一道填空壓軸題引發(fā)的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)

袁會(huì)娟

壓軸題是體現(xiàn)思維的載體.下面以一道填空壓軸題的思考和探究過(guò)程，展現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維過(guò)程，促進(jìn)深度思考，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

題目：已知△ABC與△ABD在同一平面內(nèi)，點(diǎn)C、D不重合，∠ABC=∠ABD=30°，AB=4，AC=AD= ，則CD的長(zhǎng)為.

審題思維展示：首先對(duì)于此類沒(méi)有示意圖的問(wèn)題，我們先進(jìn)行定性分析，以此來(lái)從中尋找分類討論的切入點(diǎn)，通過(guò)對(duì)△ABC與△ABD頂點(diǎn)的觀察即可知，兩三角形存在公共邊，而C、D點(diǎn)不重合這一條件則有效規(guī)避了兩三角形為同一三角形這一無(wú)意義情況，接下來(lái)便是“定形”條件.即∠ABC=∠ABD=30°，有角的大小，我們可以從中確定一個(gè)圖形的“框架”，從而準(zhǔn)備好背景，但從這一條件開(kāi)始，也便到了岔路口：同側(cè)角和側(cè)角，基于這一點(diǎn)，我們給出線段AB及兩30°角（包含同、異側(cè)情況），緊接著是線段AB=4，作為本題中最基本線段，我們要將其重視，而AC=AD= 是第二分支，由此可將點(diǎn)C、D的位置“化線為點(diǎn)”，由在∠ABC=∠ABD的BC、BD邊上兩不定點(diǎn)化為到定點(diǎn)A距離相等的點(diǎn)，這樣，我們不妨把30°與AC=AD= “疊放”，尋找“交點(diǎn)”，看看它們給予了我們?cè)鯓拥摹霸手Z”.對(duì)于“到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)”，刻畫到定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合，自然聯(lián)想到運(yùn)用圓這一幾何模型.那么，我們作以 為半徑、A為圓心的圓與兩30°角之交點(diǎn)即為C、D所有符合題意的結(jié)果。

做完透徹的思考，便可以依據(jù)題意進(jìn)行分類討論了。再次審視題目：求CD的長(zhǎng).先不要急于確定四點(diǎn)中哪些為C，哪些為D，這一點(diǎn)很重要.題目所求為線段CD的長(zhǎng)，即點(diǎn)C、D之間的距離，距離是兩點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系，也就是說(shuō)是兩點(diǎn)共同作用的結(jié)果，而非一點(diǎn)的單打獨(dú)斗，是兩變量在條件允許的范圍內(nèi)，自由運(yùn)動(dòng)的幾種可能.所以，糾結(jié)于，具體的點(diǎn)C、D是哪個(gè)并不重要.我們從較為宏觀的視角，以線段為分類標(biāo)準(zhǔn)討論。

易知線段CD有4種情況：①C、D在A、B的異側(cè)，被線段AB垂直平分?！鰾CD為等邊三角形②C、D在A、B的同側(cè)，可知△ACD為等腰直角三角形。③C、D在A、B的異側(cè)，被射線BA垂直平分，△BCD為等邊三角形。④C、D在A、B的異側(cè)，分別連接兩組C、D，形成兩個(gè)等腰直角三角形。具體分析如下：

由角平分線的對(duì)稱性可知①③情況時(shí)線段CD垂直于線段AB所在直線。

①連接A、C，設(shè)AE=m，所以BE=4-m，易得 ，解的 .所以， ?.

②過(guò)點(diǎn)A作AM?BD，連接AD、AC，在Rt△ABM中，∠ABD=30°，因?yàn)锳B=4，所以AM=2.在Rt△ACM中，AM=2，AC= .所以，AM=MC=2，同理可得DM=AM=2，所以CD=4.此處，∠ADC=∠ACD=∠MAC=∠DAM=45°

③ ，易知BC=BD，∠CBD=2×30°=60°，所以△BCD是等邊三角形， 。

④由②知，△AGC是等腰直角三角形，∠CAG=90°，在⊙A中， 45°，同理得， 45°所以△PCF、△PGD是等腰直角三角形，因?yàn)?綜上所述： ?。

題后反思：①我們?cè)賮?lái)審視一下該題，分類討論產(chǎn)生的根源便是由于∠ABC、∠ABD是銳角（教材“木棒”圖）使得在BC、BD邊上分別有兩種滿足長(zhǎng)度為 的情況。②從角平分線的視角看，①③情況實(shí)則是以過(guò)點(diǎn)A向角兩邊作垂線，左右對(duì)稱的情況，AM實(shí)質(zhì)是CE的中垂線，BM= ，一左一右分別為 ?一加一減，內(nèi)在統(tǒng)一，而同側(cè)的情況則為①③的差值，這也是解題的精妙所在.③從圓的角度來(lái)看，△ACF、△ACE組合圖實(shí)質(zhì)是圓的垂徑定理（對(duì)稱性），而情況④中∠CDG、∠FGD等實(shí)質(zhì)是圓周角定理的應(yīng)用，若將兩三角形的組合圖結(jié)合起來(lái)則為圓的旋轉(zhuǎn)不變性中弧、弦、圓心角、弦心距的關(guān)系.

化角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離、圓中垂徑定理弦心距為一線，結(jié)等邊三角形、30°直角三角形、角平分線的垂線于一圖，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備，提升學(xué)生審辨思維能力.