“問題驅動,素養導向”下數學習題課教學

高小娟

【摘要】新課程標準強調以培養學生的數學學科素養為教學目標，而數學學科素養的落實很大程度體現在習題課上.筆者針對目前高中數學習題課普遍存在的問題，提出了“問題驅動，素養導向”的教學模式.通過立足“最近發展區”，激發學生興趣;立足問題串導學，引發學生探究;立足頭腦風暴，引領學生提問，真正做到以學生為主體的高效課堂.讓學生不僅會解決問題，還會提出問題，不斷提升學生的數學思維，最大程度地落實核心素養.

【關鍵詞】問題驅動;數學核心素養;課堂教學

新課程標準強調以培養學生的數學學科素養為教學目標，該如何提高高中生的數學核心素養呢？筆者認為數學學科素養應落實到課堂教學上，而數學學習的根本任務則是運用數學知識來解決具體的數學問題，因此數學習題課的教學就擺在首當其沖的顯要位置，有效的習題課教學不僅能拓寬學生的解題視角，同時還能提升學生的數學思維品質.

1 高中數學習題課存在的問題

但是在目前形勢下，很多教師對習題課的認識不充分，高中數學習題課的教學上存在了很多問題，數學核心素養無法得到落實.首先、教師對習題課不夠重視.很多教師認為習題課無非就是講評練習，沒有充分備課，或者只是簡單地做了一下練習，導致習題課沒有達到應有的效果;其次、習題課形式過于單一.很多習題課都是以教師講授為主要方式，學生被動接受知識，沒有留給學生時間理解消化和吸收，導致對于某一道題沒有自主訓練，無法形成自己的思維，所以知識只停留在表層，沒有內化為自身的東西，即使遇到類似的題目，也可能還是不會做;再次、也存在部分老師缺乏教學經驗，就題講題，自然效果不理想.一味追求題量，讓學生不斷進行題海訓練，單一方式的講題讓學生疲憊不堪，大大降低了課堂教學的效率，也無法鍛煉學生的思維;最后，習題課上缺乏思維高度.方法是手段，思想是靈魂.很多教師注重解題，通過講評習題，希望讓學生掌握這一題該怎么解，就題講題，學生無法做到會一題通一類，沒有對方法進行總結，對思想進行拔高.

2 問題驅動理論的提出

著名心理學家皮亞杰提出：學生學習的知識是要通過自我建構得到的，而非依靠教師的一味講授.問題驅動式教學是通過系列問題設置的形式，教師有效引導學生思考、同學間的相互合作等方式，逐步解決問題的探究式學習模式，既符合了皮亞杰提出的建構學習，又能更好地開發學生的潛力，實現高效課堂.

問題驅動型習題課是習題課中最常見的類型，問題驅動是通過設置一系列的問題，引導學生在課堂中分析、解決問題，進而學會提出問題的課堂教學模式.通過問題串的設計，有效地將某一塊的核心內容分解成較為精細的幾個小問題， 從學生的“最近發展區”出發，帶著問題思考，根據所學過的知識先解決“小問題”，從而突破“大問題”，通過對一個個問題的解決， 完善數學知識的發展和形成過程.通過任務的導向，學生進一步明確研究的問題和思考的方向，而教師起到主導的作用，引導學生有效地開展探究活動，積極推進數學知識體系的建立，也鍛煉了學生的思維.

3 問題驅動的實踐探究

學生在學習完橢圓及其標準方程和橢圓的幾何性質之后，需要安排習題課對所學知識進行鞏固和運用，這樣便能夠及時發現和解決高中學生在學習中存在的問題，又加深了對橢圓概念的理解.焦點三角形是橢圓的一個基礎內容，其實質是對橢圓定義的深化研究，同時也考查了余弦定理、三角形面積公式等，是解三角形與解析幾何知識的交匯，所以系統地研究橢圓焦點三角形問題是很有必要的.此部分內容不僅能及時鞏固學生所學的知識，也是對高中學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養的培養.因此筆者安排了第一節習題課為對橢圓中焦點三角形問題的探究，希望通過問題是驅動，學生能靈活運用橢圓焦點三角形的定義和結論，巧妙簡單地解決問題，從而降低橢圓的難度和運算量.

3.1 立足“最近發展區”，激發學生興趣

最近發展區理論指出，高中課堂教學中應注重發展學生的思維能力，因此高中教師要充分了解學生的最近發展區，在學生已有的知識水平上進行設置問題，適當進行分層，逐步提高要求，幫助學生從最近發展區進入下一個發展區，完成階段性教學任務.立足學生的“最近發展區”，學生對橢圓的定義、方程和幾何性質有了一定的了解，筆者借助以下例題設置問題.

例1 設點P為橢圓C：x225+y216=1上一點，則點P與橢圓C的兩個焦點構成的三角形的周長（? ）

A、14??????? B、15

C、16???? D、17

問題1 從問題出發，焦點三角形的周長表示為PF1+PF2+F1F2，解決這個問題，關鍵在于求出PF1+PF2，用到什么知識點？

預設 周長為2a+2c=16，

引導 在橢圓中，隨著P點的運動，PF1、PF2的值也隨著變化，但是PF1+PF2的值始終保持不變.

結論1 設點P為橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）上一點，設PF1=m，PF2=n，焦點三角形一邊長為焦距，另兩邊的和為定值，故周長為定值2a+2c.

問題2 在例1的基礎上，若延長PF1交橢圓于Q點，則P、Q與橢圓的另一個焦點F2構成的三角形的周長是多少？

預設 通過圖形可以看出，此問題實質是研究兩個焦點三角形，因此周長為4a=20

問題3 在問題2的基礎上，若已知PF2+QF2的值，則PQ的值是多少？

預設 PQ=4a-（PF2+QF2），學生可以迅速解決這個問題.

設計意圖 從學生的“最近發展區”出發設置問題，由橢圓的定義易得出結論，能夠激發高中生學習的興趣.借助例題的分析，從特殊到一般，層層深入，并強調其本質是利用橢圓的定義來探究，在此基礎上進一步延伸和拓展;通過問題的設置，學生動手操練，更是對定義的鞏固和深化，邏輯推理、數學運算的核心素養得到了提升，學生也能感受到獲得知識的喜悅.

3.2 立足問題串導學，引發學生探究

隨著新課程標準的深入實施，數學核心素養在課堂教學中也充分得到落實.“問題串”教學法是立足于學生的學習基礎，將一個比較復雜的問題分解成幾個小問題，問題由淺入深、層層遞進，通過設計這樣一系列相關聯的問題來展開教學.當然，問題的設計要具有一定的啟發性，能夠帶領高中生逐步思考、積極建構，從而鍛煉學生的思維能力，達到高效的課堂教學的目的.

例2 若P是橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0上的一點，焦點F1、F2在X軸上，且∠F1PF2=90°，求ΔF1PF2的面積.

問題4 根據已知條件，可以利用什么知識來解決？

預設 不妨設PF1=m，PF2=n，根據定義得m+n=2a，

在ΔF1PF2中，根據勾股定理得m2+n2=4c2，

綜合以上兩個式子得，m·n=2b2，因此面積S=12mn=b2.

問題5 在其他條件不變的情況下，把∠F1PF2=90°改為∠F1PF2=60°，又該如何求ΔF1PF2的面積，利用什么知識來解？

預設 根據定義m+n=2a，在ΔF1PF2中，根據余弦定理得

4c2=m2+n2-2mn·cos60°=m2+n2-mn=（m+n）2-3mn，因此4c2=4a2-3mn

綜合以上兩個式子得，m·n=43b2，因此面積S=12mn·sin60°=34mn=33b2

問題6 在其他條件不變的情況下，把∠F1PF2=90°改為∠F1PF2=θ，求ΔF1PF2的面積，是否也一樣呢？

師生一起推導：根據定義得m+n=2a，

在ΔF1PF2中，根據余弦定理得4c2=m2+n2-2mn·cosθ=（m+n）2-2mn·1+cosθ，

代入得，4c2=4a2-2mn·1+cosθ，得，mn=2b21+cosθ

因此面積S=12mn·sinθ=12·2b21+cosθ·sinθ=b22cos2θ2·2sinθ2cosθ2=b2tanθ2.

結論2 已知橢圓方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），兩焦點分別為F1、F2，設焦點三角形ΔF1PF2中，∠F1PF2=θ，則SΔF1PF2=b2tanθ2.特別地，當θ=90°時，SΔF1PF2=b2.

設計意圖 精心設計問題串，每個問題層層遞進，由淺入深，不斷拓展教學深度，激發學生的積極思考，學生的思維跟著老師預設的方向進行，對焦點三角形的有關知識的理解和運用有個切實的提高.通過推導直角焦點三角形的面積，推廣到一般角度的三角形的面積，讓學生體會焦點三角形的面積跟b以及∠F1PF2有關，并且得出結論2中的面積公式，此結論的給出對學生在選填題的解題效率上得到了提升，面積問題的設計體現了知識的綜合性，以及由特殊到一般的數學思想.通過問題串的設置，可以有效地檢查高中生對該知識的理解和掌握情況，當然要注重問題提出的廣度和深度，才能有效提升高中生的思維能力.借助這一系列問題串的遞進，高中學生的思維不斷打開，讓學生體會到解決問題的成就感.

例3 已知點P在橢圓C：x24+y23=1，F1、F2是橢圓的兩個焦點，求∠F1PF2的最大值.

問題7 ∠F1PF2有最值嗎，若有，何時取到最值？

預設：有最小值為0，根據對稱性也有最大值.

追問 何時取到最大值？

教師可以借助畫板軟件動態展示隨著P點的運動，∠F1PF2的變化情況.

預設 根據定義m+n=2a，在ΔF1PF2中，根據余弦定理得

cos∠F1PF2=m2+n2-4c22mn=

（m+n）2-2mn-4c22mn=6-mnmn=6mn-1

追問 要求∠F1PF2的最大值，只需要求mn的最小值，利用什么知識來解？

預設 已知和是定值，積有最大值，可以借助基本不等式來解，因此，mn≤m+n22=4，當且僅當m=n=2時等號成立.此時，cos∠F1PF2=6mn-1≥12，∠F1PF2≤60°.

結論3 在橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，F1、F2是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上任意的一點，當點P在短軸端點時，∠F1PF2最大.

問題8 在橢圓x29+y24=1上，是否存在點P，使得∠F1PF2=90°？

預設 根據結論3可知，當點P在短軸端點時，∠F1PF2最大.因此只需知道此時的角∠F1PF2是銳角、直角還是鈍角即可.

問題9 如何求出點P的縱坐標？

引導 點P的縱坐標的絕對值即為焦點三角形的高，故可借助三角形的面積來求.

問題10 點P為以F1、F2為焦點的橢圓x29+y24=1上的動點，當∠F1PF2為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是多少？

引導 在問題9求出點P的縱坐標的基礎上，進而得出P的橫坐標，結合結論3，當點P越接近y軸時角度越大.

設計意圖 巧妙設計問題串，讓高中生合作探究動點的變化過程，進而得到最值的位置，培養學生的自主解決問題的能力，最大限度地提高課堂效率.在學生探究角度最大的位置，判定∠F1PF2是否是直角、提升到動點的坐標的問題，這些問題串的設計層層深入，充分調動學生的積極性.教學中采用信息技術輔助教學，讓學生感受動點的變化和生成過程，進一步深化了數形結合、函數與方程的數學思想，滲透了直觀想象和邏輯推理的數學核心素養.

4 結語

總之，問題驅動式教學在高中數學習題課中應用比較廣泛，通過問題串，由“點”到“線”，再向“面”展開，可以將一節課的有關知識有機聯系起來，形成學生的知識體系.通過課堂教學實踐，證明這種方法是行之有效的.而問題的選取和設置也是至關重要的，精選例題、合理設置問題的關聯和密度，能夠幫助學生更好地掌握數學規律和本質，更大限度地提高課堂教學效果.

【基金項目：本文系福清市教育科學研究“十三五”規劃2020年度課題“基于數學核心素養的習題課教學策略研究”（FQ2020GH024）的階段性成果.】

參考文獻：

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