道題嗎？

這樣設計，意在使學生通過兩個集合中元素之間一一對應的方法判斷集合中元素的多少，這種對應的方法是數學學習的基本方法。通過對應的方法，學生可以感受到由數量抽象到數、由數量的多少關系抽象為數的大小關系。在這個實例中，學生可以通過“連一連”比較兩個集合中元素的多少，進一步感知用一一對應的方法能夠進行數量多少的比較，建立數感。

在直觀比較中，學生建立起的一一對應概念是學生認識數、認識數的大小的最基本的理念，是學生以后學習各種數學比較的基礎與起點，在學生認數的學習中起著非常關鍵的作用。

（二）分數比較講單位

在學習分數的認識時，新課標要求結合具體情境，初步認識分數，感悟分數單位，設計了“比較[12]和[13]大小”的實例。課程標準通過“把兩個同樣大小的圓分別平均分成2份和3份，比較其中1份面積大小”的方法，意在引導學生直觀理解分數的大小;然后，進一步把兩個圓都平均分成6份，通過[12=36]，[13=26]，[36>26]，所以[12>13];幫助學生理解分數單位之間的關系，使學生知道只有在相同的單位下才能比較分數的大小，這個法則與整數比較大小的法則是一致的。

同樣的單位下才能比較大小，這是“通理”，無論是整數、小數還是分數都適用。但在以往的小學數學教學中，有些教師更多的是通過具體情境來讓學生觀察，很少讓學生感悟、理解道理。其實，這里的感悟非常重要，因為在學生打基礎的過程中這種感悟的缺失是導致其后續學習銜接不暢的根本原因。

通過“把兩個同樣大小的圓分別平均分成2份和3份，比較1份面積大小”的方法，可使學生直觀理解分數的大小。這種直觀感受的方法對于小學生來說是可以接受的，通過觀察得出“同樣一個圓，分得份數越多，其中的1份就越小”的結論，學生也可以做得到。問題是只憑這種直觀感覺，學生并沒有真正理解分數單位。如果教師能在此基礎上再深入一步，把兩個圓都平均分成6份，使學生通過[12=36]，[13=26]，[36>26]，得出[12>13]的結論，這里比較的是3個[16]和2個[16]之間的關系，學生感悟到的就是只有在同樣的單位下才能比較分數的大小。單位相同，個數多的數就大，這與學生對整數的理解是相通的。教師不必計較這里學生懂不懂什么是通分，不必計較怎么想到的要分成6份，更不必計較學生知不知道[36]-[26]怎樣計算。數學學習是需要邏輯性和循序漸進的，有些內容不是學生見到之后馬上就能完全學會的。很多內容正是這種有計劃地反復呈現，才逐漸內化成學生知識體系中的有機組成部分。

這樣，通過一一對應來比較集合中元素多少的辦法來比較大小，講的是事實;在單位相同的情況下，通過比較單位個數的方法來比較大小，講的是道理。這些道理是通過看得見、摸得著的事實得出來的，“事”“理”相通，即為講道理。

二、計算講算理

計算是小學數學學習的主要內容之一。小學數學中的計算主要是整數、分數、小數的四則運算。新課標要求經歷算理和算法的探索過程，理解算理，掌握算法。在以往的教學中，有些教師習慣以計算方法為主，很少引導學生去理解算理。從新課標的調整變化中我們可以看出，其對算理的重視，無論是過程的探索還是結論的理解，在整數乘法和分數除法教學的變化上體現得非常典型。

（一）乘法意義講關系

新課標對整數乘除法的要求是：探索乘法和除法的算理與算法，會簡單的整數乘除法;在具體情境中了解四則運算的意義，感悟運算之間的關系。課程標準在“運算與運算之間的關系”的實例中列舉了“二年級（3）班有8個學習小組，每組5人，這個班一共有多少人？”的例子（如下頁圖2）。針對問題背景，教師要讓學生經歷用圖形表示數量關系的過程，理解乘法運算以及乘法與加法的關系。

這個關系在課堂教學中一般不太容易引起教師的注意，大多數教師只是用來讓學生看看乘法和加法計算的結果是相等的。其實，這個關系的理解能力對于學生理解乘法算理、感悟運算之間的關系非常重要。圖2中三個雙向箭頭連接的三個方框實際上是對一個事件的三種不同解釋。三種解釋從語言描述到圖形表示再到算式，是一個逐漸抽象的過程，表示的都是“這個班一共有多少人”，特別是通過這種關系讓學生明白圖中的乘法算式和加法算式表示的意義完全相同。學生的感悟能力無論是對算理的理解還是算法的運用都是至關重要的。

（二）除法運算講等量

以往的很多教材在教學分數除法時主要是對“除以一個不為0的數，等于乘這個數的倒數”這一算法的掌握，很少探究算理。分數除法的算理一直是小學數學的一個難點，也是學生理解算理的一個盲點。很多教材在處理一個數除以整數、一個整數除以分數之后就得出“除以一個不為0的數等于乘這個數的倒數”的結論，然后應用這個結論來計算分數除以分數。這很難讓學生信服，因為學生很難理解其中的算理。這樣，雖然不影響學生計算的正確性，但是影響對算理的理解，影響其以后的學習。

新課標在描述“整數除法與分數的關系”時很好地解決了這一問題，其要求結合具體情境理解整數除法與分數的關系。課程標準在“除法可以寫成分數的形式”這一實例中探討了“為什么4÷2可以寫成[42]”。這里主要是理解除法可以寫成分數形式，這是理解分數運算的關鍵。

新課標先是通過除法運算的意義和分數的意義理解它們之間的等價關系：除法運算可以表示把4個蘋果平均分給2個人，每人分到2個;分數可以表示4個蘋果的[12]，等價于2個蘋果。

然后，新課標通過算理進行一般性說明。怎樣知道“4÷2=△”中的“△”是多少？由于除法是乘法的逆運算，因此“4÷2=△”等價于“4=△×2”。根據等式的基本性質，等式兩邊同乘[12]等式不變，得到4×[12]=△。根據基本事實“等量的等量相等”，得到4÷2=4×[12]成立。因為4×[12]表示4個[12]相加，可以寫成[42]，所以4÷2=[42]。4÷2=4×[12]這個結果表明，除以一個數等于乘這個數的倒數。

有了這個基礎，對于像[37]÷[23]這樣一般情況的分數除以分數的題，為什么也適用“除以一個數等于乘這個數的倒數”的結論，學生就完全可以理解了。

雖然結論是一樣的，都是想得出“除以一個不為0的數等于乘這個數的倒數”，都是想說明“加法運算與乘法運算之間的關系”，但是過程也非常重要，因為學生可接受、能信服。這個一般方法是通過理解算理的過程得出的，“法”“理”相通，即為講算理。

三、推導講推理

推理是數學核心素養的重要組成部分，是學生數學學習的基礎。在小學數學的學習中特別強調感悟數的運算以及運算之間的關系，體會數的運算本質上的一致性，形成運算能力和初步的推理意識，養成良好的數學學習習慣。推理對于數學學習，既是一種意識，又是一種習慣。

（一）進行推斷講規律

在研究數量關系的部分，新課標要求能解決生活中的簡單問題，并對結果的實際意義作出解釋，經歷探索簡單規律的過程。新課標安排了“尋找規律進行判斷”的實例：聯歡會上，小明按照3個紅氣球、2個黃氣球、1個綠氣球的順序把氣球串起來裝飾教室。你知道第16個氣球是什么顏色嗎？這是在借助符號表示規律的基礎上，使學生感知通過規律可以進行推斷。解決這個問題，學生可以有多種方法，可以用字母來表示，用 A表示紅氣球，B表示黃氣球，C表示綠氣球，排列順序可以表示為：AAABBCAAABBC……從中找出第 16個字母，由此推斷第16個氣球的顏色。

這里設計的“第16個氣球是什么顏色”這個問題中的“16”很有講究。此前研究的“用不同符號表示變化規律”（如圖3），要求在橫線上填上合適的數字、字母或圖形，并說明理由。主要是啟發學生在解決問題的過程中探索規律，引導學生感悟對具有規律性的事物，無論是用數字還是字母或圖形都可以反映相同的規律，只是表達形式不同。

這里要求學生尋找規律進行判斷，對于第16個氣球顏色的判斷，既不必把前16個符號都寫出來，也不是不能寫出16個符號。這個“尋找規律進行判斷”的尺度把握得非常好，它既不是完全具體形象化地去數，也不是按照成型的公式去算，而是根據發現的規律進行判斷。

（二）方法轉化講遷移

在數與運算的學習中，新課標要求在具體情境中認識萬以上的數，了解十進制計數法;探索并掌握多位數的乘除法，感悟從未知到已知的轉化。新課標通過實例進行了具體的闡釋：學校圖書館為同學們購買圖書，其中繪本每本14元，如果買12本，需要付多少元？在知道兩位數乘一位數的基礎上，引導學生探索兩位數乘兩位數的方法，感悟從未知到已知的轉化。

這里的重點是理解從一位數乘法到兩位數乘法算理和算法的遷移。學生已知14×10的計算方法和14×2的計算方法，在此基礎上去探索14×12的計算方法。教師可引導學生將12分解成10+2，然后利用橫式體現算理：14×12=14×（10+2）=14×10+14×2，這樣就可以把未知轉化為已知。在分析的基礎上建立乘法運算豎式，從算理過渡到算法，在這樣的過程中可以發展學生的運算能力和推理意識。

對于這樣的設計，以往的教材中是很少看到的。很多教材在處理14×12的豎式時都是在強調“1與4的乘積為什么要寫在十位上”，很少有讓學生感受到這一步為什么是14×10的。如果學生自己能推導出14×12=14×（10+2）=14×10+14×2這一過程，那對于豎式為什么要這樣寫，自然就從道理上弄明白了。

這些是在尋找規律的基礎上進行的判斷，是在分析的基礎上建立乘法運算豎式，推導過程步步合情，“情”“理”相通，即為講推理。

認數講道理、計算講算理、推導講推理，步步緊扣，逐層深入。如果按照這個邏輯學數學，學生就會越來越有邏輯性，越來越懂道理。

數學學習中的講理不等于教師和學生在課堂上去“講”，數學學習中的“理”不是用來“講”的，是用來感悟、用來分析、用來體驗的。以“理”為前提，數學學習中的直觀、形象、圖形、情境才有意義。有“理”做保障，數學學習中的推導、遷移、類比、證明才有根基。

參考文獻：

[1]史寧中. 《義務教育數學課程標準（2022年版）》的修訂與核心素養[J]. 教師教育學報，2022 （3）.

[2]教育部.義務教育教學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

（責任編輯：楊強）