用"截長補短法"巧解線段和差問題

賈立娟

【摘要】在初中數(shù)學幾何問題中，常見一種求線段和差的問題.這類問題如何解決，確實對學生造成了一定困擾.接下來，本文嘗試利用"截長補短法"巧妙化解.

【關(guān)鍵詞】截長補短;線段和差;幾何問題

例如

分析在尋找本題的解題思路時，可從本題的結(jié)論出發(fā)，采用"截長，或"補短，都能將問題巧妙的轉(zhuǎn)化成證明兩條線段相等的問題.

思路1

分析"截長補短法，分為"截長法，或"補短法，.細觀圖1不難發(fā)現(xiàn)，可以先將 AC延長，然后構(gòu)造出等腰三角形，通過角的關(guān)系為全等三角形準備條件.最后，通過全等三角形將邊轉(zhuǎn)化.具體解題過程如下：

解

思路2

分析受思路一的啟發(fā)，既然可以延長 AC構(gòu)造出等腰三角形，那么完全可以延長 BC也構(gòu)造出等腰三角形.于是延長 BC，然后構(gòu)造出等腰三角形ACF，再通過"∠ACD=2∠B，、"AD平分∠BAC"兩個條件證明得到第二個等腰三角形 ADF.最后，將邊的問題巧妙轉(zhuǎn)化.具體解題過程如下：

解

思路3

分析思路一和思路二都是"補短法，，那么接下來可以嘗試"截長法，.該法只需在 AB上截取一條與 AC相等的線段，然后通過全等三角形、等腰三角形實現(xiàn)角的轉(zhuǎn)換和邊的轉(zhuǎn)換，最終證明AB=AC+CD.具體解題過程如下：

解

變式

分析本題與例題有異曲同工之妙，受例題啟發(fā)，本題也可以用截長或補短的方法構(gòu)造出全等三角形，然后將邊的問題轉(zhuǎn)化.因此，有以下三種不同解法：

解法1

解

解法2

解

解法3

解

需說明的是，變式題解法二、三的旋轉(zhuǎn)方法與"截長"、"補短"會達到相同的解題效果，所以，變式題的最后兩種解法中的作輔助線可由旋轉(zhuǎn)實現(xiàn).

綜上所述，在證明兩條線段的和或差時，可以利用"截長補短法"將問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍笞C一條線段與另一條線段相等.這時候，只需構(gòu)造出三角形，然后利用全等三角形便可完成證明.在各種不同的解法當中，靈活的思維能力尤為重要，這是一題多解、變式解題中的關(guān)鍵所在.這方面能力，一線初中數(shù)學教師們要對學生進行有針對性的培養(yǎng)或者訓練.