初中數學教學中論分類討論法思想的滲透

石永昌

初中數學教學中，教師經常使用分類討論法帶領學生感受新知。同時，此也是行之有效的解題策略，作為一種常用的數學思想，學生在使用的時候可以深入分析數學問題，將復雜的問題，通過分類討論法轉換為簡單的問題，更快速地解答出來。滲透分類討論法思想，能夠靈活運用數學知識解題，更快地解答數學問題。分類討論法思想是數學問題過程中，經常使用的數學思維。如果分析的數學問題不是單一性的，就可以分門別類，然后使用分類討論思想，解決問題。實際上分類討論思想一直貫穿在初中數學教學的始終，蘊含更多的數學內容，然后圖形討論，都會滲透數學思想，分類討論思想的運用更是常見。下面以知識點“圓周角”為例，闡述如何在數學課堂中運用分類討論思想：

一、分析教學背景

本次教學是在學生掌握圓心角、圓的對稱與圓的概念基礎上進行的，主要分析圓周角的概念與定理，讓學生知道圓周角與角的相關計算、與圓心角的關系、研究圓內接四邊形、證明角弦弧相等、判定相似三角形等有密切的關系，特別是探究借助完全歸納法，探究圓周角定理過程的時候，對學生分類討論能力的提升有促進作用。

二、教學中分類討論思想的運用

（一）創建情境，引入新課

在教學開始，引入舊的知識引導學生思考，如什么是圓心角，然后展示多媒體圖片，讓學生思考圓O中，圓心角的定義是什么？有什么性質？讓學生結合自己的已有認知，思考圓心角的概念與性質。其他同學與教師再糾正評價。通過此，明確圓心角的概念，了解圓心角的特點，如“圓心角的頂點在圓心”“等圓或者同圓中，圓心角若是相等，那么其對應的弧與弦也是相等的”在學生掌握基礎知識點后，教師再借助信息技術，為學生創建情境，展示在海洋館中，觀光者在借助圓弧形的玻璃，觀看里面神奇海底世界的圖片，如圖1，同學們分別站在O、C、D、E的位置，那哪個位置是最佳的觀賞角度？

本環節教師借助多媒體讓學生觀察，然后結合圖形，大膽想象，同時思考猜想是否正確。教師不給出明確的答案，而是通過設計懸念的形式，引出新的知識點——圓周角。

（二）合作探究，獲得新知

結合圖1，教師先帶領學生認知什么是圓周角。提出問題1：圖1中，∠AOB的頂點O在圓心上，那么∠AOB就是圓心角。請問∠ACB、∠ADB和∠AEB這三個角有什么關系？讓學生獨立思考，然后與同伴交流討論，回答問題，最終確定這三個角的共同特點，即所有角的頂點在圓周上、兩邊都和圓相交。問題2：請你根據探究，總結出圓周角的概念。引導學生通過類比的方法，嘗試回答問題，然后與同伴溝通，再進行補充與修改，最后得到圓周角的概念。問題3：同學們，你知道圓周角、圓心角有什么性質，它們的區別和聯系是什么？此讓學生獨立思考，然后補充圖形，利用多媒體課件，全面呈現圓心角與圓周角兩者的區別與聯系，通過列表格的形式，以圖形、角的頂點、角的兩邊三方面分別闡述圓心角與圓周角的不同。問題4：出示小練習，如圖2，讓學生判斷圖中哪些是圓周角，哪些不是圓周角，并說明理由。學生在思考后，答到圖（3）、（6）、（8）為圓周角，都符合頂點在圓上、兩邊都與圓相交的特點。在學生觀察圖片的時候，教師順勢提出問題5：你知道同圓中，相同的弧對應的圓周角與圓心角有什么位置關系嗎？

這五個問題的設計，以學生為主體引導其自主思考或者小組內討論，然后使用幾何畫板為學生在展示，以動態的觀點促使學生深入觀察，歸納知識點。最后總結圓心角與圓周角存在的三種位置關系，通過此為后期講解圓周角定理的分類做鋪墊，滲透分類討論思想。

（三）實踐觀察，測量比較

以研究圓周角的性質為本環節教學的目標。在此，可以將學生分組，讓其在白紙上任意畫出一個圓，然后確定一條弧AB，作出對應的圓周角與圓心角，然后用量角器分別測出這兩個角，記錄下來，比較這些角的度數有什么關系？以此探究出圓心角與圓周角大小的關系，滲透分類討論思想，讓同學們在比較與測量的時候，快速總結數學規律，讓學生更深入地感受分類討論思想。

（四）提出猜想，完成驗證

小組學生在完成實驗觀察、測量比較、記錄討論的基礎上，就可派出代表總結圓心角和圓周角角度的關系。在學生提出猜想之后，就可利用幾何畫板，采用直觀演示的方法，驗證猜想。使用幾何畫板操作的過程為：在圓O中，∠AOB為圓心角，∠ACB為圓周角，先拖動點C，觀察幾何畫板中弧AB對應圓周角雖然有無數個，但是弧AB，對應的所有的圓周角，角度都是相同的。然后再度量對應圓心角，發現圓周角是圓心角度數的一半;再拖動點A，轉變弧AB的大小，發現圓心角和圓周角關系變化沒有變化，∠ACB=∠AOB。通過幾何畫板的運用，讓學生能夠推導自己的猜想。學生在積極參與小組活動后，教師提出問題，推進學生反思，并思考本次的證明都使用了哪些數學思想。讓學生在直觀觀察下，嘗試寫出已知，完成求證。可以從三種情況進行分類討論：第一，圓心在角的一邊上;第二，圓心在角的內部;第三，圓心在角的外部。讓其有足夠的時間進行討論，然后針對學生討論出的結果教師做知識整合，對三種情況進行完整證明。引導學生從數學符號、數學文字與數學圖形三種形式，加強對圓周角定理的理解。本環節的證明，借助運用完全歸納法，引導學生在分類討論與轉化數學思想下，完成對圓周角從特殊到一般的認知規律。

（五）解決問題，加強反思

待學生正確理解圓周角定理后，就可解決在課前提出的實際問題了，讓學生們解答問題，圖1中，∠AEB、∠ADB、∠ACB是弧AB對應的圓周角，而∠AOB則是弧AB對應的圓心角，可以得到對應圓心角與圓周角的關系。所以可以得到站在點O的位置，觀察的角度更大，視角越好。關鍵是掌握圓周角定理。

三、數學課堂中分類討論思想運用的具體策略

上述案例的教學重點是研究圓周角的概念與其定理，使用自主與合作探究的形式，引導學生探究圓周角與圓心角的三種位置關系，在此就是通過分類討論思想，對圖形的形狀與對應位置，進行分類討論。除此之外，在初中數學教學中，分類討論法還可運用在下面幾點進行：第一，數學概念與定理、公式受條件限制進行的討論;第二，分類討論數學問題中，字母的多種取值;第三，做計算問題時，受實施條件的限制而引發的討論。由此可知，分類討論在數學教學中的廣泛運用，并且從這節課中獲得的啟示為：在教學中滲透分類討論，將不同層次的學生組成小組，完成探究。在小組交互中，完成學習任務，積極調動學生學習的積極性，提升學習效率。

再如在習題課中，滲透分類討論思想，可以引導學生形成一種常態的數學思想來解決問題。在解答習題的時候，教師就可在不經意間，引入數學思想，讓學生自己根據已有認知，挖掘有效信息，然后在數學思想的指引下，想到解決問題的思路，順利解決問題。以幾何知識為例，可多通過經典例題，提升學生的數與形的轉換能力。如果有的題目沒有確定的結合圖形定量，就可使用結合圖形的特點，轉換成數，進一步計算。如問題，一次函數? y=kx + b的自變量x在2和6之間，y在-11和9之間，求此函數解析式。此問題就是使用待定系數法求解。需要學生對函數的形式有深刻的了解之后，就可使用分類討論法，對于函數解析式的解答就迎刃而解了。

四、初中數學教學中滲透分類討論思想的建議

教師作為數學課堂的主要組織者與引導者，要重視對學生思想觀念的影響。但是經過問卷調查，發現已經有更多的教師意識到，數學課堂中滲透分類討論法的重要性，但是在具體實踐中，卻很少在班級中貫徹分類討論思想，而更多的教師也受多種原因影響，經常“換湯不換藥”，運用傳統的“重知識，輕思維”的教學方式。產生這一問題的原因，是教師還是不能深刻認知到教學中該如何滲透分類討論思想。在此學校要對教師開展培訓，提升其數學思想運用的意識，提升師資隊伍的學習能力，增強教師的專業素養。基于此提出下面幾點建議：第一，初中數學教師要建立終身學習的觀念，為滲透分類討論法保駕護航;第二，數學教師要深入分析教材，探究數學分類討論思想，設計適合的教案;第三，教師要積累更多的數學思想教學經驗，樹立一套完整的數學思想滲透教育機制;第四，學校要多為教師進行教育培訓，獲得適合的教學經驗，還可為教師提供專業化的教育期刊，幫助教師在定期交流討論中建立樂教樂研的校園文化氛圍。教育，作為長期發展的事業，需要教師一直提升自己的專業素養，才能更好地滲透數學思想。

另一方面，引導學生主動運用分類討論思想解題。新時期，數學教育，即是課堂中師生進行有效的互動，不能是教師對學生單方面的教育。數學分類討論思想在課堂中的滲透，需要以學生為主體，積極培養其探索性與積極性。在此，要想讓學生意識到，數學分類討論法在解題中的重要性，一定要轉變高分數的畸形學習觀，就要從本質上優化學生學習的方式和學習思維，以良好的成就感提升學習的內驅力。

綜上，在教師有目的的引導下，可以幫助學生掌握分類討論思想，在解答復雜問題的時候，能夠注意分類討論思想的運用，對學生后期學習更難的知識有所幫助，正確運用分類思想，提升解題能力。