與二次函數(shù)系數(shù)相關(guān)的代數(shù)式符號問題

王歡

二次函數(shù)是描述現(xiàn)實世界變量之間關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在各地中考中均是考查重點，除以最后一題的解答題形式出現(xiàn)外，還經(jīng)常以多結(jié)論類選擇題出現(xiàn)，考查與二次函數(shù)系數(shù)相關(guān)的代數(shù)式符號問題.下面舉例介紹此類題的解題思路.

一、知識梳理

二次函數(shù)一般式為y = ax2 + bx + c（a ≠ 0），一般情況下有三個系數(shù)，每個系數(shù)對圖象影響不同.其中：a決定開口方向，a > 0時拋物線開口向上，a < 0時拋物線開口向下；a與b共同作用，決定對稱軸的位置，a與b符號相同時對稱軸在y軸左側(cè)，a與b符號相反時對稱軸在y軸右側(cè)；c決定拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)；b2? -? 4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù).

二、原題重現(xiàn)

例 （2021·黑龍江·齊齊哈爾）如圖1，二次函數(shù)y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）圖象的一部分與x軸的一個交點坐標(biāo)為（1，0），對稱軸為直線x =? - 1，結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：

①a + b + c = 0；②a - 2b + c < 0；③關(guān)于x的一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的兩根分別為 - 3和1；④若點（ - 4，y1），（ - 2，y2），（3，y3）均在二次函數(shù)圖象上，則y1 < y2 < y3；⑤a - b < m（am + b）（m為任意實數(shù)）．其中正確的結(jié)論有（）.

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

分析：（1）將（1，0）代入二次函數(shù)y = ax2 + bx + c，可對①進行判斷；

（2）根據(jù)開口方向和拋物線與y軸的交點位置可得a > 0，c < 0，根據(jù)拋物線的對稱軸為x = -1得到[-b2a] =? - 1，則可對②進行判斷；

（3）利用二次函數(shù)的對稱性，可對③進行判斷；

（4）根據(jù)拋物線開口向上，離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，可對④進行判斷；

（5）根據(jù)x =? - 1時y有最小值，可對⑤進行判斷．

解：∵二次函數(shù)y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）圖象與x軸的一個交點坐標(biāo)為（1，0），∴a + b + c = 0，故①正確；

∵拋物線的對稱軸為直線x =? - [b2a] =? - 1，∴b = 2a，

∵拋物線開口向上，與y軸交于負半軸，∴a > 0，c < 0，

∴a - 2b + c = c - 3a < 0，故②正確；

由拋物線的對稱性得拋物線與x軸的另一交點坐標(biāo)為（- 3，0），

∴關(guān)于x的一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0）的兩根分別為 - 3和1，

故③正確；

∵拋物線的對稱軸為直線x =? - 1，且拋物線開口向上，

∴離對稱軸越近，y值越小，

∵點（- 4，y1），（- 2，y2），（3，y3）均在二次函數(shù)圖象上，且[-4 - （-1）] = 3，[-2 - （-1）] = 1，[3 - （-1）] = 4，

∴y2 < y1 < y3，故④錯誤；

∵x =? - 1時，y有最小值，∴a - b + c ≤ am2 + bm + c（m為任意實數(shù)），

∴a - b ≤ m（am + b），故⑤錯誤．

所以正確的結(jié)論有①②③，共3個．

故選C．

三、思路總結(jié)

1.同時出現(xiàn)a，b，c，考慮將特殊點代入函數(shù)表達式求值.

2.只有a，b 或者只有a，c，可考慮借助對稱軸將其拆分成含有a，b，c的形式.

3.函數(shù)值比較大小可借助距離對稱軸的遠近進行比較：若開口向下，距離對稱軸越遠則函數(shù)值越小；若開口向上，距離對稱軸越遠則函數(shù)值越大.