深度學習覓因果，數形結合探本質
——以函數奇偶性為例

浙江省象山縣第二中學 (315731) 林 琪

深度學習是學生發揮主觀能動性，通過體驗多樣的活動，有效建構知識，鍛煉思維，發展多種能力的數學活動.相對于傳統教學，深度教學可以深入知識本質，建立知識體系，提高自主學習能力，形成數學核心素養.數學思想是數學學習的精髓，也是深度教學的前提.數學思想的掌握和運用可以使學生學習數學知識事半功倍.而高中階段主要涉及數形結合、分類討論、函數與方程、轉化與化歸等思想.本文以函數奇偶性為案例，采用“問題串”教學的形式，論述“數形結合”思想在深度學習中的運用.

1 深度的情境創設

興趣是影響學生課堂表現的重要因素，教學實踐表明，在引入新課階段創設合適的情境，可以激發學生的學習興趣，有利于學生后續主動融入課堂，體現學生主體地位，更有利于學生深度理解概念.

問題1：觀察圖1、圖2兩張圖片，在結構上有什么共同特征？

圖1 圖2

問題2：生活中還有哪些常見的軸對稱圖形？

問題3：這種對稱性在數學中是否有體現？我們已經學過哪些函數的圖像也具有軸對稱性？

設計意圖：《普通高中數學課程標準(2020修訂版)》明確指出課程目標是：通過高中數學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及為了發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗.而數學活動經驗的獲得要求我們教師在創設情景時，源于生活，緊隨時代，貼近學生生活經驗.問題1到問題3，讓學生從生活實際出發，體會數學來源于生活，激發學生學習興趣.同時，從圖形直觀感受引出偶函數的幾何特征，鍛煉學生數學抽象能力.

2 深度的過程體驗

問題4：觀察函數f(x)=x2和g(x)=2-|x|的圖像如圖3，圖4，從“形”上觀察，有什么共同特征？

圖3 圖4

問題5：從“數”上觀察，有什么共同特征？

f(x)=x2

x…-3-2-10123…f(x)=x2…9410149…

g(x)=2-|x|

x…-3-2-10123…g(x)=2-|x|…-101210-1…

設計意圖：問題4從函數圖像中觀察出對稱性，這是函數奇偶性的“定性”刻畫.而問題5則從具體的數值中體現對稱性，這是函數奇偶性的“定量”刻畫.從定性到定量，體現了數學的嚴謹性.從問題4到問題5，從“數”與“形”兩個角度，探討偶函數的特征.為之后偶函數概念的引入作鋪墊，引導學生體會“數形結合”思想，經歷數學概念形成的過程，深度研究數學概念，知其然，體現深度學習，培養學生數學抽象的數學核心素養.

問題6：你能否證明上述結論？

設計意圖：多樣的教學方式是深度學習的關鍵.問題6可引導學生利用剪紙、幾何畫板、代數驗證三種方法驗證結論.從直觀感受到理性驗證，從動手操作到運用現代信息技術，豐富數學教學方式，培養學生邏輯推理的數學核心素養，有利于引導學生深度學習.

引入偶函數的定義，并通過類比得到奇函數的定義.

問題7：奇偶函數有何共同點和不同點？

偶函數奇函數定義一般地,設函數f(x)的定義域為I,如果?x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=f(x),那么函數f(x)就叫做偶函數.一般地,設函數f(x)的定義域為I,如果?x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=-f(x),那么函數f(x)就叫做奇函數.代數特征f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)幾何特征圖像關于y軸對稱圖像關于原點對稱前提條件定義域關于原點對稱

設計意圖：問題7通過比較奇偶函數的共同點和不同點，進一步理解概念.同時，以圖表形式給出，體現數學的簡潔性，也是數形結合的一種體現.

3 深度的學以致用

深度學習不僅包括“深度的學”，更包括“深度的思和行”，學生不僅要經歷奇偶函數概念的形成過程，更要在此過程中，動手操作，自主研究，得出結論.

問題8：已知f(x)是定義在R上的偶函數，g(x)是定義在R上的奇函數，試將圖5,圖6補充完整.

圖5 圖6

設計意圖：讓學生動手操作，體會奇、偶函數的幾何特征，符合新課標引導學生獨立思考、動手實踐的要求.而對于g(x)圖像的補充，會發現缺少x=0處的函數值，引起認知沖突，從而引起學生思考.根據圖像關于原點對稱，得到g(x)過原點，再根據奇函數的代數特征g(-x)=-g(x)，可得g(0)=0.從“數”和“形”兩個角度加以證明，深入理解奇函數的特征.再從特殊到一般，得出結論：對于任意一個奇函數，若x=0在定義域內，則g(0)=0，即奇函數圖像過原點.

問題9：是否存在一個函數既是奇函數，又是偶函數？這樣的函數唯一嗎？

設計意圖：問題9是課后思考題，數學課后活動是學生深度學習的重要載體.問題9是對函數奇偶性概念掌握情況的檢測，也是本節課深入學習的評價.這題具有開放性，有利于培養學生發散思維，在思考中，學生可利用“數”與“形”兩個思路展開.

4 深度的反思提煉

深度學習要求我們教師深入研究數學教材，除了研究數學知識外，更要研究其中蘊含的數學文化，與其他知識點、其他學科間的聯系.例如，在函數奇偶性中，在課堂結尾處除了增加知識點的總結，還可增加德育內容，以學生發展為本，落實立德樹人根本任務.

問題10：我國著名數學家華羅庚先生曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休”，因此，我們在平時的學習中要注重“數形結合”思想.另外，這也說明從不同角度分析，會得到不同的結果，這就要求我們用發現的眼光看世界.

設計意圖：以華羅庚先生的詩作為結尾，將數學文化融入數學課堂，開拓學生數學視野，激發學生學習興趣.同時，了解中國優秀數學家，也可增強學生民族自豪感.而蘊含的“從不同角度分析，會得到不同的結果”這一哲學理論，亦體現了數學和其他學科的聯系.

總之，高中數學教師應在課堂教學中引導學生深入挖掘數學本質，理解數學概念，注重數學活動，積累數學經驗，掌握數學技能，構建數學體系，提高課堂效率，深度學習數學.教學中，我們也應重視深度教學，豐富學科知識，開展多元的教學方式，促進學生數學思想方法的形成.