更上一層樓：從一題多解到揭示結構

劉東升

幾何題的一題多解是不少同學的興趣點。如果能從一題多解發展到揭示結構，則能讓我們理解得更加深刻。下面，老師以一道幾何題為例，跟同學們一起從一題多解走向揭示結構。

例題 如圖1，菱形ABCD中，∠BCD=60°，點E在邊BC上（點E不與頂點B、C重合），連接DE，DE的垂直平分線MN交對角線AC于點M，垂足為N。連接ME，分析∠MED的度數是否變化？如果變化，求出它的度數范圍;如果不變，求出它的度數。

思路1（八年級“軸對稱性質、全等性質”）：關鍵是運用菱形的軸對稱性質，如圖2，連接DM，過點M分別作BC、DC的垂線段MP、MQ，得∠PMQ=120°，再運用全等三角形（△PME≌△QMD）性質得出∠DME=120°，從而獲解。

思路2：如圖3，連接BM、DM。由題意可得BM=ME=MD，∠MCB=30°。設∠CME=θ，則∠MBE=∠MEB=θ+30°，所以∠CMD=∠CMB=180°-∠CBM-∠MCB=120°-θ，所以∠DME=∠CMD+∠CME=120°，于是獲解。

思路3（九年級“四點共圓”）：如圖4，關鍵是證四邊形CDME對角（∠CDM與∠CEM）互補，得C、D、M、E四點共圓，從而∠DME與∠DCE是互補的，于是∠DME=120°，從而在△DME中，∠MED=30°。

思路4：如圖5，連接MD、MB，可得MD=MB=ME，于是△BDE的外接圓圓心正是點M。于是圓心角∠DME=2∠DBE=120°，從而獲解。

【繼續探究】由于含60°的菱形可看成是兩個等邊三角形“拼接”在一起，于是我們將其中一個等邊三角形刪減，得出以下“等價問題”。

如圖6，在等邊三角形ABC中，點E是BC邊上的動點，F為線段AE的中點，線段AE的垂直平分線交AB邊的中線于點G，那么∠GEF是否為定值？如果是定值，請求出這個值;如果不是，請說明理由。

【思路解析】如圖7，取BE的中點P，連接PF、PG、BG、AG，可得BG=AG=EG，于是GP⊥BE。在四邊形EFGP中，根據對角互補，可得E、F、P、G四點共圓，所以∠FGE=∠FPE。再把目光切換至△EAB中，FP∥AB，所以∠FPE=∠ABC=60°，于是由“同弧所對圓周角相等”，可得∠FGE=∠FPE=60°，從而在Rt△EFG中，∠GEF=30°。

【揭示結構】如圖8，作△CDE（∠DCE=α）的外接圓，交CG（∠ECD的角平分線）于點G，那么弧GD與弧GE相等，GD=GE。于是∠GEF=∠GCD=[12]∠DCE=[12]α。

可以發現，原題中的含有60°的菱形是更強的條件。60°可以換為任意角α，答案都是[12]α。

【問題推廣】已知△ABC，點E是直線BC上動點，線段AE、AB的垂直平分線交于點G，求證：∠AEG=[90°-∠ABC]。

【簡證】以圖9為例，圓心角∠AGE=2∠ABC，從而∠FGE=∠ABC，于是∠AEG=90°-∠ABC。隨著點E在直線BC上運動到不同位置，用類似的方法可以證明∠AEG=[90°-∠ABC]。

（作者單位：江蘇省南通市教育科學研究院）12B9E5C7-7940-4B8A-9440-F9D9C259077D