基于牛頓迭代法的灌注樁擋墻圓形截面受彎承載力計算

成曉奕，鄭宏偉

(1.國家知識產權局專利局專利審查協作江蘇中心，江蘇 蘇州 215128；2.江蘇省太湖水利規劃設計研究院有限公司，江蘇 蘇州 215128)

1 概述

近年來，我國經濟高速發展，大規模的基礎設施建設正在快速進行。灌注樁具備諸多優點,在各種工程領域中得到了非常廣泛的應用，如建筑工程、交通工程、水運工程、水利水電工程等[1- 2]。按照不同的成孔方式，灌注樁可以分為鉆孔灌注樁、沉管灌注樁、人工挖孔灌注樁、爆擴灌注樁等。通常在工程現場通過機械鉆孔等手段形成樁孔，并在其內放置鋼筋籠、灌注混凝土最終成樁。

水利工程作為國民經濟中的重要組成部分，目前也在快速發展中。水工擋土墻在水利工程中比較常見，經常應用于河道護岸、樞紐翼墻中。水工擋土墻斷面結構形式多種多樣，比較常見的有重力式、懸臂式、扶壁式、空箱式、板樁式等[3]。灌注樁擋墻是數根上述灌注樁組成的板樁式擋墻，其頂部再澆筑鋼筋混凝土冠梁，使排樁樁頭連成一體。灌注樁擋墻多是混凝土配筋體，擋墻的剛度較大、抗彎能力強、變形相對較小，且不需大開挖；灌注樁擋墻施工時基本無噪音、無振動、無地面隆起或側移，也無濃煙排放，因而對環境影響小，對周圍建筑物、路面及地下設施危害亦小。灌注樁擋墻作為水工擋土墻中的一種，具有上述諸多優點，因而在水利工程中應用廣泛。

灌注樁擋墻為圓形截面，根據SL 191—2008《水工混凝土結構設計規范》，灌注樁擋墻圓形截面受彎構件正截面受彎承載力計算不同于矩形、T形、I形等截面，其方程計算屬于非線性問題，一般不存在直接的求解公式，故沒有直接方法求解，需使用迭代法求解超越方程[4- 6]。本文對規范中公式仔細分析后進行梳理轉換，利用牛頓迭代法求解上述超越方程，并將求解獲得成果成功應用于某工程中。

2 圓形截面受彎構件計算方法分析

《水工混凝土結構設計規范》經過了多次修正，現行版本已經日趨完善，但是在有些方面還存在不足，例如圓形截面配筋計算存在材料、截面寬度變化的雙重非線性[7]。上述計算無法通過手算獲得結果，給工程設計人員帶來了諸多不便。

根據SL 191—2008，鋼筋混凝土結構構件承載能力極限狀態計算中，詳細論述了沿周邊均勻配置縱向鋼筋的圓形截面偏心受壓構件正截面受壓承載力，計算公式如下[4]：

(1)

(2)

αt=1.25-2α

(3)

式中：K—承載力安全系數；N—軸向壓力設計值，N；fc—混凝土軸心抗壓強度設計值，N/mm2；fy—鋼筋抗拉強度設計值，N/mm2；η—偏心距增大系數；e0—軸向壓力對截面重心的偏心距，mm；A—圓形截面面積，mm2；As—全部縱向鋼筋的截面面積，mm2；r—圓形截面半徑，mm；rs—縱向鋼筋所在圓周的半徑，mm；α—對應于受壓區面積的圓心角(rad)與2π的比值；αt—縱向受拉鋼筋截面面積與全部縱向鋼筋截面面積的比值，當α>0.625時，取αt=0。

圓形截面受彎構件正截面受彎承載力應將上述公式進行如下 轉變后計算：

(4)

(5)

式中：M—彎矩設計值，N·mm；其余物理量含義同上。

圓形截面受彎構件正截面受力簡圖如圖1所示：

圖1 沿周邊均勻配筋的圓形截面(陰影部位表示受壓區)

上述計算僅適用于截面內縱向鋼筋數量不少于6根，間距不大于300mm的情況。

上述理論以受壓區混凝土對應的相對圓心角等作為基本變量，建立了比較復雜的計算公式。該公式為非線性問題，工程人員無法直接簡單求出解析解，需要將公式進行梳理整合，并歸納出利于工程應用的簡便方法。

3 牛頓迭代法在灌注樁擋墻圓形截面受彎承載力計算中的應用

3.1 牛頓迭代法

上述超越方程無法直接求解得到精確解，根據工程人員多年來的經驗，經常用試算法、數值擬合方法或數值迭代法等進行計算[8- 9]。試算法、數值擬合方法計算效率比較低，計算誤差也比較大，工程應用中需慎重考慮。數值迭代法是通過采用一個初始估計值出發從而尋找一系列近似解來解決問題的數學過程。數值迭代法具有普遍的適用性，使用的范圍也非常廣泛，且具有比較小的誤差及比較高的收斂速度，因而得到了比較廣泛的運用。比較典型的數值迭代法有“二分法”、“牛頓迭代法”等[9]。二分法通過將函數的有根區間分為兩半，假設中點不是函數零點，然后進行根的搜索，對壓縮了的有根區間施行同樣步驟，反復進行二分，最終得到零點的近似值；牛頓迭代法又稱為牛頓-拉夫遜(拉弗森)方法，其實質上是一種線性方法，其基本思想是將非線性方程逐步歸結為線性方程來求解，其最大優點是在方程的根附近是平方收斂的。牛頓迭代法有明顯的幾何解釋，方程f(x)=0的根可以解釋為y=f(x)與x軸的交點的橫坐標，設xk為根的某近似值，過曲線y=f(x)上橫坐標為xk的點作切線，并將該切線與x軸的交點的橫坐標xk+1作為根的新的近似值，方程f(x)=0的牛頓迭代法表達方式如下：

(6)

式中，f′(xk)≠0；f′(xk)為f(xk)一階導數。

本文利用收斂速度更優的牛頓迭代法對上述超越方程進行求解。根據牛頓迭代法理論，需對上述圓形截面受彎構件正截面受彎承載力公式進行梳理，并整合成單變量方程。在實際工程應用中，上述圓形截面受彎構件正截面受彎承載力方程組中除α、As為未知量待求解外，其余均為已知量。對其中α、αt進行分析可得，其存在如下約束：0≤α<1、0<αt≤1。可求得變量α取值區間為0.125≤α<1，且當α>0.625時，取αt=0。則上述方程組進行合并同類項整理后得到如下方程：

(1)當0.125≤α≤0.625時：

[sin(πα)+sinπ(1.25-2α)]=0

(7)

[1-cos(2πα)][sin(πα)+sinπ

[πcos(πα)-2πcosπ(1.25-2α)]

(8)

(2)當0.625<α<1時

(9)

(10)

通過上述梳理整合，SL 191—2008中圓形截面受彎構件正截面受彎承載力方程組成功轉化為以受壓區混凝土對應的相對圓心角作為基本變量的單變量方程，并且得到了可用于牛頓迭代法的函數及其一階導數表達式，據此可將其應用于工程中。

3.2 實例應用

河道護岸是一種為了防止河岸在水流、風浪、船行波等作用下可能發生沖刷破壞的一種工程防護措施，在保護堤防安全、維護岸線穩定、防止水土流失等諸多方面發揮著重要的作用。某水利工程河道兩岸附近均為建成的商品房小區，且河道近岸處為均已建成臨湖景觀公園，場地較為狹窄，工程中將對河道護岸進行改造以提升河道的防沖刷能力。受到上述現狀場地條件的限制，工程施工不具備大開挖條件，傳統的“L”型護岸如鋼筋砼懸臂式擋墻、鋼筋砼扶壁式擋墻、漿砌塊石擋墻等均不適用于本工程。由于灌注樁擋墻優越的受力性能及其不需大開挖等諸多優勢，本工程中河道護岸采用灌注樁擋墻。河道護岸特性詳述如下：

河底高程為0.00m(吳淞零點起算，余同)，灌注樁擋墻頂高程為5.85m、底高程為-14.15m，灌注樁擋墻直徑為1.40m、樁間距1.60m、樁長20m，灌注樁擋墻上部設置1.20m×2.00m(高×寬)鋼筋砼蓋梁，灌注樁伸入蓋梁5cm，蓋梁頂高程7.00m，墻前設置30cm厚鋼筋砼面板，砼強度等級為C30。樁間設置φ40cm高壓旋噴樁，樁長8m。河道護岸結構斷面如圖2所示：

圖2 河道護岸結構斷面(圖中高程以m計，吳淞零點起算，尺寸標注以cm計)

根據SL 191—2008，承載力安全系數需根據水工建筑物級別、荷載效應組合等因素綜合確定，本工程中K=1.2；混凝土軸心抗壓強度設計值fc=14.3N/mm2(對應混凝土強度等級為C30)；鋼筋抗拉強度設計值fy=360N/mm2(對應鋼筋種類為HRB400)；縱向鋼筋保護層厚度為70mm；縱向鋼筋最小配筋率為0.2%。經計算，灌注樁擋墻所受到的彎矩設計值即M=1168.64kN·m。結合大量計算實踐及工程經驗[10]，α初始值取0.3，迭代計算過程見表1。

根據上述迭代計算成果可得，經過3次迭代，即可獲得誤差僅為0.01%的計算結果，能夠滿足工程需求。

表1 迭代計算過程

根據上述計算結果，可將α值帶入圓形截面受彎構件正截面受彎承載力方程組，求得全部縱向鋼筋的截面面積As=6568.19mm2，按照最小配筋率0.2%計算得全部縱向鋼筋的截面面積最小值Asmin=3798.55mm2，可見上述計算結果滿足最小配筋率要求。

4 結論與建議

本文將牛頓迭代法應用于灌注樁擋墻圓形截面受彎構件正截面受彎承載力計算中，該方法能夠快速、準確的得到受彎承載力超越方程的解析解，并通過快速迭代計算得到能夠應用于工程中的數值解。實踐證明，該方法能夠解決類似工程中的上述超越方程計算問題，為類似工程中超越方程的求解提供解決方案。

圓形截面受彎構件正截面受彎承載力計算理論比較復雜，且假定條件較多，如：沿周邊均勻配置縱向鋼筋；適用于截面內縱向鋼筋數量不少于6根，間距不大于300mm的情況等。不受上述假定約束的計算理論還有待深入研究。對上述受彎承載力的計算方法多種多樣，灌注樁擋墻受彎構件圓形截面結構配筋方法是否可考慮其余更便捷更準確的計算方法，也是一項值得深入研究的課題。