殊途同歸：看幾何綜合題的不同思路

徐守群

幾何綜合題是每份中考試卷的必考題型。很多幾何綜合題往往存在不同的解題思路，因此，我們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)要注意從不同的角度進(jìn)行思考，追求一題多解、多解歸一的解題深度。

例題 如圖1，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E在邊AB上，PE⊥DE交BC于點(diǎn)P，點(diǎn)Q在線段DE上，且EQ=AE。

（1）當(dāng)AE=BE時(shí)，求四邊形BPQE的周長。

（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，四邊形BPQE的周長是不是定值？若是定值，請(qǐng)求出該定值;若不是定值，請(qǐng)說明理由。

【審讀題意】第（1）問，我們可以求出EQ=AE=BE=2。利用△ADE∽

△BEP，得BP=1，PE=[5]，則在

Rt△PEQ中，PQ=3。由此可求出四邊形BPQE的周長為8。

第（2）問有以下兩種典型思路。

思路1：（基于“計(jì)算”的思路）設(shè)AE=4x（注意，這里的設(shè)元比較“特殊”，主要是為了后續(xù)運(yùn)算過程中的一些系數(shù)都是整數(shù)），則BE=4-4x，EQ=4x。由△ADE∽△BEP，可得BP=x（4-4x），PC=4-x（4-4x）。分別利用勾股定理，得EP2=BE2+BP2，PQ2=EP2+EQ2，再將含x的式子分別代入，計(jì)算、配方，得出PQ2=16[1-x（1-x）]2，又因?yàn)镻C=4-x（4-4x），可得PC2=PQ2，即PC=PQ。于是四邊形BPQE的周長可轉(zhuǎn)化為AB+BC=8。

思路2：（基于“證明”的思路）如圖2，連接PD。在Rt△PED中，PD2=EP2+ED2;在Rt△PCD中，PD2=CP2+CD2。于是EP2+ED2=CP2+CD2，則CP2=EP2+ED2-CD2，由邊長AD=CD，可得CP2=EP2+ED2-AD2。又在Rt△AED中，AE2=ED2-AD2，所以CP2=EP2+AE2。而在Rt△PEQ中，PQ2=EP2+EQ2。于是PC=PQ。思路明確，我們也就能得出四邊形BPQE的周長為定值。

【拓展問題】如圖3，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E在邊AB上，連接DE，作PE⊥DE，交BC于點(diǎn)P，在DE上取一點(diǎn)Q，使EQ=AE，連接PQ。隨著點(diǎn)E在邊AB上運(yùn)動(dòng)，求PQ的最小值。

【審讀題意】例題第（2）問已經(jīng)研究了周長不變的性質(zhì)，其關(guān)鍵是證出PQ=PC，因此，拓展問題可以將PQ轉(zhuǎn)化為PC，而PC的最小值，對(duì)應(yīng)著BP取最大值。于是，我們可設(shè)AE=4x，則BE=4-4x，EQ=4x。由△ADE∽△BEP，可得BP=x（4-4x）。根據(jù)二次函數(shù)的最值分析法，易求出PB的最大值為1，則相應(yīng)的PC最小值為3，即PQ的最小值也為3。

【同類再練】如圖4，正方形ABCD的邊長為2021，點(diǎn)E在邊AB上，連接DE，作FE⊥DE，交BC于點(diǎn)F，在DE上取一點(diǎn)G，使EG=AE，連接FG。若BF+FG=t，求t的值。

【思路提示】解題的關(guān)鍵是證明FG=FC，從而可以將BF+FG轉(zhuǎn)化為BF+FC=BC=2021。

（作者單位：江蘇省海安市李堡鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)）C051476F-53E6-4CDF-8D6C-05D8CA00AB5B